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摘要
这题的名字叫「数组中两个数的最大异或值」，看起来像是个普通的数学题，
但实际上这是个经典的位运算 + 前缀树优化问题。
直观暴力法就是两两异或一遍再取最大值，
但那样是 O(n²) 的复杂度，数组长度一大直接炸掉。
而高效做法是用「Trie（前缀树）」按二进制位 去存每个数，
然后每次在树里找一个最能让当前数异或结果更大的路径 ，
最后就能在 O(32n) 的复杂度内解决问题。
本文我们会用 Swift 实现一个完整的解法，并带上运行示例与实战分析。
描述
题目要求：
给定一个整数数组
nums，返回数组中任意两个数nums[i] XOR nums[j]的最大值。
其中异或运算（^）的规则是：
- 相同为 0，不同为 1。
举个例子
5 (0101) 和 25 (11001) 的异或是：
txt
0101
11001
-----
11100 (28)结果就是 28。
所以题目等价于：
找到一对数字，它们在二进制每个位上尽量不同。
题解答案
这题有两种常见思路
暴力法
两层循环，枚举所有 (i, j) 组合，取最大 nums[i] ^ nums[j]。
复杂度 O(n²)，当 n = 2×10⁵ 时，完全不可行。
字典树法（Trie）
- 把每个数字的二进制表示插入到一棵二叉 Trie 树中（0/1 分支）；
- 对每个数，从高位到低位尝试在 Trie 中找「相反位」；
- 这样就能最大化异或结果。
我们选择第二种方法，效率高又优雅。
题解代码分析
下面是完整的 Swift 版本（可以直接在 Xcode Playground 运行）
swift
import Foundation
class TrieNode {
var children: [Int: TrieNode] = [:]
}
class Solution {
func findMaximumXOR(_ nums: [Int]) -> Int {
let root = TrieNode()
// 将数字插入Trie
func insert(_ num: Int) {
var node = root
for i in stride(from: 31, through: 0, by: -1) {
let bit = (num >> i) & 1
if node.children[bit] == nil {
node.children[bit] = TrieNode()
}
node = node.children[bit]!
}
}
// 查找最大异或
func query(_ num: Int) -> Int {
var node = root
var xorValue = 0
for i in stride(from: 31, through: 0, by: -1) {
let bit = (num >> i) & 1
// 想异或最大，就尽量找相反位
let toggledBit = 1 - bit
if let next = node.children[toggledBit] {
xorValue |= (1 << i)
node = next
} else if let next = node.children[bit] {
node = next
}
}
return xorValue
}
// 主流程
var maxXor = 0
for num in nums {
insert(num)
}
for num in nums {
maxXor = max(maxXor, query(num))
}
return maxXor
}
}代码逐步解析
① TrieNode 定义
swift
class TrieNode {
var children: [Int: TrieNode] = [:]
}每个节点最多有两个分支：
children[0]表示当前位是 0children[1]表示当前位是 1
② 插入数字到 Trie
swift
for i in stride(from: 31, through: 0, by: -1) {
let bit = (num >> i) & 1
...
}我们把每个数的 32 位二进制从高到低依次插入，
确保 Trie 里保留所有数字的二进制路径。
举例：插入 5 (000...0101) 时：
txt
root
└─0
└─0
...
└─1
└─0
└─1③ 查找最大异或结果
swift
let toggledBit = 1 - bit
if let next = node.children[toggledBit] {
xorValue |= (1 << i)
node = next
}遍历当前数字时，
- 如果能走相反的分支（
1-bit），就走那边（这样该位异或能得到 1）； - 否则只能走相同的分支。
这就是让异或值尽量变大的贪心策略。
④ 遍历所有数字求最大值
swift
for num in nums {
maxXor = max(maxXor, query(num))
}对每个数字都查一遍，找到能和它异或最大的结果。
示例测试及结果
我们来跑几个示例
swift
let solution = Solution()
print(solution.findMaximumXOR([3,10,5,25,2,8])) // 输出: 28
print(solution.findMaximumXOR([14,70,53,83,49,91,36,80,92,51,66,70])) // 输出: 127
print(solution.findMaximumXOR([0])) // 输出: 0
print(solution.findMaximumXOR([2,4])) // 输出: 6输出结果
txt
28
127
0
6可以看到完全符合题目预期。
例如 [3,10,5,25,2,8] 中，5 ^ 25 = 28 确实是最大异或值。
时间复杂度
- 构建 Trie：O(n × 32)
- 查询每个数最大异或值：O(n × 32)
总时间复杂度：O(32n) ≈ O(n)
空间复杂度
Trie 树的节点最多为 32 × n 个。
空间复杂度：O(32n) ≈ O(n)
总结
这道题是「位运算 + Trie 树」的经典题型。
它的核心思想是：
利用二进制前缀树在每一位上做"相反匹配"，
让异或的每一位都尽量为 1，从而得到最大值。
在实际开发中，这种思想常用于：
- 网络掩码匹配（IP 地址的前缀匹配）；
- 路由查找；
- 加密或压缩算法中位优化。
Swift 实现虽然看起来略繁琐，但逻辑其实非常清晰：
结构体化思维 + 位运算配合字典树，是一种非常高效且优雅的解法。