二分查找专题(九)：“降维”的魔术！将二维矩阵“拉平”为一维

哈喽各位，我是前端小L。

欢迎来到我们的二分查找专题第九篇！我们刚从"旋转数组"的"二义性"泥潭（LC 81）中爬出来，今天，我们面对一个看似更复杂的二维矩阵。

但是，请仔细阅读题目的"附加属性"：

每行中的整数从左到右按升序排列。 (这个很常见)
每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。 (这，就是"Aha!"时刻！)

这个第二条属性 ，是出题人送给我们的"大礼包"！它意味着，如果我们把这个二维矩阵，一行一行地"首尾相连"，它会变成一个完美、巨大、且完全有序 的一维数组！

[row_0_elements, row_1_elements, row_2_elements, ...]

这道"二维"问题，被我们瞬间"降维 "成了我们专题第一篇（LC 704）的"Hello, World!"问题！

力扣 74. 搜索二维矩阵

https://leetcode.cn/problems/search-a-2d-matrix/

题目分析：

输入：一个 m x n 矩阵，具有上述两条"强有序"属性。一个 target。
目标：判断 target 是否存在。
约束：高效。（暗示 O(log(m*n))）

核心洞察： 我们不需要真的创建一个 O(m*n) 的新数组。我们可以"虚拟"地在这个"拉平后"的数组上进行二分查找。

"万能模板"的"虚拟"应用

我们的"左闭右开 [left, right) 万能模板"再次登场！

1. 区间定义 (一维虚拟化)

我们的"虚拟数组"总共有 totalElements = m * n 个元素。
它的索引范围是 [0, m*n - 1]。
套用我们的模板，搜索区间 [left, right) 就是 [0, m * n)。
left = 0
right = m * n

2. mid 的"二维映射" (关键技巧)

mid = left + (right - left) / 2。这个 mid 是一个 0 到 m*n - 1 之间的一维"虚拟索引"。
我们如何把它映射回二维矩阵的 (row, col) 坐标？
假设矩阵有 n 列（cols）。
row = mid / n (整除 n 得到行号)
col = mid % n (模 n 得到列号)

3. 状态转移 (标准模板)

得到 mid 对应的 midVal = matrix[row][col]。
if (midVal == target)：找到了，return true。
else if (midVal < target)：目标在右侧，left = mid + 1。
else (midVal > target)：目标在左侧，right = mid。

代码实现

复制代码

#include <vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) {
            return false;
        }

        int m = matrix.size();    // 行数
        int n = matrix[0].size(); // 列数
        
        // 1. 区间定义：[left, right) -> [0, m*n)
        int left = 0;
        int right = m * n; // 总元素个数，作为开区间

        // 2. 循环条件
        while (left < right) {
            // 3. mid 计算
            int mid = left + (right - left) / 2;

            // 4. 将一维 mid 映射回二维 (row, col)
            int row = mid / n;
            int col = mid % n;
            int midVal = matrix[row][col];

            // 5. 标准的指针移动
            if (midVal == target) {
                return true;
            } else if (midVal < target) {
                // 目标在右侧 [mid + 1, right)
                left = mid + 1;
            } else { // midVal > target
                // 目标在左侧 [left, mid)
                right = mid;
            }
        }
        
        // 循环结束，没找到
        return false;
    }
};

深度复杂度分析

时间复杂度 O(log(m*n))：
- 我们的搜索空间是 m * n 个元素。
- 每一次循环，都将搜索空间缩小一半。
- 总的比较次数是对 m * n 取对数，即 O(log(m*n))。
- （log(m*n) = log(m) + log(n)，所以写成 O(log m + log n) 也是完全正确的）。
空间复杂度 O(1)：
- 我们没有创建那个 m*n 的虚拟数组，只使用了 left, right, mid, m, n, row, col 等常数个额外变量。

总结

今天，我们通过一次巧妙的"降维 "，把一个"二维"问题，转化成了一个"一维"问题。 row = mid / cols 和 col = mid % cols 这对"映射"公式，是你务必掌握的"魔法"。

但是，请注意！ 这个解法之所以成立 ，全拜那条"每行开头大于上行末尾 "的黄金属性所赐。如果一个二维矩阵，没有这条属性，仅仅是"每行有序，每列有序"，那它就不能被"拉平"了。

在下一篇中，我们将直面那个真正的、无法"降维"的二维矩阵搜索问题 (LC 240)，看看那时我们又该如何应对。

下期见！