引言/导读
在机器学习模型训练的漫长演进中，优化器始终是决定效率和性能的核心工具。长期以来，Adam 优化器 及其变体 AdamW 一直占据着主流地位。然而，随着大型语言模型（LLM）的规模不断扩大，Adam 固有的内存消耗和效率瓶颈日益凸显。
本次深度分析将聚焦于一位强大的挑战者------Muon Optimizer（μon） ，它正在机器学习社区中获得越来越多的关注。Muon 优化器凭借其独特的矩阵结构感知 和动量正交化机制，实现了令人瞩目的性能飞跃，在小语言模型上表现出色，并且在计算效率上比 AdamW 快约一倍，这意味着更快的训练速度和更少的内存占用。这篇文章将深入剖析 Muon 优化器的底层原理、它如何克服传统优化器的缺陷，以及如何通过 MuonClip 等技术解决大模型训练中的关键稳定性挑战。
颠覆主流：AdamW的局限与Muon的崛起
优化器的本质是寻找模型参数的"好"值，这一过程被称为优化。梯度下降（Gradient Descent）是基础，它指引参数朝向损失函数降低的方向移动。Adam 正是在此基础上构建的，但它通过维护两种指数移动平均变量来加速收敛：动量（Momentum） （过去梯度的平均）和平方梯度的平均（用于自适应缩放）。
向量型优化器的盲区：Adam 的效率与内存代价
Adam 虽然收敛迅速且效果良好，但其设计带来了两个核心问题：
- 内存冗余：Adam 需要为模型的每个参数维护两个额外的状态变量。因此，优化器状态占用的内存大约是模型本身的两倍。
- 结构盲区 ：Adam 是一种向量型优化器（Vector-based Optimizer），它将所有参数视为一个长长的向量，对每个值独立更新，完全忽略了参数内部可能存在的矩阵结构。
在线性层等神经网络常见结构中，参数自然形成二维矩阵。当使用 Adam 这样的向量型优化器时，这个二维动量矩阵往往趋向于低秩（Low-rank）。这意味着只有少数几个主导方向驱动着参数更新，而许多"稀有方向"贡献微乎其微。
Muon 的核心哲学：矩阵结构与动量正交化
Muon 优化器正是针对 Adam 的"结构盲区"而设计的。它明确地考虑了模型参数的底层矩阵结构。
Muon 的关键创新在于对动量矩阵进行**正交化（Orthogonalization）**处理：
- 正交化的目的 ：通过正交化动量矩阵，Muon 能够**放大稀有方向（rare directions）**的影响。这些稀有方向虽然看似不重要，但通常对于有效的学习和捕获数据中更细微的模式至关重要。
- 正交化定义 ：正交化是一个过程，旨在找到一个与原始动量矩阵
尽可能接近的新矩阵
计算效率的突破：从 SVD 到牛顿-施尔茨迭代
理论上，解决动量矩阵正交化问题有一个强大的工具：奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。
SVD：理论完美但计算昂贵
任何线性变换（即任何二维矩阵）都可以分解为三个步骤：一次旋转、沿轴线的拉伸或收缩，然后是另一次旋转。SVD 将任何矩阵 表示为三个特殊矩阵的乘积：
。其中
和
都是正规矩阵（行和列相互正交且长度为单位长度）。
利用 SVD 进行正交化的步骤很简单：计算动量矩阵的 SVD，然后将对角矩阵 中所有的奇异值设为一，即可得到所需的正交矩阵
。
然而，SVD 过程的计算强度太大，无法在模型训练的每个更新迭代中负担。
R 多项式与牛顿-施尔茨迭代：高效近似正交化
为了解决 SVD 带来的计算瓶颈，Muon 采用了高效的替代方案：R 多项式矩阵函数（R-polynomial Matrix Function）。
- R 多项式特性 ：这种函数作用于矩阵
- 迭代收敛 ：通过多次重复应用 R 多项式函数，几乎所有介于 0 到 1 之间的奇异值都会被拉向 1。通过调整系数
- 算法实现 ：在 Muon 算法中，首先计算梯度
这种利用矩阵乘法实现动量正交化的方法被称为通过牛顿-施尔茨（Newton-Schultz）迭代实现的动量正交化 ，或者直接称为 Muon。由于整个过程只涉及矩阵乘法，可以被 GPU 高效计算。
确保大模型稳定：从 QKClip 到 MuonClip 的进化
尽管 Muon 在小模型上展示了显著的效率优势，但在扩展到训练更大的模型时，其相对于 AdamW 的性能提升会有所减弱。为了稳定大型模型的训练，Muon 引入了额外的机制：
- 权重衰减（Weight Decay）：像 AdamW 一样，引入权重衰减机制。
- 学习率缩放（Learning Rate Scaling）：根据二维矩阵的大小调整学习率。
然而，大模型训练中还存在另一个关键挑战：随着训练的进行，注意力 Logits 会变得越来越大，可能导致训练过程不稳定。
训练中的"危机"：注意力 Logits 爆炸
注意力 Logits 是在 Softmax 之前，通过查询矩阵 乘以键矩阵
的转置计算得出的 (
)。为了防止 Logits 过大，必须控制查询投影矩阵
和键投影矩阵
的尺度。
- QKClip 技术 ：这是一种常见的稳定策略。通过监控注意力 Logits 的最大值，如果超过预设阈值
- 多头注意力（MHA）的细化 ：在多头注意力机制中，简单地对所有头应用相同的缩放并不合理。因此，需要为每个注意力头引入单独的缩放因子来控制其 Logits。
MuonClip：针对多头潜在注意力 (MLA) 的精确定标
当训练规模继续扩大，研究人员可能会采用如 多头潜在注意力（Multi-head Latent Attention, MLA）等更复杂的架构。MLA 的目的是通过将查询、键和值压缩到低秩空间来减少 KV Cache 的大小。
MLA 的引入带来了与位置编码（如旋转位置编码 RoPE）的兼容性问题。研究人员提出了 解耦 RoPE（Decoupled RoPE） 技术，引入额外的多头查询和共享键来编码位置信息。在 MLA/解耦 RoPE 架构中，一个注意力头涉及四种矩阵的组合（压缩查询 /压缩键
和旋转查询
/旋转键
）。
MuonClip 是 Muon 优化器针对这种复杂 MLA 架构的定制化稳定技术。
- 针对 R 投影矩阵 ：对于 R 投影矩阵，MuonClip 会对每个头的参数进行单独缩放。
- 处理共享矩阵 ：关键在于处理旋转组件。在这个设置中，每个头都有自己的旋转查询矩阵
- MuonClip 的策略 ：为了妥善处理，MuonClip 只对每个头特有的旋转查询
实验结果表明，应用 MuonClip 后，最大注意力 Logits 能够被有效限制并迅速稳定下来，极大地增强了优化器维持稳定可靠训练的能力。
深度分析与洞察
Muon 优化器的出现，不仅仅是对 AdamW 的简单迭代，它代表了深度学习优化领域的一个深刻趋势转变：即从通用、低效的向量空间更新 转向高效、结构感知的矩阵空间更新。
1. 几何认知的觉醒：从代数到几何优化
Adam 优化器处理参数的方式本质上是代数的------将其视为一长串需要独立调整的数字。Muon 则体现了几何认知的觉醒 。它承认神经网络中的权重和动量矩阵代表着空间中的线性变换，因此具备内在的结构（如正交性、秩）。动量正交化通过放大低秩结构中被忽视的"稀有方向"，实际上是在优化权重矩阵的几何形状，确保参数空间中的更新更加均衡和全面，避免了训练过程被少数极端方向所主导。这种对参数结构的高级抽象和处理，是未来优化器研究的重要方向。
2. 工程与算法的完美平衡：牛顿-施尔茨的实用性
Muon 的设计体现了理论完美性与工程实用性之间的精妙平衡。虽然 SVD 在数学上是实现正交化的理想工具，但其计算开销巨大，无法用于大规模训练。牛顿-施尔茨迭代（通过 R 多项式）提供了一种仅依赖矩阵乘法的高效数值近似方法。这表明，在 AI 基础设施高度依赖 GPU 并行计算的今天，优化创新必须找到"GPU友好"的路径。Muon 成功地将复杂的矩阵几何操作，转化为高度并行且高效的乘法运算，从而在不牺牲理论有效性的前提下，实现了计算效率提升近一倍的工程目标。
3. 架构与优化器的协同进化
大模型训练的稳定性问题（注意力 Logits 爆炸）以及 MuonClip 的设计揭示了一个重要事实：优化器不再是独立于模型架构的通用工具 。MuonClip 不仅解决了 Logits 爆炸的问题，更通过专门针对 MLA、RoPE 和解耦 RoPE 等复杂架构组件进行精确定标，证明了先进的优化技术必须与前沿的模型结构（如低秩压缩、位置编码）紧密结合。这种协同进化意味着未来的 AI 训练研究将更加整体化，优化器、注意力机制、位置编码等技术将作为一个整体系统被设计和优化。
总结与展望
Muon 优化器凭借其对参数矩阵结构的深入理解和创新的正交化策略，在大模型训练效率和稳定性方面设立了新的标准。它通过牛顿-施尔茨迭代，实现了对动量矩阵的高效正交化，确保了训练更新的全面性，同时通过 MuonClip 技术有效地抑制了注意力 Logits 爆炸，保证了大规模训练的可靠性。
Muon 优化器的成功预示着 AI 优化器领域将迎来一场变革，更加关注数据和参数的内在结构，并寻求计算效率和理论优雅的完美结合。
展望：随着模型规模持续扩大，我们是否会看到更多的"结构感知型"优化器涌现，它们将如何利用张量分解、群论等更深层次的数学结构，来进一步突破现有训练效率的瓶颈？
要点摘要 (Key Takeaways)
- 效率优势 ：Muon 优化器比 AdamW 计算效率高约一倍，同时显著减少了内存占用。
- 核心机制 ：Muon 通过对动量矩阵进行正交化 来解决向量型优化器导致的低秩动量问题。
- 实现方式 ：Muon 采用牛顿-施尔茨迭代 和 R 多项式矩阵函数，实现了对奇异值分解（SVD）的高效近似，避免了昂贵的计算开销。
- 稳定性增强 ：MuonClip 技术解决了大模型训练中的注意力 Logits 爆炸危机。
- MLA 定制 ：MuonClip 专门为多头潜在注意力 (MLA) 和 解耦 RoPE 架构设计了精确定标策略，尤其是处理共享旋转键矩阵