知识结构图：
📚 第一部分：函数
1.1 集合与邻域
集合 是具有某种特定性质事物的总体。在高等数学中，我们经常使用邻域的概念来描述一点附近的范围。
- 邻域：设a为实数，δ > 0，则点a的δ邻域定义为U(a, δ) = {x | |x - a| < δ}，即所有与a的距离小于δ的x的集合
- 去心邻域：U°(a, δ) = {x | 0 < |x - a| < δ}，不包含a点本身
1.2 函数的概念
函数是两个集合之间的一种特殊对应关系。
定义：设D是一个非空实数集，如果存在一个对应法则f，使得对于D中的每一个x，按照f都有唯一确定的y与之对应，则称f为定义在D上的函数，记作y = f(x)，x ∈ D。
构成函数的要素：
- 定义域：D，自变量x的取值范围
- 值域：函数值y的集合{y | y = f(x), x ∈ D}
- 对应法则：f，表示x与y之间的关系
判断关系是否为函数 ：关系必须满足单值性 （每个x对应唯一的y）和定义域完整性（Dom(f) = A）。
📌 例题1 ：判断下列关系是否构成函数：
(1) A = {1,2,3,4,5}, B = {6,7,8,9,10}, f = {<1,8>,❤️,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}
(2) A = {1,2,3,4,5}, B = {6,7,8,9,10}, f = {<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
解 ：
(1) 能构成函数，因为每个x ∈ A都有唯一的y ∈ B与之对应。但它不是单射（因为f(3)=f(5)=9），也不是满射（因为7不在值域中）。
(2) 不能构成函数，因为x=1对应两个不同的y值(7和9)，违反单值性。
📌 例题2 ：判断分段关系是否为函数：
f(x) = \\begin{cases} x\^2, \& 0 \\leq x \\leq 3 \\ 3x, \& 3 \\leq x \\leq 10 \\end{cases}
g(x) = \\begin{cases} x\^2, \& 0 \\leq x \\leq 2 \\ 3x, \& 2 \\leq x \\leq 10 \\end{cases}
解：f是函数，因为在x=3处，f(3)=3²=9且f(3)=3×3=9，值相同；g不是函数，因为在x=2处，g(2)=2²=4且g(2)=3×2=6，一个x对应两个y值。
1.3 函数的特性
- 有界性：存在M>0，使|f(x)|≤M对所有x∈D成立
- 单调性：对于任意x₁,x₂∈D，若x₁<x₂则f(x₁)<f(x₂)（递增）或f(x₁)>f(x₂)（递减）
- 奇偶性 ：
- 奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称
- 偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于y轴对称
- 周期性：存在T≠0，使f(x+T)=f(x)对所有x∈D成立
📌 例题3 ：判断函数的奇偶性。
解 ：首先求定义域：，解得x<-1或x>1，定义域关于原点对称。
计算
所以f(-x) = -f(x)，f(x)为奇函数。
1.4 函数的运算与分类
- 四则运算：若f(x)和g(x)定义域分别为D₁和D₂，则它们的和、差、积、商在D₁∩D₂上有定义
- 反函数：若f是双射，则存在反函数f⁻¹，满足f(f⁻¹(x)) = x
- 复合函数：若y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))是复合函数
📌 例题4 ：设，，求和。
解 ：
- 分段函数：在定义域的不同区间上用不同解析式表示的函数
- 基本初等函数 ：
- 常数函数：y = C
- 幂函数：y = x^α
- 指数函数：y = a^x
- 对数函数：y = log_a x
- 三角函数：sin x, cos x, tan x等
- 反三角函数：arcsin x, arccos x, arctan x等
- 初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数
🔢 第二部分：极限
2.1 极限的概念和几何意义
数列极限 ：表示当n无限增大时，a_n无限接近A
函数极限 ：表示当x无限接近x₀时，f(x)无限接近A
几何意义：极限描述了函数在某个点附近的变化趋势，而不关心函数在该点的实际取值。
2.2 极限的性质
- 唯一性：若极限存在，则必唯一
- 局部有界性 ：若存在，则f(x)在x₀的某去心邻域内有界
- 局部保号性 ：若，则在x₀的某去心邻域内f(x) > 0
2.3 单侧极限
- 左极限 ：，x从左侧趋近于x₀
- 右极限 ：，x从右侧趋近于x₀
极限存在的充要条件：左右极限存在且相等。
2.4 无穷小量与无穷大量
- 无穷小量 ：极限为0的量，
- 无穷大量 ：绝对值无限增大的量，
- 关系：若f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；若f(x)为无穷小且f(x)≠0，则1/f(x)为无穷大
2.5 无穷小量的比较
设，：
| 比较情况 | 表达式 | 记号 |
|---|---|---|
| 高阶无穷小 | |
|
| 低阶无穷小 | |
- |
| 同阶无穷小 | |
|
| 等价无穷小 | |
|
常用的等价无穷小（当x→0时）：
2.6 极限的计算
- 四则运算法则 ：若和存在，则其和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商（分母极限不为0）
- 极限存在准则 ：
- 夹逼准则 ：若在x₀的某去心邻域内，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且，则
- 单调有界准则：单调有界数列必有极限
- 夹逼准则 ：若在x₀的某去心邻域内，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且
- 两个重要极限 ：
- 洛必达法则 ：对于型或型极限，若存在，则
📌 例题5 ：求
解：需要分类讨论：
- 当0 < a < 2时，分子分母同除以，原式 =
- 当a = 2时，原式 =
- 当a > 2时，分子分母同除以，原式 =
综上：原式 =
📌 例题6 ：求
解 ：在x=1附近（x≠1），x²+3x-4 = (x+4)(x-1) > 0（因为当x接近1时，x²+3x-3>0），所以|x²+3x-4| = x²+3x-4
原式 =
📈 第三部分：连续
3.1 函数连续性的概念
定义 ：设函数f(x)在点x₀的某邻域内有定义，若，则称f(x)在x₀处连续。
连续的三个条件：
- f(x)在x₀处有定义
- 存在
单侧连续：
- 左连续：
- 右连续：
函数在x₀处连续 ⇔ 既左连续又右连续。
3.2 函数的间断点及类型
间断点：函数f(x)在x₀处不连续，则x₀为间断点。
分类：
- 第一类间断点 ：左右极限都存在
- 可去间断点：左右极限相等但不等于函数值（或函数无定义）
- 跳跃间断点：左右极限存在但不相等
- 第二类间断点 ：左右极限至少有一个不存在
- 无穷间断点：至少有一侧极限为∞
- 振荡间断点：函数值振荡而不趋于确定值
📌 例题7 ：讨论函数的连续性并指出间断点类型。
解 ：f(x)在x=1处无定义，所以x=1为间断点。
当x>1时，
当x<1时，
左极限：
右极限：
左右极限存在但不相等，所以x=1是第一类间断点中的跳跃间断点。
📌 例题8 ：求函数的间断点并指出类型。
解 ：f(x)在x=0处无定义，所以x=0为间断点。
左极限：（因为）
右极限：（因为）
左右极限存在但不相等，所以x=0是第一类间断点中的跳跃间断点。
3.3 连续函数的运算与性质
- 四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数
- 复合函数连续性：连续函数的复合函数仍为连续函数
- 反函数连续性：连续函数的反函数（若存在）仍为连续函数
- 初等函数连续性 ：所有初等函数在其定义域内都是连续的
3.4 闭区间上连续函数的性质
- 有界性定理：闭区间上连续函数在该区间上有界
- 最值定理：闭区间上连续函数在该区间上必取得最大值和最小值
- 零点定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a,b)，使f© = 0
- 介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，M和m分别是最大最小值，则对任意μ ∈ [m,M]，存在ξ ∈ [a,b]，使f(ξ) = μ
📌 例题9 ：证明方程在(0,1)内至少有一个实根。
证明 ：设，f(x)在[0,1]上连续。
f(0) = 1 > 0，f(1) = -1 < 0
由零点定理，存在c ∈ (0,1)，使f© = 0，即方程在(0,1)内至少有一个实根。
💎 总结
这一章的重点和常见考点：
| 模块 | 重点内容 | 常见考点 |
|---|---|---|
| 函数 | 函数概念、特性、复合函数、反函数 | 判断关系是否为函数，求复合函数，判断奇偶性 |
| 极限 | 极限计算、无穷小比较、两个重要极限 | 分类讨论求极限，等价无穷小替换，洛必达法则 |
| 连续 | 连续性概念、间断点分类、闭区间连续函数性质 | 判断间断点类型，零点定理证明根的存在性 |