数据结构-二叉树

树

树形结构

概念

树是一种非线性的数据结构 ，它是由n(n>=0)个有限节点 组成的一个具有层次关系的集合。把他叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说他是跟朝上，而叶朝下的。

1.有根节点，根节点没有前驱节点 ，除了根节点之外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合 T1、T2、...... 、Tm，其中每个集合又是一颗于树类似的子树。每棵子树的根节点 有且只有一个前驱，可有多个后继

树是递归定义的

注意： 树形结构中，字树之间不能有交集，否则就不是树形结构

概念

节点的度： 一个节点含有子树的个数，A的度为6

树的度： 一棵树中，所有节点度最大值称为树的度，上图中树的度为6

叶子节点/终端节点：度为0的节点称为叶节点，B C H....是叶子节点

双亲节点/父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点，A是B的父节点

孩子节点/子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点，B是A的子节点

根节点： 一个树中没有双亲结点的节点，A

节点的层次： 从根开始定义 ，根为一层，往下依次增加

树的高度或深度：树中节点的最大层次

非终端节点：度不为0的节点

兄弟节点：BC

堂兄弟节点：双亲在同一层

节点的祖先： 从根节点到该节点所经分支上所有的节点 A是所有节点的祖先

子孙：以某一节点为根 的子树中任意节点都称为该节点的子孙。所有节点都是A的子孙

森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树 组成的集合称为森林

树的表现形式

树有很多种表示方法，如双亲表示法，孩子表示发，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法 。我们这里简单了解其中最常用的孩子兄弟表示法

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class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

树的应用

文件管理系统（目录和文件）

二叉树

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1.或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图看出

1. 二叉树不存在度大于2 的节点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二叉树的几种组合：

特殊的二叉树

1.满二叉树：一颗二叉树，如果每一层的节点都达到最大值 ，则这颗二叉树就是满二叉树。也就是说，如果有一颗二叉树的层数为k ，且节点总数为2^k-1，则他是满二叉树

2.完全二叉树：除了最后一层 ，其他层必须填满 ，最后层的节点要从左向右排列 ，左侧不能 有空位，右侧可以 有空位。满二叉树 是一种特殊的完全二叉树

计算机中数组的索引通常从0 开始，所以完全二叉树的也一般用0 来表示根节点

二叉树的性质

性质一：

对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0 开始编号，则对于序号为i的节点有：

1. 若i>0 双亲序号：(i-1)/2

2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

性质二：

任意一个二叉树度为0的节点比度为2的节点多一个

性质三：

具有n个节点的完全二叉树深度k：log2(n+1)上取整，或者log2(n) +1向下取整

性质4：

对于编号为i（i>1)的节点，其父节点编号为i/2向下取整

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储

链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的 ，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

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// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的根节点
}

二叉树遍历

范例：

遍历就是沿着某条搜索路线，依次对树中每个节点均作一次且仅作一次访问。 访问节点所做的操作依赖于具体的应用问题（比如：打印节点的内容、节点内容加一）。

N代表节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树

NLR：前序遍历，访问节点->根的左子树->根的右子树

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 public void preOrder(TreeNode root){
            if(root==null) return;
            System.out.print(root.val+" ");
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
    }

LNR：中序遍历，根的左子树->根节点->根的右子树

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 public void preOrder(TreeNode root){
            if(root==null) return;
            preOrder(root.left);
            System.out.print(root.val+" ");
            preOrder(root.right);
    }

LRN：后序遍历，根的左子树->根的右子树->根节点

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 public void preOrder(TreeNode root){
            if(root==null) return;
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
            System.out.print(root.val+" ");
    }

**层序遍历：**由上到下，由左到右依次遍历

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       void levelOrder (TreeNode root){
            if(root==null) return;
            Queue<TreeNode> tmp=new LinkedList<>();
            tmp.offer(root);
            while(!tmp.isEmpty()){
                TreeNode cur=tmp.poll();
                System.out.print(cur.data+" ");
                if(cur.left!=null) tmp.offer(cur.left);
                if(cur.right!=null) tmp.offer(cur.right);
            }
            System.out.println();
        }

二叉树的基本操作

二叉树的创建

思路一：通过输入字符串递归创建

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 private TreeNode creatTree(String str){
        char c=str.charAt(i);
        TreeNode root=null;
        if(c!='#'){
            root=new TreeNode(c);
            i++;
            root.left=creatTree(str);
            root.right=creatTree(str);
        }else{
            i++;
        }
        return root;
    }

思路二：一个一个手动创建

获取树中节点个数

思路一：遍历二叉树，只要根节点不为空，计数器加一

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 public static int nodesize;
    public void size(TreeNode root){
        if(root==null) return ;
        nodesize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
    }

思路二：分成子问题，整棵树的节点=左子树的节点+右子树的节点+1，左子树和右子树又分别当作根节点

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public int size(TreeNode root){
        if(root==null) return 0;
        return size(root.left)+size(root.right)+1;
    }

获取叶子节点的个数

思路一：遍历二叉树，当左右节点均为空时，计数器加一

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  public static int leafCount;
    public void getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root==null)  return;
        if(root.left==null&&root.right==null) leafCount++;
        getLeafNodeCount(root.left);
        getLeafNodeCount(root.right);
    }

思路二：分成子问题，左节点的叶子加上右节点的叶子

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    public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root==null)  return 0;
        if(root.left==null&&root.right==null) return 1;
        return getLeafNodeCount(root.left)+
        getLeafNodeCount(root.right);
    }

获取第k层节点的个数

思路一：遍历二叉树

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  public static int leafCount;
    public void getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
       if(root==null) return ;
       if(k==1) leafCount++;
       getKLevelNodeCount(root.left,k-1);
        getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

思路二：分成子问题

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    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
       if(root==null) return 0;
       if(k==1) return 1;
       return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+
        getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

获取二叉树的高度

思路：左树的高度与右树的高度的最大值+1

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    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root==null) return 0;
        int left=getHeight(root.left);
        int right=getHeight(root.right);
        if(left>right) return left+1;
        return right+1;
    }

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(logN) 树的高度

检测某个元素是否存在

依次遍历二叉树

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   TreeNode find(TreeNode root, char val){
       if(root==null) return null;
       if(root.val==val) return root;
       TreeNode t1=find(root.left,val);
       if(t1!=null) return t1;
       TreeNode t2= find(root.right,val);
       if(t2!=null) return t2;
       return null;
   }

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(logN)