高等数学第八章常微分方程

微分方程的基本概念

1.1 基本定义

微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后能使该方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解。

通解：含有与微分方程的阶数相同个数的独立任意常数的解称为微分方程的通解。

特解：确定了通解中的任意常数后得到的解称为特解。

积分曲线：微分方程解的图形称为该微分方程的积分曲线。

1.2 例题

例1：判断下列微分方程的阶数

y′′+2y′+y=0y'' + 2y' + y = 0y′′+2y′+y=0（二阶）
(y′)2+xy=1(y')^2 + xy = 1(y′)2+xy=1（一阶）
y(4)−2y′′′+y′′=exy^{(4)} - 2y''' + y'' = e^xy(4)−2y′′′+y′′=ex（四阶）

例2 ：验证函数 y=C1ex+C2e−xy = C_1e^x + C_2e^{-x}y=C1ex+C2e−x 是微分方程 y′′−y=0y'' - y = 0y′′−y=0 的通解，并求满足初始条件 y(0)=1y(0) = 1y(0)=1，y′(0)=0y'(0) = 0y′(0)=0 的特解。

解：求导得 y′=C1ex−C2e−xy' = C_1e^x - C_2e^{-x}y′=C1ex−C2e−x，y′′=C1ex+C2e−xy'' = C_1e^x + C_2e^{-x}y′′=C1ex+C2e−x

代入方程：(C1ex+C2e−x)−(C1ex+C2e−x)=0(C_1e^x + C_2e^{-x}) - (C_1e^x + C_2e^{-x}) = 0(C1ex+C2e−x)−(C1ex+C2e−x)=0，恒成立。

由初始条件：
y(0)=C1+C2=1y(0) = C_1 + C_2 = 1y(0)=C1+C2=1
y′(0)=C1−C2=0y'(0) = C_1 - C_2 = 0y′(0)=C1−C2=0

解得 C1=C2=12C_1 = C_2 = \frac{1}{2}C1=C2=21，特解为 y=12(ex+e−x)y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})y=21(ex+e−x)

一阶微分方程

2.1 可分离变量的微分方程

形如 dydx=f(x)g(y)\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)dxdy=f(x)g(y) 的方程称为可分离变量的微分方程。

解法：dyg(y)=f(x)dx\frac{dy}{g(y)} = f(x)dxg(y)dy=f(x)dx，两边积分 ∫dyg(y)=∫f(x)dx+C\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx + C∫g(y)dy=∫f(x)dx+C

例3 ：求 dydx=2xy\frac{dy}{dx} = 2xydxdy=2xy 的通解

解：dyy=2xdx\frac{dy}{y} = 2xdxydy=2xdx，积分得 ln⁡∣y∣=x2+C1\ln|y| = x^2 + C_1ln∣y∣=x2+C1

即 y=±eC1ex2=Cex2y = \pm e^{C_1}e^{x^2} = Ce^{x^2}y=±eC1ex2=Cex2（其中 C=±eC1C = \pm e^{C_1}C=±eC1）

2.2 齐次方程

形如 dydx=f(yx)\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)dxdy=f(xy) 的方程称为齐次方程。

解法：令 u=yxu = \frac{y}{x}u=xy，则 y=uxy = uxy=ux，dydx=u+xdudx\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}dxdy=u+xdxdu

原方程化为 u+xdudx=f(u)u + x\frac{du}{dx} = f(u)u+xdxdu=f(u)，即 dudx=f(u)−ux\frac{du}{dx} = \frac{f(u)-u}{x}dxdu=xf(u)−u

这是可分离变量的方程。

例4 ：求 dydx=yx+tan⁡yx\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}dxdy=xy+tanxy 的通解

解：令 u=yxu = \frac{y}{x}u=xy，则 y=uxy = uxy=ux，dydx=u+xdudx\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}dxdy=u+xdxdu

原方程化为 u+xdudx=u+tan⁡uu + x\frac{du}{dx} = u + \tan uu+xdxdu=u+tanu，即 xdudx=tan⁡ux\frac{du}{dx} = \tan uxdxdu=tanu

分离变量：dutan⁡u=dxx\frac{du}{\tan u} = \frac{dx}{x}tanudu=xdx，即 cot⁡udu=dxx\cot udu = \frac{dx}{x}cotudu=xdx

积分得 ln⁡∣sin⁡u∣=ln⁡∣x∣+ln⁡∣C∣\ln|\sin u| = \ln|x| + \ln|C|ln∣sinu∣=ln∣x∣+ln∣C∣，即 sin⁡u=Cx\sin u = Cxsinu=Cx

代回 u=yxu = \frac{y}{x}u=xy 得 sin⁡yx=Cx\sin\frac{y}{x} = Cxsinxy=Cx

2.3 一阶线性微分方程

形如 dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)dxdy+P(x)y=Q(x) 的方程称为一阶线性微分方程。

解法（常数变易法）：

先解对应的齐次方程 dydx+P(x)y=0\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0dxdy+P(x)y=0
通解为 y=Ce−∫P(x)dxy = Ce^{-\int P(x)dx}y=Ce−∫P(x)dx
将常数 CCC 变易为函数 C(x)C(x)C(x)，设原方程的解为 y=C(x)e−∫P(x)dxy = C(x)e^{-\int P(x)dx}y=C(x)e−∫P(x)dx
代入原方程确定 C(x)C(x)C(x)

通解公式 ：y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]

例5 ：求 dydx+2yx=exx2\frac{dy}{dx} + \frac{2y}{x} = \frac{e^x}{x^2}dxdy+x2y=x2ex 的通解

解：这里 P(x)=2xP(x) = \frac{2}{x}P(x)=x2，Q(x)=exx2Q(x) = \frac{e^x}{x^2}Q(x)=x2ex

∫P(x)dx=∫2xdx=2ln⁡∣x∣=ln⁡x2\int P(x)dx = \int \frac{2}{x}dx = 2\ln|x| = \ln x^2∫P(x)dx=∫x2dx=2ln∣x∣=lnx2

e∫P(x)dx=eln⁡x2=x2e^{\int P(x)dx} = e^{\ln x^2} = x^2e∫P(x)dx=elnx2=x2，e−∫P(x)dx=e−ln⁡x2=1x2e^{-\int P(x)dx} = e^{-\ln x^2} = \frac{1}{x^2}e−∫P(x)dx=e−lnx2=x21

代入公式：
y=1x2[∫exx2⋅x2dx+C]=1x2[∫exdx+C]=1x2(ex+C)y = \frac{1}{x^2}\left[\int \frac{e^x}{x^2} \cdot x^2 dx + C\right] = \frac{1}{x^2}\left[\int e^x dx + C\right] = \frac{1}{x^2}(e^x + C)y=x21[∫x2ex⋅x2dx+C]=x21[∫exdx+C]=x21(ex+C)

2.4 伯努利方程

形如 dydx+P(x)y=Q(x)yn\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^ndxdy+P(x)y=Q(x)yn（n≠0,1n \neq 0,1n=0,1）的方程称为伯努利方程。

解法：令 z=y1−nz = y^{1-n}z=y1−n，则 dzdx=(1−n)y−ndydx\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}dxdz=(1−n)y−ndxdy

原方程化为 dzdx+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)dxdz+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)

这是一阶线性微分方程。

例6 ：求 dydx+yx=y2ln⁡x\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = y^2\ln xdxdy+xy=y2lnx 的通解

解：这是 n=2n=2n=2 的伯努利方程

令 z=y1−2=y−1z = y^{1-2} = y^{-1}z=y1−2=y−1，则 dzdx=−y−2dydx\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\frac{dy}{dx}dxdz=−y−2dxdy

原方程两边乘 −y−2-y^{-2}−y−2 得：−y−2dydx−y−1x=−ln⁡x-y^{-2}\frac{dy}{dx} - \frac{y^{-1}}{x} = -\ln x−y−2dxdy−xy−1=−lnx

即 dzdx−zx=−ln⁡x\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\ln xdxdz−xz=−lnx

这是一阶线性微分方程，P(x)=−1xP(x) = -\frac{1}{x}P(x)=−x1，Q(x)=−ln⁡xQ(x) = -\ln xQ(x)=−lnx

∫P(x)dx=−∫1xdx=−ln⁡∣x∣=ln⁡1∣x∣\int P(x)dx = -\int \frac{1}{x}dx = -\ln|x| = \ln\frac{1}{|x|}∫P(x)dx=−∫x1dx=−ln∣x∣=ln∣x∣1

e∫P(x)dx=eln⁡1∣x∣=1xe^{\int P(x)dx} = e^{\ln\frac{1}{|x|}} = \frac{1}{x}e∫P(x)dx=eln∣x∣1=x1，e−∫P(x)dx=xe^{-\int P(x)dx} = xe−∫P(x)dx=x

代入公式：
z=x[∫(−ln⁡x)⋅1xdx+C]=x[−∫ln⁡xxdx+C]z = x\left[\int (-\ln x)\cdot\frac{1}{x}dx + C\right] = x\left[-\int \frac{\ln x}{x}dx + C\right]z=x[∫(−lnx)⋅x1dx+C]=x[−∫xlnxdx+C]

∫ln⁡xxdx=∫ln⁡xd(ln⁡x)=12(ln⁡x)2\int \frac{\ln x}{x}dx = \int \ln x d(\ln x) = \frac{1}{2}(\ln x)^2∫xlnxdx=∫lnxd(lnx)=21(lnx)2

所以 z=x[−12(ln⁡x)2+C]z = x\left[-\frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\right]z=x[−21(lnx)2+C]

代回 z=y−1z = y^{-1}z=y−1 得 y=1x[C−12(ln⁡x)2]y = \frac{1}{x\left[C - \frac{1}{2}(\ln x)^2\right]}y=x[C−21(lnx)2]1

2.5 全微分方程

形如 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，且满足 ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}∂y∂P=∂x∂Q 的方程称为全微分方程。

解法：存在函数 u(x,y)u(x,y)u(x,y) 使得 du=Pdx+Qdy=0du = Pdx + Qdy = 0du=Pdx+Qdy=0，通解为 u(x,y)=Cu(x,y) = Cu(x,y)=C

例7 ：求 (3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0(3x^2 + 6xy^2)dx + (6x^2y + 4y^3)dy = 0(3x2+6xy2)dx+(6x2y+4y3)dy=0 的通解

解：P=3x2+6xy2P = 3x^2 + 6xy^2P=3x2+6xy2，Q=6x2y+4y3Q = 6x^2y + 4y^3Q=6x2y+4y3

∂P∂y=12xy\frac{\partial P}{\partial y} = 12xy∂y∂P=12xy，∂Q∂x=12xy\frac{\partial Q}{\partial x} = 12xy∂x∂Q=12xy，相等，故为全微分方程

求 u(x,y)u(x,y)u(x,y)：
∂u∂x=P=3x2+6xy2\frac{\partial u}{\partial x} = P = 3x^2 + 6xy^2∂x∂u=P=3x2+6xy2，积分得 u=x3+3x2y2+φ(y)u = x^3 + 3x^2y^2 + \varphi(y)u=x3+3x2y2+φ(y)

∂u∂y=6x2y+φ′(y)\frac{\partial u}{\partial y} = 6x^2y + \varphi'(y)∂y∂u=6x2y+φ′(y)，与 Q=6x2y+4y3Q = 6x^2y + 4y^3Q=6x2y+4y3 比较得 φ′(y)=4y3\varphi'(y) = 4y^3φ′(y)=4y3

积分得 φ(y)=y4\varphi(y) = y^4φ(y)=y4

所以 u(x,y)=x3+3x2y2+y4u(x,y) = x^3 + 3x^2y^2 + y^4u(x,y)=x3+3x2y2+y4

通解为 x3+3x2y2+y4=Cx^3 + 3x^2y^2 + y^4 = Cx3+3x2y2+y4=C

高阶微分方程

3.1 可降阶的微分方程

类型一 ：y(n)=f(x)y^{(n)} = f(x)y(n)=f(x)

解法：连续积分 nnn 次

例8 ：求 y′′′=ex+sin⁡xy''' = e^x + \sin xy′′′=ex+sinx 的通解

解：积分得 y′′=ex−cos⁡x+C1y'' = e^x - \cos x + C_1y′′=ex−cosx+C1

再积分得 y′=ex−sin⁡x+C1x+C2y' = e^x - \sin x + C_1x + C_2y′=ex−sinx+C1x+C2

再积分得 y=ex+cos⁡x+12C1x2+C2x+C3y = e^x + \cos x + \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3y=ex+cosx+21C1x2+C2x+C3

类型二 ：y′′=f(x,y′)y'' = f(x,y')y′′=f(x,y′)（不显含 yyy）

解法：令 p=y′p = y'p=y′，则 y′′=dpdxy'' = \frac{dp}{dx}y′′=dxdp，原方程化为 dpdx=f(x,p)\frac{dp}{dx} = f(x,p)dxdp=f(x,p)

例9 ：求 y′′−1xy′=0y'' - \frac{1}{x}y' = 0y′′−x1y′=0 的通解

解：令 p=y′p = y'p=y′，则 dpdx−1xp=0\frac{dp}{dx} - \frac{1}{x}p = 0dxdp−x1p=0

解得 p=C1xp = C_1xp=C1x，即 y′=C1xy' = C_1xy′=C1x

积分得 y=12C1x2+C2y = \frac{1}{2}C_1x^2 + C_2y=21C1x2+C2

类型三 ：y′′=f(y,y′)y'' = f(y,y')y′′=f(y,y′)（不显含 xxx）

解法：令 p=y′p = y'p=y′，则 y′′=dpdx=dpdydydx=pdpdyy'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}y′′=dxdp=dydpdxdy=pdydp，原方程化为 pdpdy=f(y,p)p\frac{dp}{dy} = f(y,p)pdydp=f(y,p)

例10 ：求 y′′=1y3y'' = \frac{1}{y^3}y′′=y31 满足 y(0)=1y(0)=1y(0)=1，y′(0)=1y'(0)=1y′(0)=1 的特解

解：令 p=y′p = y'p=y′，则 y′′=pdpdyy'' = p\frac{dp}{dy}y′′=pdydp，原方程化为 pdpdy=1y3p\frac{dp}{dy} = \frac{1}{y^3}pdydp=y31

分离变量：pdp=dyy3pdp = \frac{dy}{y^3}pdp=y3dy，积分得 12p2=−12y2+C1\frac{1}{2}p^2 = -\frac{1}{2y^2} + C_121p2=−2y21+C1

由 y(0)=1y(0)=1y(0)=1，y′(0)=1y'(0)=1y′(0)=1 得 12=−12+C1\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C_121=−21+C1，所以 C1=1C_1 = 1C1=1

即 p2=−1y2+2p^2 = -\frac{1}{y^2} + 2p2=−y21+2，p=dydx=2−1y2p = \frac{dy}{dx} = \sqrt{2 - \frac{1}{y^2}}p=dxdy=2−y21

分离变量：dy2−1y2=dx\frac{dy}{\sqrt{2 - \frac{1}{y^2}}} = dx2−y21 dy=dx，即 ydy2y2−1=dx\frac{ydy}{\sqrt{2y^2 - 1}} = dx2y2−1 ydy=dx

积分得 122y2−1=x+C2\frac{1}{2}\sqrt{2y^2 - 1} = x + C_2212y2−1 =x+C2

由 y(0)=1y(0)=1y(0)=1 得 122−1=C2\frac{1}{2}\sqrt{2-1} = C_2212−1 =C2，C2=12C_2 = \frac{1}{2}C2=21

所以 2y2−1=2x+1\sqrt{2y^2 - 1} = 2x + 12y2−1 =2x+1，即 2y2−1=(2x+1)22y^2 - 1 = (2x+1)^22y2−1=(2x+1)2

y2=(2x+1)2+12y^2 = \frac{(2x+1)^2 + 1}{2}y2=2(2x+1)2+1，y=(2x+1)2+12y = \sqrt{\frac{(2x+1)^2 + 1}{2}}y=2(2x+1)2+1 （取正号）

3.2 线性微分方程解的结构

形如 y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=f(x)y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = f(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an−1(x)y′+an(x)y=f(x) 的方程称为 nnn 阶线性微分方程。

叠加原理 ：若 y1,y2y_1,y_2y1,y2 是齐次方程的解，则 C1y1+C2y2C_1y_1 + C_2y_2C1y1+C2y2 也是齐次方程的解。

解的结构：

齐次方程的通解 = 齐次方程的几个线性无关特解的线性组合
非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解

3.3 二阶常系数齐次线性微分方程

形如 y′′+py′+qy=0y'' + py' + qy = 0y′′+py′+qy=0（p,qp,qp,q 为常数）

解法：设 y=erxy = e^{rx}y=erx，代入得特征方程 r2+pr+q=0r^2 + pr + q = 0r2+pr+q=0

情况1 ：Δ>0\Delta > 0Δ>0，两个不等实根 r1,r2r_1,r_2r1,r2

通解：y=C1er1x+C2er2xy = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x

情况2 ：Δ=0\Delta = 0Δ=0，两个相等实根 r1=r2=rr_1 = r_2 = rr1=r2=r

通解：y=(C1+C2x)erxy = (C_1 + C_2x)e^{rx}y=(C1+C2x)erx

情况3 ：Δ<0\Delta < 0Δ<0，一对共轭复根 r=α±iβr = \alpha \pm i\betar=α±iβ

通解：y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

例11 ：求 y′′−4y′+3y=0y'' - 4y' + 3y = 0y′′−4y′+3y=0 的通解

解：特征方程 r2−4r+3=0r^2 - 4r + 3 = 0r2−4r+3=0，根 r1=1r_1 = 1r1=1，r2=3r_2 = 3r2=3

通解：y=C1ex+C2e3xy = C_1e^x + C_2e^{3x}y=C1ex+C2e3x

例12 ：求 y′′+4y′+4y=0y'' + 4y' + 4y = 0y′′+4y′+4y=0 的通解

解：特征方程 r2+4r+4=0r^2 + 4r + 4 = 0r2+4r+4=0，根 r1=r2=−2r_1 = r_2 = -2r1=r2=−2

通解：y=(C1+C2x)e−2xy = (C_1 + C_2x)e^{-2x}y=(C1+C2x)e−2x

例13 ：求 y′′+2y′+5y=0y'' + 2y' + 5y = 0y′′+2y′+5y=0 的通解

解：特征方程 r2+2r+5=0r^2 + 2r + 5 = 0r2+2r+5=0，根 r=−1±2ir = -1 \pm 2ir=−1±2i

通解：y=e−x(C1cos⁡2x+C2sin⁡2x)y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)y=e−x(C1cos2x+C2sin2x)

3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程

形如 y′′+py′+qy=f(x)y'' + py' + qy = f(x)y′′+py′+qy=f(x)（p,qp,qp,q 为常数）

解法：

先求对应齐次方程的通解 YYY
再求非齐次方程的一个特解 y∗y^*y∗
原方程通解为 y=Y+y∗y = Y + y^*y=Y+y∗

类型一 ：f(x)=Pm(x)eλxf(x) = P_m(x)e^{\lambda x}f(x)=Pm(x)eλx（Pm(x)P_m(x)Pm(x) 是 mmm 次多项式）

特解形式 ：y∗=xkQm(x)eλxy^* = x^kQ_m(x)e^{\lambda x}y∗=xkQm(x)eλx

k=0k = 0k=0，当 λ\lambdaλ 不是特征根
k=1k = 1k=1，当 λ\lambdaλ 是单特征根
k=2k = 2k=2，当 λ\lambdaλ 是重特征根

例14 ：求 y′′−2y′−3y=3x+1y'' - 2y' - 3y = 3x + 1y′′−2y′−3y=3x+1 的通解

解：齐次方程 y′′−2y′−3y=0y'' - 2y' - 3y = 0y′′−2y′−3y=0

特征方程 r2−2r−3=0r^2 - 2r - 3 = 0r2−2r−3=0，根 r1=−1r_1 = -1r1=−1，r2=3r_2 = 3r2=3

齐次通解 Y=C1e−x+C2e3xY = C_1e^{-x} + C_2e^{3x}Y=C1e−x+C2e3x

f(x)=3x+1=(3x+1)e0xf(x) = 3x + 1 = (3x+1)e^{0x}f(x)=3x+1=(3x+1)e0x，λ=0\lambda = 0λ=0 不是特征根

设特解 y∗=Ax+By^* = Ax + By∗=Ax+B，则 y∗′=Ay^{*'} = Ay∗′=A，y∗′′=0y^{*''} = 0y∗′′=0

代入方程：0−2A−3(Ax+B)=3x+10 - 2A - 3(Ax+B) = 3x + 10−2A−3(Ax+B)=3x+1

即 −3Ax−(2A+3B)=3x+1-3Ax - (2A+3B) = 3x + 1−3Ax−(2A+3B)=3x+1

比较系数：−3A=3-3A = 3−3A=3，−(2A+3B)=1-(2A+3B) = 1−(2A+3B)=1

解得 A=−1A = -1A=−1，B=13B = \frac{1}{3}B=31

特解 y∗=−x+13y^* = -x + \frac{1}{3}y∗=−x+31

通解 y=C1e−x+C2e3x−x+13y = C_1e^{-x} + C_2e^{3x} - x + \frac{1}{3}y=C1e−x+C2e3x−x+31

例15 ：求 y′′−5y′+6y=xe2xy'' - 5y' + 6y = xe^{2x}y′′−5y′+6y=xe2x 的通解

解：齐次方程特征方程 r2−5r+6=0r^2 - 5r + 6 = 0r2−5r+6=0，根 r1=2r_1 = 2r1=2，r2=3r_2 = 3r2=3

齐次通解 Y=C1e2x+C2e3xY = C_1e^{2x} + C_2e^{3x}Y=C1e2x+C2e3x

f(x)=xe2xf(x) = xe^{2x}f(x)=xe2x，λ=2\lambda = 2λ=2 是单特征根

设特解 y∗=x(Ax+B)e2x=(Ax2+Bx)e2xy^* = x(Ax+B)e^{2x} = (Ax^2+Bx)e^{2x}y∗=x(Ax+B)e2x=(Ax2+Bx)e2x

y∗′=(2Ax+B)e2x+2(Ax2+Bx)e2x=[2Ax2+(2A+2B)x+B]e2xy^{*'} = (2Ax+B)e^{2x} + 2(Ax^2+Bx)e^{2x} = [2Ax^2 + (2A+2B)x + B]e^{2x}y∗′=(2Ax+B)e2x+2(Ax2+Bx)e2x=[2Ax2+(2A+2B)x+B]e2x

y∗′′=[4Ax+(2A+2B)]e2x+2[2Ax2+(2A+2B)x+B]e2x=[4Ax2+(8A+4B)x+(2A+4B)]e2xy^{*''} = [4Ax + (2A+2B)]e^{2x} + 2[2Ax^2 + (2A+2B)x + B]e^{2x} = [4Ax^2 + (8A+4B)x + (2A+4B)]e^{2x}y∗′′=[4Ax+(2A+2B)]e2x+2[2Ax2+(2A+2B)x+B]e2x=[4Ax2+(8A+4B)x+(2A+4B)]e2x

代入方程：

4Ax2+(8A+4B)x+(2A+4B)\]−5\[2Ax2+(2A+2B)x+B\]+6\[Ax2+Bx\]=x\[4Ax\^2 + (8A+4B)x + (2A+4B)\] - 5\[2Ax\^2 + (2A+2B)x + B\] + 6\[Ax\^2+Bx\] = x\[4Ax2+(8A+4B)x+(2A+4B)\]−5\[2Ax2+(2A+2B)x+B\]+6\[Ax2+Bx\]=x 整理得：(4A−10A+6A)x2+\[(8A+4B)−5(2A+2B)+6B\]x+\[(2A+4B)−5B\]=x(4A-10A+6A)x\^2 + \[(8A+4B)-5(2A+2B)+6B\]x + \[(2A+4B)-5B\] = x(4A−10A+6A)x2+\[(8A+4B)−5(2A+2B)+6B\]x+\[(2A+4B)−5B\]=x 即 (−2A)x+(2A−B)=x(-2A)x + (2A - B) = x(−2A)x+(2A−B)=x 比较系数：−2A=1-2A = 1−2A=1，2A−B=02A - B = 02A−B=0 解得 A=−12A = -\\frac{1}{2}A=−21，B=−1B = -1B=−1 特解 y∗=(−12x2−x)e2xy\^\* = (-\\frac{1}{2}x\^2 - x)e\^{2x}y∗=(−21x2−x)e2x 通解 y=C1e2x+C2e3x−(12x2+x)e2xy = C_1e\^{2x} + C_2e\^{3x} - (\\frac{1}{2}x\^2 + x)e\^{2x}y=C1e2x+C2e3x−(21x2+x)e2x **类型二** ：f(x)=eαx\[Pl(x)cos⁡βx+Pn(x)sin⁡βx\]f(x) = e\^{\\alpha x}\[P_l(x)\\cos\\beta x + P_n(x)\\sin\\beta x\]f(x)=eαx\[Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx

特解形式 ：y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cos⁡βx+Rm(2)(x)sin⁡βx]y^* = x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x + R_m^{(2)}(x)\sin\beta x]y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx]

其中 m=max⁡(l,n)m = \max(l,n)m=max(l,n)

k=0k = 0k=0，当 α±iβ\alpha \pm i\betaα±iβ 不是特征根
k=1k = 1k=1，当 α±iβ\alpha \pm i\betaα±iβ 是特征根

例16 ：求 y′′+y=xcos⁡2xy'' + y = x\cos 2xy′′+y=xcos2x 的通解

解：齐次方程 y′′+y=0y'' + y = 0y′′+y=0

特征方程 r2+1=0r^2 + 1 = 0r2+1=0，根 r=±ir = \pm ir=±i

齐次通解 Y=C1cos⁡x+C2sin⁡xY = C_1\cos x + C_2\sin xY=C1cosx+C2sinx

f(x)=xcos⁡2x=e0x[xcos⁡2x+0⋅sin⁡2x]f(x) = x\cos 2x = e^{0x}[x\cos 2x + 0\cdot\sin 2x]f(x)=xcos2x=e0x[xcos2x+0⋅sin2x]，α=0\alpha = 0α=0，β=2\beta = 2β=2

α±iβ=±2i\alpha \pm i\beta = \pm 2iα±iβ=±2i 不是特征根

设特解 y∗=(Ax+B)cos⁡2x+(Cx+D)sin⁡2xy^* = (Ax+B)\cos 2x + (Cx+D)\sin 2xy∗=(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x

求导代入方程比较系数（过程略）得：
y∗=−13xcos⁡2x+49sin⁡2xy^* = -\frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9}\sin 2xy∗=−31xcos2x+94sin2x

通解 y=C1cos⁡x+C2sin⁡x−13xcos⁡2x+49sin⁡2xy = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{3}x\cos 2x + \frac{4}{9}\sin 2xy=C1cosx+C2sinx−31xcos2x+94sin2x

3.5 历年考题

考题1 ：求微分方程 y′′+4y′+4y=e−2xy'' + 4y' + 4y = e^{-2x}y′′+4y′+4y=e−2x 的通解

解：齐次方程特征方程 r2+4r+4=0r^2 + 4r + 4 = 0r2+4r+4=0，根 r1=r2=−2r_1 = r_2 = -2r1=r2=−2

齐次通解 Y=(C1+C2x)e−2xY = (C_1 + C_2x)e^{-2x}Y=(C1+C2x)e−2x

f(x)=e−2xf(x) = e^{-2x}f(x)=e−2x，λ=−2\lambda = -2λ=−2 是重特征根

设特解 y∗=Ax2e−2xy^* = Ax^2e^{-2x}y∗=Ax2e−2x

y∗′=2Axe−2x−2Ax2e−2x=2Ax(1−x)e−2xy^{*'} = 2Axe^{-2x} - 2Ax^2e^{-2x} = 2Ax(1-x)e^{-2x}y∗′=2Axe−2x−2Ax2e−2x=2Ax(1−x)e−2x

y∗′′=2A(1−2x)e−2x−4Ax(1−x)e−2x=2A(1−4x+2x2)e−2xy^{*''} = 2A(1-2x)e^{-2x} - 4Ax(1-x)e^{-2x} = 2A(1-4x+2x^2)e^{-2x}y∗′′=2A(1−2x)e−2x−4Ax(1−x)e−2x=2A(1−4x+2x2)e−2x