动态规划算法经典问题——01背包问题

问题情景：给你一个背包，告诉你其最大体积V，然后有一系列物品，每一个物品都有其对应的价值和体积。每个物品只能装一次（只有一个）就会有两种问法：

1.在不超过背包体积的情况下（不一定非要装满）背包物品最大价值总和？

2.在恰好装满背包的情况下，包内最大价值和？也有可能无论怎么装都无法恰好装满，返回-1，0等一些标记值。

我们接下来推一下状态表示和转移方程

如果，dp $i$ 表示从前i个物品中选取不超过背包体积的最大价值，我们发现这个dp数组就和体积变量无关了。而我们每装一个物品其背包剩余体积都会变，因此一维数组无法满足我们的表示需求。

改进：dp $i$ $j$ 表示在不超过j体积的情况下从前i个物品中选取最大总价值。（对于问题1的状态表示）

而对于第二种问题，dp $i$ $j$ 表示从前i个物品中选恰好能凑出j个体积的最大总价值（也有可能组不出）

我们先推导问题1的状态表示方程：

到第i个物品时，我们也可以选择选或不选，然后在这两种情况取最大值即可。

当不选时，那和从前i-1个选法是一样的。

当选时，首先要判断第i个物品体积是否大于j，如果大于了，只选第i个都已经过大了，显然不满足要求，因此我们要加个判断条件，在此条件下，它就等于从前i-1个物品中选一个体积不超过j-v $i$ 的价值加第i个物品价值（并不是看前一个元素）。（v数组表示每个物品的体积，w数组表示每个物品的价值）

在数组初始化方面，我们采取多一行一列表示，这样数组下标就能和物品序号对应了（第1，第2个物品。。。。）

第一行我们初始化为0（第一行表示前0个物品找出不超过j的最大价值，都没有物品，价值肯定都是0）

第一列我们也是都初始化为0（选出一个不超过0的总价值，肯定什么都选不了）

最终结果我们取dp $n$ $V$ 即可（题意中的在n个物品中选体积不超过V背包的总价值）

接下来我们来看第二个问题：

状态转移方程与第一个几乎相同。

首先不一样的是，我们会遇到无论怎么装都装不满的情况，这就不需要谈最大价值了，这种情况我们统一赋值为-1（人为规定）。

而当不选第i个物品，那么和dp $i-1$ $j$ 结果是相同的

如果选第i个，除了考虑是否v $i$ <=j，还要满足dp $i-1$ $j-v\[i$ ]不等于-1（即满足要求恰好装满）这时候背包恰好剩下v $i$ 个位置直接放入即可。

依旧是取二者情况最大值。

初始化方面，第一行除了第一个位置我们为0剩下都是-1，因为我选第0个物品的情况下（即不选）我是无法把你的背包装满的，但是第一个位置背包体积为0，某种意义上也满足要求，但价值是0.

第一列我们初始化为0.

接下来我们写一下二种问题的模板：

cpp 复制代码

//假设v[N],w[N]已经赋值
// int dp[N];
// int n ,V;
cin>>n>>v; 代表物品个数和背包体积


//第一种问题
for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=V;j++)
    {
      dp[i][j]=dp[i-1][j];
      if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

return dp[n][V];

//第二种问题

for(int j=1;j<=V;j++) dp[0][j]=-1;


for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=V;j++)
    {
      dp[i][j]=dp[i-1][j];
      if(j>=v[i]&&dp[i-1][j-v[i]]!=-1) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

return dp[n][V]==-1?0:dp[n][V]

代码优化：滚动数组思想

我们也可以不用二维数组，用一维代替二维，即当填完第一行后，第二行根据第一行的数据进行赋值（把上一次的赋值覆盖，反正我们要的是最后一行的数据）

填表顺序就要从右向左填了，因为j-v $i$ 一定是在j的左边，如果我们从左往右可能就找不到上次的值了。

cpp 复制代码

//假设v[N],w[N]已经赋值
// int dp[N];
// int n ,V;
cin>>n>>v; 代表物品个数和背包体积


//第一种问题
for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=V;j>=v[i];j--)
    {
      dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    }

return dp[V];

//第二种问题

for(int j=1;j<=V;j++) dp[0][j]=-1;


for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=V;j>=v[i];j--)
    {
      if(dp[j-v[i]]!=-1) dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    }

return dp[V]==-1?0:dp[V]

关于内层for循环的判断条件的解释

如果其不满足条件，直接就是上一次的值（dp $i-1$ $j$ ）映射了我们的二维时的思想。