投票理论（voting theory）(social choice theory)

羽毛球假球事件

体育精神是一回事，比赛机制的确也有问题

SO a bad mechanism could lead to a bad result.

所以NBA 季后赛（playoffs）是强队打弱队。

🏀 为什么 NBA 季后赛强队打弱队？

1. 根本原因：奖励强队（Rewarding performance）

NBA 常规赛（82 场）结束后，战绩越好，排名越高。

季后赛规则是：

第1名对第8名,第2名对第7名,第3名对第6名,第4名对第5名. \text{第1名对第8名},\quad \text{第2名对第7名},\quad \text{第3名对第6名},\quad \text{第4名对第5名}. 第1名对第8名,第2名对第7名,第3名对第6名,第4名对第5名.

这样做的"为什么"很简单：

常规赛表现好的球队应该得到奖励

因为他们整个赛季表现稳定、努力、强。

这是一种 激励机制（incentive mechanism） ：

你越努力，季后赛首轮越轻松。

2. 这样做的好处

（1）让常规赛更有价值

如果排名不重要，球队可能会摆烂、轮休、乱打。

现在每场常规赛都重要，因为高排位意味着更容易赢季后赛。

现实类比：

就像考试排名靠前的学生在选课或选宿舍时有优先权。

（2）保持季后赛的公平（Fairness）

强队与弱队交叉对位，让整体对阵更合理。

否则如果随机对阵，可能出现两支冠军热门球队在首轮互相淘汰，整体不公平。

（3）增加观赏性与商业价值

强队一般明星更多、关注度更大，

让他们更可能进入后几轮，能保证收视率与票房。

这和世界杯也类似：

强队不会在小组赛就互相打得你死我活。

3. 这是一种典型的"机制设计（Mechanism Design）"

用经济学语言解释更有趣：

NBA 的排位系统就是一个机制（mechanism），

它想实现的社会目标是：

让表现最好的球队更有机会走得更远. \text{让表现最好的球队更有机会走得更远}. 让表现最好的球队更有机会走得更远.

为了实现这个目标，NBA设计了：

明确的规则（ranking rule）
激励方式（reward for high performance）
对阵安排（strong vs weak）

这和拍卖机制、资源分配机制的设计思路类似。

4. 如果强队不打弱队，会发生什么？

如果季后赛完全随机对阵：

常规赛就变得不重要
球队会更频繁摆烂
球迷会觉得"不公平"
商业价值会下降
首轮可能就"冠军热门互相淘汰"

What Mechanism Design Is Trying to Accomplish (Explained with MathJax)

1. The Situation

Mary wants to sell a vase to either Ann or Bob.

Each person has a private valuation:

Ann's valuation:
vAv_AvA
Bob's valuation:
vBv_BvB

These valuations are private information --- Mary does not know them.

Mary wants the vase to go to the person who values it the most.

Formally, her desired social choice function is:

f(vA,vB)={A,if vA≥vB,B,if vB>vA. f(v_A, v_B) = \begin{cases} A, & \text{if } v_A \ge v_B, \\ B, & \text{if } v_B > v_A. \end{cases} f(vA,vB)={A,B,if vA≥vB,if vB>vA.

So she wants to choose the agent with the highest valuation.

3. The Challenge: Valuations Are Unknown

Because Mary cannot observe vAv_AvA and vBv_BvB,

she cannot directly compute:

f(vA,vB).f(v_A, v_B).f(vA,vB).

She needs Ann and Bob to reveal their valuations.

But they may lie if lying helps them get the vase cheaper.

4. The Goal of Mechanism Design

Mechanism design asks:

Can we design a protocol that makes Ann and Bob reveal their valuations truthfully so the vase is allocated efficiently?

A mechanism consists of:

A message space (what Ann and Bob can report)
MA,MBM_A, M_BMA,MB
An allocation rule
x(mA,mB)x(m_A, m_B)x(mA,mB)
A payment rule
pA(mA,mB),;pB(mA,mB)p_A(m_A, m_B),; p_B(m_A, m_B)pA(mA,mB),;pB(mA,mB)

The mechanism should implement the social choice function:

(x,p) implements fif truthful reporting is optimal and x(vA,vB)=f(vA,vB). (x, p) \text{ implements } f \quad \text{if truthful reporting is optimal and } x(v_A, v_B)=f(v_A, v_B). (x,p) implements fif truthful reporting is optimal and x(vA,vB)=f(vA,vB).

This is the core idea.

5. What the Slide Means (In Plain English)

Mary wants efficiency: sell to whoever values it more.
But she lacks the necessary information.
So she defines the desired rule ("allocate to highest valuation").
Then she designs a mechanism so that, for any possible valuations, truthful behaviour leads to the desired outcome.

This is exactly what auctions such as the Vickrey second-price auction are designed to achieve.

What is Mechaism Design trying to accomplish

📘 机制设计到底想解决什么问题？

1. 固定一组可能的结果

设一组可能的结果集合为：

O=o1,o2,...,om.O = {o_1, o_2, \dots, o_m}.O=o1,o2,...,om.

例如：

给一个物品，可以选择把它分配给 Ann 、Bob、或者不卖，这些都属于可能结果。

2. 给定玩家的偏好（preference profile）

每个玩家 ( i ) 都有自己的偏好顺序：

⪰i\succeq_i⪰i

整组偏好称为偏好型谱（preference profile）：

(⪰1,...,⪰n). (\succeq_1, \ldots, \succeq_n). (⪰1,...,⪰n).

在这些偏好下，有些结果比其他结果更"好"，即更符合社会目标。

例如：

把物品给价值最高的人，就是更好的结果。

设"理想结果集合"为：

O∗⊆O.O^* \subseteq O.O∗⊆O.

3. 问题在于：玩家的偏好是私人信息

设计者不知道：

⪰1,...,⪰n.\succeq_1, \dots, \succeq_n.⪰1,...,⪰n.

玩家可能撒谎，因为真实偏好可能不符合他们的利益。

4. 机制设计想解决的核心问题

设计一个游戏规则（机制），让玩家按照自己利益最大化的方式行动时，游戏的结果刚好落在我们想要的 (O^*) 中。

形式上：

机制定义一个 game form（博弈形式）
玩家按某个固定的解概念（solution concept，例如纳什均衡）来行动
态得到的均衡结果等于我们希望的社会理想结果

数学地写：

对于所有可能的偏好型谱
(⪰1,...,⪰n), (\succeq_1, \ldots, \succeq_n), (⪰1,...,⪰n),
机制在所选解概念下产生的结果属于
O∗.O^*.O∗.

🔍 简单总结一句话

机制设计的目标是：

在不知道玩家真实偏好的情况下，设计一个游戏，让玩家"自发地"按照机制想要的方式行动，从而实现我们期望的社会结果。

P6 Strategic Behavior and the Importance of Truthfulness

C. L. Dodgson （👉 /ˈdɒdʒ.sən/ in phonetic symbols (British English)） is actually the real name of Lewis Carroll, the famous author of Alice's Adventures in Wonderland.

Full name: Charles Lutwidge Dodgson (1832 -- 1898)

He was:

🧮 A mathematician and logician at Christ Church, Oxford

✍️ A writer and photographer

🧠 One of the early thinkers in voting theory and social choice theory

In fact, beyond his children's stories, Dodgson wrote several mathematical papers on how to make fair group decisions --- what we now call collective decision-making or voting systems.

Mechanism Design and MAS

🧠 为什么机制设计适合多智能体系统？

1. 多智能体系统中的基本假设

在 MAS 中，我们通常假设每个智能体：

自利（self-interested） ：

智能体会选择让自己收益最大的行动。
自主（autonomous） ：

智能体并不会完全按照设计者写好的"规则"执行，而是根据自身目标做决策。
信息不透明（information asymmetry） ：

每个智能体的偏好、成本、收益都是私有信息。

这和经济学中的人类决策高度相似。

🔧 2. 为什么不能简单"写程序让它们合作"？

因为如果智能体是理性自利的，它们会选择 最大化自身收益 的行为，而不是你希望的行为。

例如：

你希望它报告真实价值

但它可能撒谎。
你希望它合作

但它可能背叛。
你希望它遵守协议

但它可能破坏协议获取更多好处。

这意味着：

传统的算法控制方法（assume agents obey the code）在自利代理中完全失效。

🎯 3. 机制设计在 MAS 中的作用

机制设计的目标用一句话概括就是：

在不信任智能体、不掌握它们真实偏好的条件下，通过设计规则，让智能体"即使出于自利，也会做出对系统有利的决策"。

用数学语言：

设计一个机制 ( M )，使得真实偏好是智能体的最优策略。

Truthful reporting is a dominant strategy. \text{Truthful reporting is a dominant strategy.} Truthful reporting is a dominant strategy.

或者使得系统运行的均衡结果达到预期：

Equilibrium(M)∈O∗ \text{Equilibrium}(M) \in O^* Equilibrium(M)∈O∗

即便代理自利。

🚦 4. MAS 情境举例（更贴近 AI）

每个自动驾驶汽车都想尽快使用充电桩。

如果没有合适的，它们可能会抢占、不让位、甚至撒谎。

例如并不紧急，然而撒谎说没电了，亟需充电。

或者明明一会儿就充好了，但是预约一整晚的充电。。。

📌 一句话总结

在多智能体系统中使用机制设计，是因为每个智能体是自利的、自主的，有私有信息，而且不会按照你写好的程序 obediently 行动。

机制设计的任务，就是在这种情况下，通过设计激励与规则，让自利行为自动导向系统整体目标。

📝 总结一句话

Dodgson 的意思是：

不要让制度变成"谁更会玩策略谁就赢"。
要让制度反映"真实偏好"本身。

机制设计恰恰就是在解决这个问题：
构造机制，使得即便玩家是自利的、策略性的，说真话也最划算。

1️⃣ "不用担心"的真正含义是什么？

你之前的问题可以形式化成：

会不会存在某个 非真实 机制，比所有 激励相容（truthful） 机制表现更好，所以我们只研究真实机制是"吃亏"的？

机制设计的标准答案：

不用担心。

因为根据 揭示原理（Revelation Principle）：

任何通过某个（可能要求撒谎的）机制在均衡上能实现的社会选择函数，都可以通过一个直接揭示机制（direct revelation mechanism） 、而且是真实汇报为均衡策略的方式来实现。

也就是说：
在"可实现什么结果"这一点上，允许撒谎的机制并不比真实机制更强。

📌 Strategic Behavior and the Importance of Truthfulness

Borda 规则 是一种投票（preference aggregation）方法，用来根据选民的排序偏好选出一个赢家。

核心思想：

排序越靠前，得分越高；排序越靠后，得分越低。
最终总得分最高的选项获胜。

🧮 Borda 计分方式（标准版）

假设有 ( m ) 个候选项。

排名第 1 的得 ( m-1 ) 分
排名第 2 的得 ( m-2 ) 分
排名第 3 的得 ( m-3 ) 分
...
排名最后的得 (0) 分

数学描述：

如果选民 (i) 的排序为：

a1≻a2≻⋯≻am,a_1 \succ a_2 \succ \cdots \succ a_m,a1≻a2≻⋯≻am,

则候选人 (a_k) 的得分为：

BordaScore(ak)=m−k. \text{BordaScore}(a_k) = m - k. BordaScore(ak)=m−k.

所有选民的得分相加，总分最高者获胜：

Winner=arg⁡max⁡a∑iBordaScorei(a). \text{Winner} = \arg\max_{a} \sum_i \text{BordaScore}_i(a). Winner=argamaxi∑BordaScorei(a).

📌 Borda 规则为什么会鼓励玩家撒谎？

这张幻灯片展示了：

在 Borda 计分规则 下，玩家 3 通过谎报偏好可以让结果变得更符合自己的利益。

1. 左边是三位玩家的真实偏好

玩家 1：
a≻b≻c≻da \succ b \succ c \succ da≻b≻c≻d

玩家 2：
a≻b≻d≻ca \succ b \succ d \succ ca≻b≻d≻c

玩家 3：
d≻c≻b≻ad \succ c \succ b \succ ad≻c≻b≻a

按照 Borda 规则（名次越靠前得分越高），

计算总分后赢家是：

a(总分 6 分)a \quad \text{(总分 6 分)}a(总分 6 分)

2. 右边：玩家 3 改变了自己的排序（谎报）

玩家 3 把自己的排序改成：

b≻c≻d≻ab \succ c \succ d \succ ab≻c≻d≻a

重新计分后赢家变成：

b(总分 7 分)b \quad \text{(总分 7 分)}b(总分 7 分)

3. 为什么这表示"撒谎更好"？

如果玩家 3 的真实偏好是：

d≻c≻b≻ad \succ c \succ b \succ ad≻c≻b≻a

那他明显更喜欢 b 胜出 而不是 a 胜出。

因此：

玩家 3 通过谎报偏好得到了更喜欢的结果。

即：Borda 规则不是"激励相容"的，会鼓励玩家进行策略性投票。

📌 结论（slide 原话的意思）

如果玩家 3 的真实偏好是左图那样，

那他确实更应该撒谎，因为谎报会带来更好的结果。

下面用**特朗普（Trump）和希拉里（Hillary Clinton）**的例子，来解释这张关于 社会选择函数（Social Choice Function） 和 战略博弈形式（Strategic Game Forms） 的幻灯片内容。

会非常直观。

🇺🇸 用"特朗普 vs 希拉里选举"解释幻灯片

假设一个国家要在 特朗普（T） 和 希拉里（H） 中选择一位总统。

选民作为"agent"，每个人都有一个 偏好排序。

P8

🇺🇸 Florida 2000（简化版）发生了什么？

这个例子展示：
在多数制（Plurality Voting）下，一个本不应该赢的人可能会因为"分裂票"（vote splitting）而获胜。

这是为什么投票机制不是一个"简单问题"。

🗳️ 三个候选人

Bush（共和党）
Gore（民主党）
Nader（绿党）

📊 各类选民的偏好（排序）

比例	排序（从喜欢到不喜欢）
49%	Bush > Gore > Nader
20%	Gore > Nader > Bush
20%	Gore > Bush > Nader
11%	Nader > Gore > Bush

解读：

首先有 49% 是坚定共和党：喜欢 Bush，讨厌 Nader。
有 40%（20% + 20%） 真心喜欢 Gore。
有 11% 真心投 Nader，但 第二选择是 Gore。

🔍 关键点：多数人最喜欢 Gore，但 Gore 却输了！

统计 "谁比谁更受欢迎"：

Gore vs Bush

喜欢 Gore 的人：20% + 20% + 11% = 51%
喜欢 Bush 的人：49%

Gore 实际上是多数人心中的第一或第二选择。

Gore vs Nader

Gore 胜过 Nader：49% + 20% + 20% = 89%

Gore 明显是 Condorcet Winner（康多塞赢家） ：

即 在一对一对比中，Gore 战胜所有候选人。

⚠️ 但实际投票使用的是"单选多数制（Plurality Voting）"

每个人只能选 第一名。

于是实际票数：

Bush：49%
Gore：20% + 20% = 40%
Nader：11%

结果：

Bush 赢了（49%）

即便 51% 的人更喜欢 Gore 超过 Bush。

🎯 问题的本质：Nader 的存在"分裂"了亲 Gore 阵营

如果投 Nader 的 11% 里有一小部分人作策略性投票（把票投给 Gore），结果会反转。

这就是 战略行为 会出现的原因：

理性的 Nader 支持者应该知道自己喜欢的 Nader 注定赢不了，

因此投给第二偏好 Gore（战略投票）可以避免最讨厌的 Bush 当选。

这个例子说明：

投票机制可能让较受欢迎的候选人输掉选举
选民可能需要"撒谎"才能让结果更符合自己偏好
选举不激励真实偏好汇报

这正是机制设计关注的问题。

📌 总结一句话

在 2000 年佛罗里达州选举中，

虽然多数选民最喜欢 Gore，

但由于"票源分裂""战略投票"和多数制的缺陷，

结果却是 Bush 获胜。

这是一个投票机制容易被操控、无法真实反映民意的经典案例，用来说明：

设计一个好机制真的不是小问题（not a trivial problem）。

P9

🧠 投票理论（Voting Theory）为什么和 AI 相关？

幻灯片想表达的是：

投票理论不仅仅用于政治选举，它在 AI 中有大量自然的应用场景。

因为很多 AI 问题都需要"把多个意见、多个评分、多个智能体的决策汇总成一个输出"，

这本质就是"投票"。

以下逐点解释：

1️⃣ 搜索引擎（Search Engines）

搜索引擎需要确定：

哪些网页更重要？
多个搜索引擎的结果如何合并？

这其实是把每个网页的"被引用次数"当作选票。

例子：

Google 的 PageRank 把每个超链接视为对网页的一票。
元搜索引擎（meta-search engines）要合并 Google、Bing、Yahoo 的排名 → 这是 rank aggregation → 标准投票问题。

2️⃣ 推荐系统（Recommender Systems）

推荐系统要根据其他用户的评分决定：

推荐哪个电影
推荐哪个商品

不同用户给出不同评分、排序 → 本质就是：

"把多个用户的偏好合并成一个系统推荐"。

例子：

Netflix：把成千上万用户对电影的打分视为"投票"，合并成推荐结果。
淘宝/京东：把用户对商品的点击、聊天、浏览行为合并成商品排序。

3️⃣ 多智能体系统（Multiagent Systems）

多个自主软件智能体（agents）必须 协调决策。

例如：

多机器人投票选出最佳路线
多无人机投票决定哪一个目标优先
多个 AI agent 合作解决任务，需要"共同决策"

这就是：

"几个智能体各有计划，怎么通过投票得到联合行动？"

典型例子：

多智能体路径规划（每个 agent 投票选下一个行动）
机器人团队选择 leader
多智能体 RL 中 policy ensemble → "哪个 Q 函数说得算？"

4️⃣ AI 竞赛（AI Competitions）

AI 比赛需要评估：

哪个交易 agent 最好？
哪个 SAT solver 最强？
哪个 RoboCup 团队最厉害？

每个测试集、每场比赛、每个 judge 都给一部分信息。

最终需要"投票"决定冠军。

例子：

Kaggle 竞赛的 leaderboard 合并多个 test case 的结果
RoboCup 裁判系统：多个评分指标需要合并成最终得分

总结

AI 中"把多个模型、多个评分、多个 agent 的意见合并成一个决策"就是投票问题。

因此投票理论对 AI 极其重要，且需要新的投票模型来适应 AI 的复杂性。

P10

🧠 Voting Theory and AI (2) --- "反向"关系

这页幻灯片要表达：

不仅 AI 会使用投票理论，
投票理论本身也可以从 AI 技术中获益。

换句话说：
AI ↔ Voting Theory 是双向促进的关系。

1️⃣ Algorithms and Complexity（算法与复杂性）

AI 和计算复杂性理论可以帮助：

为复杂的投票机制设计更快的算法
分析某些投票规则是否 NP-hard、是否难以计算
判断选举操控（manipulation）是否在计算上可行/困难

例子：

计算 STV 赢家是 NP-hard → 这会减少操控的可能性。

2️⃣ Knowledge Representation（知识表示）

很多投票场景有巨大候选空间（例如推荐商品 10 万个）。

AI 的知识表示研究可以帮助：

用更紧凑方式表示选民偏好，减少存储和计算成本。

例子：

使用 CP-nets、逻辑表达式、多属性偏好模型来表示偏好。

3️⃣ Logic and Automated Reasoning（逻辑与自动推理）

AI 中的逻辑推理工具可以：

形式化表达投票规则
自动验证投票规则是否满足某些公理（公平性、无操控性）
甚至自动发现新定理

例子：

自动证明工具（如 SMT solver）被用来验证投票机制满足 strategy-proof 性。

📌 总结一句话

AI 不仅使用投票模型，

AI 技术也反过来推动投票理论：

更好的算法、更强的偏好表示、更自动化的理论证明工具。

P13

P15

1️⃣ "单选多数制只看第 1 名，把大量偏好信息忽略了"

Plurality rule：每个选民只能投给 第一名。

问题：

40%（两个 20%）喜欢 Gore
11% 喜欢 Nader，但第二选择仍是 Gore

换句话说：

51% 的选民都更喜欢 Gore 胜过 Bush。

但因为 plurality rule 只看"第一名"，

40% 的 Gore 支持 + 11% 的 Nader 支持无法合并。

🔍 所以 Gore 的强大二选偏好信息被完全忽略了。

2️⃣ "意识形态相近的候选人会分裂票源"

Gore 和 Nader 的政治立场接近：都偏左。

结果：

20% 给 Gore
20% 给 Gore
11% 给 Nader

本来这 51% 都是 反 Bush 阵营 。

但 plurality rule 把这 51% 分成：

40% 投 Gore
11% 投 Nader

于是接近的候选人 Gore/Nader 分裂票源 ，

让对立的 Bush（49%）反而赢了。

这对应 slide 第二点：

Dispersion of votes across ideologically similar candidates.

用人话讲就是：

同阵营的候选人会把票互相吃掉，导致敌人获胜。

3️⃣ "选民被迫不投自己最喜欢的人，要进行战略投票"

看看 Nader 的 11%：

他们真实排序是：

Nader>Gore>Bush\text{Nader} > \text{Gore} > \text{Bush}Nader>Gore>Bush

但他们知道：

Nader 不可能赢
投 Nader 会帮助 Bush 赢
而 Bush 是他们最讨厌的

所以 理性策略投票是投给 Gore：

"投给我最喜欢的 Nader = 浪费票 → 反而让 Bush 赢。"

这对应 slide 第三点：

Encourages voters not to vote for their true favourite.

佛罗里达 2000 恰恰说明这一点：

如果 Nader 支持者策略性地投给 Gore，Gore 很可能赢得佛州，也就赢得整个美国大选。

⭐ 总结（用一句话）

佛罗里达 2000 清晰地说明：

Plurality Rule 会把二选偏好忽略、分裂同阵营票源，并且迫使选民进行策略投票。

结果是：
一个多数选民不喜欢的候选人（Bush）反而因为投票机制缺陷而获胜。

P16

📌 Plurality with Run-Off（多数制 + 第二轮决选）是什么？

流程：

第一轮：每个选民只投一票（普通 plurality rule）。
只保留前两名。
第二轮：让选民在这两个候选人之间再次投票。

多数获胜。

法国总统选举就是这样做的。

📌 这个制度如何解决单选多数制的一些问题？

（1）避免票源分裂（vote splitting）

佛州 2000 的问题是：

Gore（中左）
Nader（左）

把左派票源分裂成：

Gore：40%
Nader：11%

导致 Bush（右 49%）"捡漏"。

在 plurality with run-off 下：

第一轮：

Bush：49%
Gore：40%
Nader：11%

❗ 前两名是 Bush 和 Gore

第二轮：

所有 Nader 支持者最终会投给 Gore：

"Nader > Gore > Bush"

所以第二轮票数：

Bush：49%
Gore：51%（40% + 11%）

➡ Gore 赢！

这避免了"本应获胜的 Gore 因票源分裂而输掉选举"的情况。

📌（2）让"第二偏好"更有影响力

在佛州例子里：

11% 的人真实偏好是：

Nader>Gore>BushNader > Gore > BushNader>Gore>Bush

在第二轮，他们的偏好就能直接影响结果（投 Gore）。

这就是 slide 说的：

realistic "second best" candidate gets another chance.

Gore 虽然不是这 11% 的 top choice，但至少是 second best。

📌（3）第二轮能收集更多偏好信息

Plurality（单轮）只知道"第一名是谁"。

而 run-off 机制能通过第二轮抓住"谁对多数人更可接受"。

佛州第二轮就是一个"信息补充"。

📌 那为什么仍然被批评（例如 2002 法国 Le Pen 事件）？

法国 2002：

右翼极端候选人 Jean-Marie Le Pen 侥幸进入第二轮
因为左派票源在第一轮严重分裂（多个左派候选人）
导致本应进入第二轮的 moderate 左派候选人被淘汰

这说明：

第一轮仍然存在票源分裂问题，一旦结果进入第二轮就无法修复。

也就是说：

run-off 可以修复"第二轮中的偏好"，
但不能修复"第一轮中错误淘汰了一个很有竞争力的候选人"的情况。

佛州虽然第二轮能救 Gore，但 在 run-off 制度中如果 Gore 和 Nader 的票再分得更散，Gore 也可能进不了前两名。

⭐ 用一句话总结

Plurality with Run-Off 能解决部分票源分裂问题，并让"第二偏好"发挥作用，但第一轮仍可能淘汰真正受欢迎的候选人。

就像法国 2002 那样。

P19

📣 Condorcet 的英文发音

/kɒnˈdɔːrseɪ/

或更常见的学术发音：# 📌 Condorcet 是谁？

法国启蒙时代的数学家与政治思想家

1️⃣ 法国大革命前的政治关切

孔多塞是启蒙时代的政治思想家，他面对的问题是：

"如果我们想让公民通过投票决定国家大事，

那么投票结果真的能代表多数人的真实意愿吗？"

当时议会和委员会要频繁表决，

但人们发现结果经常不合理、不一致、不公平。

孔多塞希望找到：

公平
一致
理性
不会被策略操控

的投票制度。

所以他把投票当成一个数学问题来研究。

P21

Yes --- according to Condorcet's own philosophy and mathematical reasoning,
the Condorcet winner is the best candidate（在他的定义下最合理的赢家）。

✅ Why did Condorcet think the Condorcet winner is the best?

Condorcet 的逻辑非常简单：

如果一个候选人能够在"一对一"的比较中击败所有其他候选人，
那么这个人应该是最受多数人支持的。

这是因为：

一对一对比不会受到"第三候选人"干扰
多数胜多数 → 最直接反映选民的真实偏好
比"只看第一选择"的制度更稳健
比 Borda rule 更少策略性

他认为：

成对比较（pairwise majority）是最基本、最公平的多数原则。

所以，如果一个候选人能在所有 pairwise 比较中获胜，那么：

他在所有候选人中最能代表"多数人的意愿"。

🏆 Condorcet winner = 最能打败所有人

你可以把 Condorcet winner 视为：

"循环赛冠军"

------无论对手是谁，他都赢多数票。

这是一种非常强的胜利概念。

📌 关键点：Condorcet 认为这是"最稳定的"赢家

他给出理由：

不会因为加入/移除某个候选人而改变胜者

（满足 Independence of Irrelevant Alternatives 的一种强形式）
对 pairwise 多数胜利的尊重，是民主最基本的原则
如果 Condorcet winner 存在，它比 plurality/Borda/STV winner 更有民主正当性

因为多数偏好是一切民主制度的核心。

⚠ 但是：Condorcet 也知道 Condorcet winner 并不一定存在

这就是著名的 Condorcet paradox（Condorcet 悖论）：

A>B, B>C, C>AA > B,\ B > C,\ C > AA>B, B>C, C>A

群体偏好可能不具有传递性。

所以他提出：

如果 Condorcet winner 存在 → 应该选它（最好）
如果不存在 → 需要其他 tie-breaking 方法

但只要它存在，他认为：

Condorcet winner 是最"民主合理"的选举结果。

⭐ 一句话总结

Yes.

Condorcet 认为 Condorcet winner 是在所有逻辑上最能代表多数意愿、因此最好的赢家。

是的，这个例子非常经典，它清楚地说明了投票制度的根本局限性：

即使每个人的偏好都非常理性、传递、完整，
群体的总体偏好却可能变得"不理性"和"自相矛盾"。

这就是 Condorcet Paradox（孔多塞悖论）。

下面用你的例子逐步解释。

🟩 例子回顾：三个人、三候选人

Ann：
A>B>CA > B > CA>B>C

Bob：
B>C>AB > C > AB>C>A

Cesar：
C>A>BC > A > BC>A>B

每个人的偏好都是"理性"的（严格、传递）。

🟥 但多数投票比较的结果是循环的（不理性）

我们做 pairwise majority votes：

1️⃣ A vs B

Ann：A > B
Bob：B > A
Cesar：A > B

多数：A 胜 B

2️⃣ B vs C

Ann：B > C
Bob：B > C
Cesar：C > B

多数：B 胜 C

3️⃣ C vs A

Ann：A > C
Bob：C > A
Cesar：C > A

多数：C 胜 A

🔥 结果是一个循环：

A≻B,B≻C,C≻AA \succ B,\quad B \succ C,\quad C \succ AA≻B,B≻C,C≻A

这违反了最基本的传递性（transitivity），因此很"不理性"。

⭐ 这个例子揭示的投票制度局限性（核心结论）

P23 Copeland Rule

🟢 Copeland Rule 是什么？

核心一句话：

对每位候选人，计算他在 pairwise 一对一比较中赢了几次、输了几次，然后：
选"赢−输"最大的候选人。

数学上：

若候选人 x 的分数为：

Copeland(x)=#wins(x)−#losses(x)

平局（tie）一般算 0 或 0.5（视具体版本）。

🟧 Copeland rule 的优点

只要 Condorcet winner 存在，一定会被选出

因为它会有最多的 pairwise 胜利数（全部胜）
容易计算

P24

🟢 1. 什么是 "tournament"？

在投票理论中，如果我们把所有候选人两两比较一次，就得到一个图：

节点：候选人
有向边：pairwise 多数胜者
- 如果多数选民认为 (A) 比 (B) 好，就画一条 (A \to B)

这样，你就得到了一张有向图。

⚠ 特点：

任意两个不同节点之间 一定有一条边（A > B 或 B > A）
而且 方向唯一（没有平局）

这正是图论里的 tournament graph（锦标赛图）。

就像足球循环赛：

每两支队伍一定打一次，每场都分胜负。

🟡 2. "Tournament solution" 是什么？

既然 pairwise majority 形成了一张锦标赛图，

那么我们可以把"找赢家"这个问题理解为：

在一张锦标赛图里，选一个最合理的"冠军"。

任何从 tournament graph 中选出 subset / winner 的方法，

就叫 tournament solution。

例如：

Copeland rule：数每个节点胜了几场、输了几场，选赢−输最大者。
Top cycle（Smith set）：找所有能到达其他候选人的强连通集合。
Uncovered set
Slater rule
Banks winner
等等。

它们统称为：

tournament solutions（锦标赛解）

因为它们都把社会偏好看成一场"循环赛"，然后决定冠军。

P25 Kemeny Rule

下面给你一个清晰、直观、立即能懂 的解释：
Kemeny rule 到底是什么？为什么这么定义？怎么理解步骤(1)？

🟢 1. Kemeny rule 的核心直觉（一句话）

找一条"最接近所有选民偏好"的社会排序（ranking），
然后选出该排序里排在最前的候选人。

"最接近"=
与所有选民在候选人对比上产生的总"冲突"最少。

数学上，它是求一个 最小总 Kendall tau distance 的排序。

🔵 3. 步骤解释（用你提供的定义）

原文说：

For every possible ranking ®, count the number of triples ((i, x, y))

such that ® disagrees with voter (i) on the ranking of (x) and (y).

翻译成直白中文：

步骤 1：枚举所有可能的"社会排名" ®

例如：

(A>B>C),

(A>C>B),

(B>A>C),

...（所有排列）

步骤 2：对于每个社会排名 ®，计算"与它不一致的 pairwise 对比"次数

如果某个选民 (i) 说 (x>y)，

但社会排名 ® 说 (y>x)，

那么就算 1 次"冲突"（disagreement）。

把所有这样的冲突加起来，就是 ® 的 total disagreement score。

步骤 3：找出 disagreement 总数最少的那些排名 → 最接近所有选民的排序

这些就是 Kemeny rankings。

步骤 4：选该排名中排第一的候选人 → Kemeny winner

🔴 4. 用一个简单例子立刻理解

假设 3 个选民，3 个候选人 (A, B, C)：

选民 1： (A>B>C)
选民 2： (A>C>B)
选民 3： (B>A>C)

我们查看某个候选社会排名，例如：

排序 1：

A>B>CA > B > CA>B>C

与每个选民进行 pairwise 比较：

对比 A vs B：
- 选民 1: A>B（同意）
- 选民 2: A>B（同意）
- 选民 3: B>A（冲突 1 次）
对比 B vs C：
- 选民 1: B>C（同意）
- 选民 2: C>B（冲突）
- 选民 3: B>C（同意）

总冲突：2 次。

同样计算其他排序：

(A>C>B)
(B>A>C)
(B>C>A)
(C>A>B)
(C>B>A)

最后找到总冲突最少的那个。

比如如果 (A>B>C) 产生 2 次冲突，而其他排序产生 3 次或更多冲突，

那 Kemeny rule 就选：

A（因为它在最优排序中排第一）

🟣 5. 简单总结

Kemeny rule 就是：

看所有候选人对比
找出一个社会排序，使得"不同意的人最少"
排在这个排序最前面的候选人获胜

它是一种严肃的"集体一致性"度量，

在理论上非常合理，被许多人认为是最佳的排名方法。

P30 Summary

下面用非常清晰、简短、课堂友好的方式解释这三个 voting procedure 的性质：

🟢 1. Monotonicity（单调性）

❗ 含义（简单定义）

如果一个候选人因为选民的投票被排得更高（更受支持），

那这个候选人不应该因此变得更不可能获胜。

也就是说：

你越支持某人，他不应该因此输掉选举。

❌ 违反例子：No-show paradox（不投票更好）

某些投票制度里会发生怪事：

某个选民如果来投票支持某候选人，
反而会导致该候选人输掉选举。

但如果他"不来投票"，该候选人会赢。

这违反了单调性，因为：

支持候选人 → 候选人更糟
不投票 → 候选人获胜

这完全不合理。

🟡 2. Strategic issues（策略性投票问题）

❗ 含义

一个好的投票制度期望选民如实投票（truthful）。

但很多制度会让选民：

为了让更喜欢的候选人赢，而不得不谎报自己的真实偏好。

例如：

在 plurality 多数制中，选择"不会赢的候选人" = 浪费票
于是选民常常策略性地投给第二喜欢、但更可能获胜的人。

这导致：

选票反映的不是真实偏好，而是策略计算。

几乎所有常见制度都不免疫（Gibbard--Satterthwaite theorem）。

🔵 3. Condorcet principle（孔多塞原则）

❗ 含义

如果存在一个候选人能够：

在所有 pairwise（两两对比）多数投票中击败所有对手，

那么：

这个候选人应该赢得整个选举。

这个人叫 Condorcet winner。

🧠 直觉

如果选民分组两两对比，结果显示：

A 打败 B
A 打败 C
A 打败 D
...

那 A 是真正意义上"最受多数人支持"的候选人。

因此如果 A 没赢选举，制度就"不合理"。

遗憾的是：

有些制度不保证选出 Condorcet winner（例如 plurality, Borda rule）
Condorcet winner 有时根本不存在（Condorcet paradox）

⭐ 一句话总结三个性质

性质	想保证的合理性	现实问题
Monotonicity	更多支持不能让候选人变更差	某些制度会发生 no-show paradox
Strategic-proofness	希望选民说真话	很多制度会让选民必须"策略性投票"
Condorcet principle	如果一个候选人单挑打赢所有人，他就该赢	很多制度不选 Condorcet winner；有时不存在 Condorcet winner

如果你愿意，我还可以：

给你每个性质的数学定义（MathJax）
展示每种制度是否满足这些性质的表格
解释为什么 Gibbard--Satterthwaite 定理导致"策略问题不可避免"

P34 The Axiomatic Method

下面给你最清晰、最简短 的解释，让你马上能在课堂上讲出：
Voting theory 中 "axiomatic, characterisation theorems, impossibility theorems"是什么意思？

🟢 Axiomatic approach（公理化方法）是什么？

投票理论里，我们会先提出一些"理想性质"（axioms），例如：

单调性（monotonicity）
不可操控（strategy-proofness）
Condorcet 原则
匿名性、剩余独立性等

这些性质表达了：

我们希望一个投票制度满足哪些直觉上的"公平""合理"。

然后，我们研究：

哪些投票规则满足这些性质？

有没有可能同时满足所有性质？

这就是 axiomatic approach。

🟡 1. Characterisation Theorems（刻画定理）

简单理解

给出一组性质（axioms），然后证明：
只有某一种（或一类）投票制度满足它们。

形式：

"如果一个投票规则满足 A, B, C 三个性质，

那么它一定就是 xxx 规则。"

举例

May's theorem（梅氏定理）：

在两个候选人的选举中，

如果一个规则满足：

匿名性（treat voters equally）

中立性（treat candidates equally）

单调性

那么唯一满足这些的就是 多数投票规则（majority rule）。

也就是说：

这些性质正好刻画了 majority rule。

🔵 2. Impossibility Theorems（不可能性定理）

简单理解

给出一组看似合理的性质，然后证明：
根本不存在任何投票方法能同时满足它们。

形式：

"不存在任何投票制度能同时满足 A, B, C, D。"

举例

最著名的是 Arrow Impossibility Theorem（阿罗不可能定理）：

换句话说：

不存在完美的投票制度。

再比如 Gibbard--Satterthwaite theorem：

任何合理的投票制度在某些情况下都能被策略性投票操纵。
不存在完全 strategy-proof 的制度。

⭐ 一句话总结整张幻灯片

Axiomatic approach：先提出投票制度应该满足的"理想性质"（公理）。

Characterisation theorems：告诉你"只有某个规则满足这些理想性质"。

Impossibility theorems：告诉你"没有任何规则能满足这组看似合理的性质"。

P37

🟢 什么是 Anonymous（匿名性）？

定义：

如果两个选民交换他们的选票，结果不变，那么这个投票规则是匿名的。

换句话说：

投票规则不关心"谁说的"
只关心"说了什么偏好"
所有选民地位完全相同（对称）

⭐ 为什么我们喜欢 Anonymous？（直觉理由）

1️⃣ 公平（Fairness）

如果规则依赖某些人的身份才能决定胜负，例如：

"富人投票比穷人重要"
"VIP 用户的票权更高"
"某几个特定人的投票被优先考虑"

那么这个制度就不公平。

匿名性保证：

你的票和别人的票一样重要。

3️⃣ 尊重民主基本原则（Equal voice）

在民主制度里，核心理念是：

one person, one vote

匿名性是这个理念的形式化表达。

如果移除匿名性，那实际上是说：

有些人的意见比别人更重要。

这违背了民主精神。

P38

🟢 什么是 Neutrality（中立性）？

定义：

如果把所有候选人的名字换一换（A→B，B→C，C→A），投票结果也跟着对应地换一换，那么投票规则是中立的。

即：

投票规则不偏爱某个候选人
所有候选人地位对称
决策只取决于选民的偏好，而不是候选人的标签

⭐ 为什么我们喜欢 Neutrality？（核心直觉）

1️⃣ 确保制度不偏袒任何候选人

如果一个投票制度不"中立"，它可能默认偏爱：

某个特定人（例如候选人 A）
或者某个特定类别（例如把现任者总是优先）

这就像比赛规则偏向某个队一样，有违公平。

中立性保证：

在规则层面，所有候选人一律平等。

2️⃣ 避免"名字决定胜负"这种荒谬现象

想象一个不中立的规则：

只因为候选人叫 A，就自动加额外分数
或者"排在选票第一列的候选人永远更容易赢"

P39 Positive Responsiveness

🟢 什么是 Positive Responsiveness（正向响应性）？

定义（换成直白中文）：

如果在原来的投票结果中，x 是赢家（可能并列），然后有一个选民把 x 在她的选票里往上提（提高排名），那么 x 应该成为唯一赢家。

也就是说：

你把某个"赢的人"放得更高
结果不应该变得对他更差
甚至要变得更"确认他赢"

⭐ 为什么喜欢这个性质？

1️⃣ 保证投票制度"不会惩罚你支持某个人"

想象一个不满足正向响应的制度：

x 原本是赢家
投票人更喜欢 x → 把 x 排更高
结果 x 却 变成不赢，甚至输掉

这非常荒谬，也会让人不敢诚实投票。

Positive Responsiveness 保证：

"更支持你的人增加了，你的胜利更稳固。"

这是非常自然的公平性要求。

2️⃣ 避免"支持你反而害你"这种怪事

这个性质是一个"强版的单调性（monotonicity）"：

单调性（monotonicity）：

如果你升高赢家的位置，赢家不应该跌出胜利者集合。
正向响应性（positive responsiveness）：

如果你升高赢家的位置，他应该成为"唯一赢家"。

也就是说：

比单调性更强、更干净的公正性要求。

3️⃣ 让选民在心理上更"安全地表达真实偏好"

如果一个制度不满足正向响应性，选民会担心：

"我如果把 A放到更靠前，会不会让 A 输？"
"我是不是反而要故意把喜欢的人排低一点？"

这会导致：

战略投票（strategic voting）
不真实的选票

P43 🟢 Reinforcement（可合并性）是什么？

定义翻译成直白中文：

如果把选民分成两个小群体，这两个小群体各自投票都会选出同一个赢家 x，那么把所有选民合在一起投票时，也应该选 x。

也就是说：

小组 A 的赢家：x
小组 B 的赢家：x
那么 A∪B 的赢家也应该是 x

合并不会改变结果。

⭐ 为什么喜欢这个性质？

1️⃣ 保证"民主一致性"

如果两个独立群体都说：

"我们都认为 x 最好。"

那合在一起不应该突然变成：

"咦，我们合体后觉得 y 更好。"

这会让制度显得不一致、不可预测。

Reinforcement 保证：

集体偏好在规模扩大时不会奇怪地反转。

2️⃣ 避免完全荒谬的"规模效应"

想象一个不满足 reinforcement 的制度：

小区 A 选出市长候选人：Alice
小区 B 选出市长候选人：Alice
全城大选结果 → 居然不是 Alice，而是 Bob

这会让人困惑甚至愤怒，因为：

所有子群体都选了 Alice，但整体却排斥 Alice。

P44 Continuity

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![[CleanShot 2025-11-18 at 22.24.59.png]]

P47

![[CleanShot 2025-11-18 at 22.26.36.png]]

![[CleanShot 2025-11-18 at 22.27.42.png]]

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🟣 一句话总结

IIA 要求：无关候选人的出现、消失、排序变化，都不应影响 x 与 y 的结果。

它是选举制度的一种重要"合理性要求"，但几乎所有现实使用的投票规则都违反它（包括多数制、Borda、runoff 等）。

P49

🟢 独裁投票规则（Dictatorship）

定义非常简单：

存在某个选民 d，不管其他所有人怎么投票，最终唯一的赢家永远是 d 排在第一位的候选人。

这个选民就是"独裁者"。

🟦 直观解释

相当于整个投票系统是：

"看看 d 喜欢谁。"
然后直接宣布："赢家就是 d 的第一选择。"

其他人的选票完全不重要。

系统只读一个人的选票。

为什么我们讨厌独裁规则（dictatorship）？

🟥 核心原因（一句话）

独裁规则只看一个人的偏好，忽视所有其他人的意见，因此严重不公平。

🟦 更细的四个理由（每条都很短）

1. 极端不公平

只听一个人投票，其余所有人的偏好全部无效。

这与"民主""群体决策""集体智慧"完全相反。

现实类比：

100人一起决定去哪吃饭，但永远只听小明一个人的。

显然不公平。

2. 完全不反映集体偏好

目标是"社会选择"（social choice），

但独裁制度实际上是"个人选择"（individual choice）。

群体意愿 → 被彻底丢弃

社会福利 → 不被考虑

3. 太容易被操纵

只要你控制了独裁者（贿赂 or 威胁 or影响他），

你就控制了整个选举。

P50

Arrow 定理告诉我们：

完美的投票制度不存在，只能在"不完美中选可接受的"。

![[CleanShot 2025-11-18 at 22.34.31.png]]

P52 manipulation

🟩 strategy-proof = 免疫"策略性投票"的制度

也就是 no one can benefit from strategic manipulation。

换句话说：

不管选民怎么想、怎么算，他们都无法通过撒谎（strategic behaviour）让结果更符合自己的利益。

因此：
真话永远是最优策略 → 所以叫 strategy-proof（不会被策略"攻击"的意思）。

🟧 为什么叫 strategy-proof？

解释名字的组成：

strategy（策略） = 选民为了影响结果而撒谎、伪造偏好
proof（防护、安全） = 这种制度对策略性撒谎"免疫"

就像说 "waterproof"＝防水，

那 strategy-proof＝"防策略（操纵）"。

P53

🟦 一句话总结版

不管别人怎么投，选民永远不能通过撒谎让选举结果更好。
所以说真话永远是最优策略。

P54

下面把 Gibbard--Satterthwaite 定理 用人类语言讲清楚，并说明它为什么是机制设计 / 多智能体系统 / 投票理论里最重要的定理之一。

Gibbard--Satterthwaite

👉 GI-bərd SA-ter-thwait

🟩 先翻译定义：surjective（满射）是什么？

一个投票制度 FFF 是 surjective（满射） 的意思很简单：

每个候选人都有机会在某些投票配置下赢一次。

就是说制度不是"偏心"的，不会永远让某些候选人不可能当选。

例如：

Borda rule → surjective
Plurality → surjective
"永远选 A" → 不是 surjective（因为别人永远赢不了）

这只是一个"制度不偏袒某人"的自然条件。

🟩 用人话说 Gibbard--Satterthwaite 定理

定理内容：

任何（1）总是选出唯一赢家（resolute）、（2）每个候选人都有机会获胜（surjective）、（3）不允许选民通过撒谎获利（strategy-proof）的投票制度，在候选人 ≥3 的情况下，必定是独裁（dictatorial）。

换成人类语言：

🟦 **如果一个投票制度没有漏洞（不能通过撒谎操纵），

又允许所有候选人都有机会赢，

又每次都选唯一赢家，

那么这个制度只能是独裁。**

也就是说：

想要一个公平、不被操纵、不偏袒、还能处理至少 3 个候选人的投票制度？不存在。
不然只能变成"听一个人的"。

这就是它震撼的地方。

这说明：

🟩 1. 无法同时得到：公平 + 无操纵 + 多选项

这为整个投票制度设计泼了一盆冷水。

任何现实制度（多数制、Borda、Condorcet...）都不可能 strategy-proof。

所以现实中 always 会发生战略投票。

🟩 2. 为什么机制设计需要 VCG（拍卖）等机制？

因为在更一般的偏好空间（utilities）下，可以用支付（payment）来激励说真话，例如：

VCG 拍卖
二价拍卖（Vickrey）

拍卖可以 strategy-proof，但它不是"投票"，因为允许付钱。

这就是机制设计的突破。

🟩 3. 对多智能体系统（MAS）意义巨大

在 MAS 中，每个 agent 自利、会撒谎，所以：

不能依赖"投票"本身达到 strategy-proof。

Gibbard--Satterthwaite 告诉你：

不能希望 MAS 里用"投票"实现真实汇报
必须使用更强的机制（如拍卖、协调协议、VCG、支付、随机机制等）

社会选择理论（Social Choice Theory ）真正的革命性在于：
它把政治、选举、民主、集体决策这些"软问题"数学化了。

在它出现之前，政治学和民主设计更多是"哲学式讨论"和"制度经验总结"，缺乏精确工具。

下面分点讲它的革命：

🔵 1. 从哲学讨论 → 数学定理

在社会选择理论之前：

古希腊以来人们讨论"什么是最好的政府形式"
卢梭谈"公意"（general will, the general will）
孟德斯鸠谈三权分立
孟德尔森谈投票制度
边沁谈效用最大化

但这些都是概念性、哲学性、定性的。

Arrow 的出现是革命性的，因为他把"一个群体如何做出合理决定"变成了数学问题，有公理、有定理、有不可避免的限制。

特别是 Arrow 1951 的结果：

没有任何投票规则能同时满足几条特别合理的公平性要求。

这等同于说：
完美公平的民主制度是不可能的（数学意义上） 。

这是对政治哲学的巨大震撼。

🔵 2. 第一次严肃地证明了"民主制度必然有缺陷"

以前大家只是模糊觉得：

投票可能有悖论
多数可能不稳定
选举可能被操纵

但 Arrow 和 Gibbard--Satterthwaite 直接给出数学定理：

✔ Arrow 不可能性定理

没有一个非独裁、满足弱帕累托、满足 IIA 的投票制度。

→ 你想要的一堆"公平特性"，数学上不可能同时实现。

✔ Gibbard--Satterthwaite 定理

任何合理投票方法都可以被策略性投票操纵

除非它是独裁。

换句话：

民主制度无论怎么设计，都躲不开阴暗的一面。

这在当时是极具颠覆性的。

🔵 3. 让"投票制度设计"变成一个科学领域

以前：

投票制度是通过经验和传统决定的（英国传统、美国传统）
没有人知道哪个制度更好
没人能证明某个制度不可能满足某些标准

社会选择理论把这些变成系统性研究：

定义公平性公理（匿名性、中立、单调性等）
分类投票制度
比较制度的性质
研究操纵、循环、议程操控
研究社会福利函数、偏好聚合

投票制度从"玄学"变成了一门数学科学。

🔵 4. 引入"偏好聚合"思想：从个人偏好 → 集体偏好

社会选择理论的核心问题：

给定个体偏好，如何构造群体偏好？

这是一个跨时代的抽象，它不仅适用于选举，还适用于：

资源分配（福祉经济学）
多智能体系统（AI）
群体决策
公司治理
机器投票
大模型的 alignment（偏好对齐）

它把"投票"从政治学拓展到数学、计算机科学、经济学。

🔵 5. 剧烈影响现代经济学：福利经济学第二定理体系化

Arrow--Sen 体系让经济学有了：

社会福利函数（Social Welfare Function）
社会福利序（Social Welfare Orderings）
公平理论
效率与公平之间的数学关系
公理化的福利经济学

特别是与 Amartya Sen 的合作，使得：

经济学从"效用最大化"走向"社会公平、自由、公正"的可数学描述体系。

🔵 6. 将投票、政治与计算复杂度联系起来 ------ 现代计算社会选择

现代 AI 和 CS（Computer Science）很多方向都建立在社会选择理论的基础上：

例如：

选举操纵的 NP-hard 性
多智能体系统（Multi-agent systems）
机制设计
资源分配算法
LLM 的 preference alignment（偏好对齐）

特别是：

LLM alignment 本质上就是一个社会选择问题：如何把许多人的偏好合成为一个"模型偏好"。

社会选择理论提供了数学工具。

用一句话：

它把民主、投票、集体选择从哲学变成数学；
把制度设计从"经验主义"变成"有定理约束的科学"。

P56

域限制（Domain Restrictions）是什么意思？为什么有用？

我们前面看到很多"不可能定理"（Arrow、Gibbard--Satterthwaite），它们都告诉我们：

只要 选项 ≥ 3 ，只要 所有偏好都允许出现，就不存在"完美"的投票规则。

那有没有办法绕过这些"不可能"呢？

这页 slide 的意思是：

✅ 1. 不可能定理默认了一个非常强的假设：Universal Domain（全域假设）

意思是：

任何偏好顺序都可能出现。

每个选民可以给候选人排出任意的线性顺序。

例如：

A > B > C
C > A > B
B > C > A
......全部都允许

这是一个极强的设定，它让理论分析非常干净，但也让"不可能定理"容易出现。

✅ 2. 如果我们限制偏好的"形状"，就能避免不可能定理

slide 的第二条：

如果我们限制 domain（选民偏好/可能出现的投票 profile），就能让更多规则满足更多性质。

这叫 域限制（domain restriction）。

下面用**五个候选人 + 一个现实政治的左右谱例子（包含 Trump）**清晰展示为什么 single-peaked（单峰偏好） 在现实中"非常自然"。

🌈 1. 先设定一条典型的政治光谱（left--right spectrum）

例如美国政治：

复制代码

Far-Left   Left   Centre   Right   Far-Right

我们选 5 个"替代项"（alternatives）：

光谱位置	候选人（示例）
Far-Left	A = Sanders
Left	B = Biden
Centre	C = Romney
Right	D = Bush
Far-Right	E = Trump

它们从左到右构成一条 线性顺序（single-peaked 的必要条件）：

A≺B≺C≺D≺E A \prec B \prec C \prec D \prec E A≺B≺C≺D≺E

🌟 2. 为什么选民偏好自然呈现"单峰"？

因为大多数人在政治坐标轴上也有自己的"peak"（最喜欢的位置）。

例如一个 偏右的选民，她最喜欢 D（Bush）。

她对于距离"自己理想点"越远的候选人越不喜欢。

📌 3. 举五个选民的偏好（全部都是单峰的）

选民 1（非常左）喜好顺序：

峰值是 A

离 A 越远越不喜欢：

A≻B≻C≻D≻E A \succ B \succ C \succ D \succ E A≻B≻C≻D≻E

这是典型单峰。

选民 2（偏左）峰值是 B：

B≻A≻C≻D≻E B \succ A \succ C \succ D \succ E B≻A≻C≻D≻E

B 最喜欢
离 B 最近的 A、C 次之
右边 D、E 最不喜欢

仍然是单峰。

选民 3（中间派）峰值是 C：

C≻B≻D≻A≻E C \succ B \succ D \succ A \succ E C≻B≻D≻A≻E

注意：

B 与 D 都比 A 和 E 靠近 C
即使 B 和 D 不在同一侧，顺序仍然呈"山峰形"

仍然是单峰。

选民 4（偏右）峰值是 D：

D≻C≻E≻B≻A D \succ C \succ E \succ B \succ A D≻C≻E≻B≻A

仍然是单峰。

选民 5（非常右，Trump 支持者）峰值是 E：

E≻D≻C≻B≻A E \succ D \succ C \succ B \succ A E≻D≻C≻B≻A

仍然是单峰。

🏔️ 4. 为什么这些偏好是"自然"的？

因为：

人在政治光谱上有"理想点"
越偏离自己的理想位置，越不喜欢
因此偏好会形成一个"峰"
这就是 single-peaked

特朗普支持者（峰在 E）自然会讨厌 A/B 这些左派。

🌟 5. 举一个不是 single-peaked 的偏好（非常不自然）

例如：

C≻A≻E≻D≻B C \succ A \succ E \succ D \succ B C≻A≻E≻D≻B

在光谱中 A 和 E 在 C 的两侧，选民却喜欢：

A（左边）
又喜欢 E（右边）
又讨厌 D（明明在 E 和 C 之间）
又把 B 排到最后（明明在 C 和 A 之间）

像是"左右乱跳"，
非常不符合人类的政治行为模式。

这类偏好是 single-peaked 不允许的。

🎯 总结：为什么 single-peaked 是"自然的"？

人在政治谱上通常有 单一理想点
偏好随"距离"增加而下降
因此偏好呈 山峰形：单峰
现实政治（如美国选民分布）天然满足这一结构
这类限制可以让很多"不可能定理"消失（例如中位选民定理）

P58

🟢 用"人话"解释 Black's Theorem

定理内容：

如果有奇数个选民，并且大家的偏好是 single-peaked（单峰） 的，那么

① 一定存在 Condorcet winner（多数制冠军）

② 这个赢家就是 中位选民最喜欢的候选人（median voter winner）

换成人话：

🎯 1. 只要政治光谱是"单峰"的，就不会出现可怕的泰国式选举循环 → 一定能选出多数喜欢的候选人

例如：

A 赢 B
B 赢 C
C 又赢 A（循环）

这种"大家互相赢来赢去，没有绝对赢家"的投票异常现象 不会发生。

因为路线是单峰的，人们就是"越接近自己的政治位置越喜欢"，不会突然左一下右一下。

🎯 2. 赢的人通常站在政治光谱的中间位置（median voter rule）

"中位选民"就是：

全体选民从左到右排队
排在正中间的人

Black's theorem 说：

最终赢的人，就是那个最接近中位选民政治立场的人。

换句话说：

选举的最终结果往往由"中间派选民"决定，而不是极左或极右。

P61

🟢 这段话到底在说什么？

你看到的内容其实是社会选择理论里面的一个"好消息"：

在"单峰偏好"（single-peaked preferences）这个特殊情况下，
Gibbard--Satterthwaite 和 Arrow 两个不可能性定理都失效了！

什么意思？我们逐条解释：

🔵 (1) 在单峰偏好 + 奇数个选民下， median voter rule 是 strategy-proof 的

为什么这是好消息？

因为一般情况下（偏好没有任何结构）：

任何投票规则都可以被操纵 （Gibbard--Satterthwaite 1973）
除非它是独裁规则。

但是如果偏好是单峰的（比如政党、左右政治光谱、税率、年龄等线性议题），

而且选民人数是奇数：

median voter rule（中位选民规则）无法被策略性投票操纵。

也就是说：

没人通过撒谎改善自己的结果
每个人说真话最优
这是民主制度里极少数能 strategy-proof 的情况

你可以理解为：

单峰偏好给制度一个"特殊结构"，让操纵不再可能。

🔵 (2) 在单峰偏好 + 奇数 voters 下，median voter rule 满足 Arrow 的弱帕累托 + IIA

这是另一个大反转。

一般情况下，Arrow 1951 不可能性定理说：

没有任何投票制度同时满足：
Weak Pareto + IIA + 非独裁

但是在"单峰偏好"这个特殊情况下：

median voter rule（选择 Condorcet winner = 中位点）居然全部满足：

弱帕累托（everyone prefers A over B → A wins）
IIA（无关替代物独立性）
并且不是独裁
还能 strategy-proof

这就像奇迹一样。

换句话说：

Arrow 不可能性定理，在单峰偏好上失效了。
所以制度设计突然变得"可能"。

P62 总结

1. May 定理：多数票制是合理的

如果只有 A 和 B 两个选项，那么：

每个人都被平等对待（anonymous）
每个候选人也被平等对待（neutral）
如果有人把 A 提得更高，A 就应该更可能赢（positive responsiveness）

满足这些性质的投票方式只有一个：

谁得票多，谁获胜（plurality rule）。

所以，在"两选项"场景，多数决是唯一"既公平又自然"的制度。

2. Young 定理：评分制投票 = 加权评分规则

Young 定理告诉我们：

如果你希望一个投票制度具有"强化"性质（reinforcement），

那么它一定属于评分规则（positional scoring rules）。

强化性质意思是：

小组 A 的赢家是 X
小组 B 的赢家也是 X
把两组票合并 → winner 还是 X

符合这个性质的就是 Borda、Plurality、Veto 等各种加权分数规则。

3. Arrow 定理：你想太多，民主做不到

Arrow 提出两个看似合理的要求：

弱帕累托：大家都更喜欢 A → A 必须赢
IIA：A 和 B 的比较不能受 C 的存在与否影响

结果，却爆出震撼世界的结论：

任何满足这些性质的投票制度，必须是独裁。

这就是著名的"不可能性定理"，告诉我们：

没有完美的民主制度。

4. Gibbard--Satterthwaite：只要候选人 ≥ 3，策略操纵几乎不可避免

G-S 定理说：

只要候选人 3 个或以上
你想找**不被操纵（strategy-proof）**的投票制度

那么你最终会得到：

一个独裁制度。

也就是说：

所有民主投票制度都可以被"撒谎投票"操控。

这就是为什么选举里总有"战略投票"（不投最喜欢的，投最不讨厌且可能获胜的）。

5. Black 定理：单峰偏好让民主"突然变好"

如果选民的偏好分布是"单峰的"（如左--中--右），那么：

一定存在 Condorcet winner
median voter rule（中位选民）能选出它
制度不会被操纵
也避免了 Arrow 和 G-S 的不可能性

换句话说：

如果意见是在一条线上排的（比如政治光谱），民主就"正常工作"了。

这是对民主制度的一个巨大鼓舞。

🟢 总结：这 5 大定理告诉我们什么？

社会选择理论的革命性在于：
它第一次让我们用数学形式化地分析"民主是否可能"。

May：告诉我们什么是"合理"的多数决
Young：告诉我们评分制为什么自然
Arrow：告诉我们完美制度不存在
Gibbard：告诉我们不可能避免策略投票
Black：告诉我们在某些结构下民主变得"可能"

一句话：

社会选择理论用数学证明了民主制度的极限、缺陷和可能的修复方式。

论文介绍

🧩 论文核心概述

本论文提出了一种"选举式（electoral）"方法，以改进大型语言模型（LLM）驱动的多智能体系统中的集体决策机制（Collective Decision-Making, CDM）。作者指出，现有的多智能体协作系统普遍缺乏决策方式的多样性，大多数仅采用"多数投票（Plurality Voting）"或"独裁式（Dictatorial）"决策，而忽视了社会选择理论（Social Choice Theory）中的其他方法。

📚 研究动机

当前LLM多智能体系统中，决策模式过于单一 ，主要依赖一个主导智能体（dictator）或简单多数投票。
*

🗳️ 2. 多数投票（Plurality Voting）

多数投票就是最常见的"得票最多的赢 "。

每个智能体（或人）只能选自己最喜欢的一个选项，谁得的"第一名票"最多，谁就是最终的决定。

论文还提到两种变体：
- Majority Voting（绝对多数）：必须超过半数票才算赢。
- Consensus（共识） ：要所有人都同意才算通过。
🧮 1. 功利主义决策（Utilitarian）

功利主义的做法是：

复制代码

  "先算一算每个选择能给大家带来多大的好处，然后选那个让全体的'幸福总和'最大化的选项。"

复制代码

	就像一个团队要决定去哪吃饭，大家给每家餐厅打分（比如寿司=9分，火锅=8分，披萨=6分），最后选**总分最高的**那个地方。
	
	但论文提到一个重要区别：

复制代码

  功利主义的"分数"并不是每个智能体自己想的，而是**外部规定或计算出来的**。  
  也就是说，这种方法**不是自主的（non-self-governing）**，而是别人提前告诉系统"这个选项值几分"。

这种单一决策方式在鲁棒性、公平性、稳定性方面存在缺陷，容易受到偏见或噪声的影响。
作者借鉴社会选择理论，旨在探索多种投票制（如Borda计数、Condorcet、Minimax、Instant Runoff等）在LLM集体决策中的适用性与效果。

⚙️ 方法与系统设计

作者提出了一个新的选举式CDM模块，称为 GEDI（General Electoral Decision-making Interface） ，它允许不同投票规则在LLM-agent之间进行比较与组合。

系统测试涵盖以下方法：

独裁制（Dictatorial）
多轮多数制（Plurality, Bucklin, IRV）
序列排名制（Borda Count, Ranked Pairs, Minimax）
效用最大化制（Utilitarian）

实验平台包括多个大型语言模型（GPT-3.5, GPT-4, Llama-3, Qwen, GLM, Mistral等）。

这张图（Figure 2）其实是这篇论文的核心概念图 ，它对比了四种多智能体系统（Multi-Agent System, MAS）中的集体决策方式（Collective Decision-Making, CDM） 。

我来用通俗语言帮你拆开讲清楚👇

🧩 图的总体意思

这张图展示了 4 种不同的"AI 群体如何做决定"的方式：

功利主义 (Utilitarian)
独裁式 (Dictatorial)
多数投票制 (Plurality)
论文提出的 GEDI（Preferential Voting / 偏好排序投票）

每种方式的区别在于：

"谁说了算" + "怎么整合各个智能体的意见"。

蓝色箭头代表智能体之间的交流互动（Interaction） ，

绿色箭头代表他们将自己的意见传给决策模块（Preference Communication）。

⚙️ 一种一种来看：

① Utilitarian（功利主义）

🧠 想法：每个智能体计算某个方案能带来多少"效用（utility）"或"奖励（reward）"，然后选那个"总分最高"的方案。

📊 比如：三个AI在决定去哪吃饭，每个地方的"满意度分数"加起来最高的那个就赢。

⚠️ 问题：这些分数往往是外部设定的，不是智能体自己投票决定的，所以不是真正的自我决策系统。

② Dictatorial（独裁式）

👑 想法：所有AI都可以讨论，但只有一个AI（领导/裁判）拥有最终决定权。
🗣️ 比如：几个AI讨论方案，最后那个"王冠"的AI拍板定案。
⚠️ 问题：这种方式效率高但风险大、容易偏见，如果那个主导AI出错，整个系统都崩。

③ Plurality（多数投票制）

🗳️ 想法：每个AI投一个"最喜欢"的选项，得票最多的方案获胜 。

💡 就像"简单民主制"，比如三票选A，两票选B → A赢。

⚠️ 问题：这种方法只考虑"第一偏好"，忽略了智能体对其他选项的看法，信息利用率低。

④ Preferential Voting（论文提出的 GEDI 模块）

🌟 这就是论文的创新点。

🧠 GEDI（General Electoral Decision-making Interface） 是一个"通用投票接口模块"，可以让多智能体用更"人类社会化"的方式做决策。

它的特点是：

每个智能体不是只选一个，而是对所有选项排序（1st, 2nd, 3rd ...） ，形成一个偏好顺序（preferential ranking）。
GEDI 把这些"排序票"汇总，通过不同的投票规则（比如 Borda 计数法、Ranked Pairs、Minimax 等）来算出集体偏好结果。
最终输出的不是一个单一决定，而是一个完整的偏好列表，展示群体对所有选项的整体态度。

📊 举个简单例子：

三个AI要选最合适的策略（A/B/C）。

每个AI给出排序：

AI1：A > B > C
AI2：B > A > C
AI3：B > C > A

GEDI会把这些排序结合，计算出一个整体偏好序列（比如B > A > C），代表群体的"共识倾向"。

🧩 优点：

不是一个AI说了算，而是大家都有话语权；
不只考虑"最喜欢的"，而是综合考虑全部偏好；
比简单投票更公平、更稳定、更"社会化"；
能减少单点失败（如果某个AI出错，整体决策仍然稳健）。

✅ 一句话总结：

前三种方法像是"谁声音最大谁赢"，而 GEDI 更像是"大家排个名，再通过不同的投票算法综合出群体意向"。

🧪 实验结果

实验在三个多选问答基准（MMLU, MMLU-Pro, ARC-Challenge）上进行，主要发现如下：

多数投票优于单一智能体决策，平均提升准确率约2--6%。
不同投票方法效果差异明显：Minimax和Ranked Pairs在多模型中表现最稳健。
投票智能体数量达到3个以上时，集体决策效果明显优于独裁模式。

🪄 主要贡献

首次系统性地将社会选择理论引入LLM多智能体集体决策。
构建了GEDI系统，实现多种投票机制的自动化评估。
通过实证研究展示了多样化CDM方法对模型集体智能的促进作用。

🔮 结论与未来工作

作者认为，引入多样化的投票方法有助于增强LLM多智能体系统的集体智能与公平性。未来研究方向包括：

根据任务特性自动选择最优CDM方法；
将社会选择理论进一步应用于模型对齐（alignment）与偏见评估。

🧩 总体意思

作者总结了他们的研究成果：

他们发现，现在很多基于大语言模型（LLM）的多智能体系统在**集体决策（CDM）**方面非常单一，大多数系统都用同一种决策方法（比如"多数投票"或"独裁式"），几乎没有多样性。

所以，他们提出并测试了一套新的框架------GEDI 投票系统，希望让AI群体的决策方式更"民主"、更丰富、更贴近人类社会的投票逻辑。

📊 主要结论（用简单话说）

🔍 他们回顾了 52 个多智能体系统，发现：
- 大部分都只用一种简单的决策方式；
- 这样做虽然方便，但在复杂任务中容易出错、缺乏灵活性。
⚙️ 他们从社会学里的"社会选择理论（Social Choice Theory）"借鉴方法，设计了GEDI模块。
- 就像把"人类投票制度"搬进AI群体。
- 让AI们也可以进行不同形式的投票、排名、协商。
🧠 他们的实验结果表明：
- 采用多种投票机制能显著提高AI群体决策的质量和鲁棒性；
- 不同任务可能适合不同的决策方法。
- 这种"多样化的决策方式"能帮助我们更好地理解AI群体的"集体行为"。

🔮 未来展望（作者接下来想做的事）

🎯 任务匹配：未来想研究不同任务应该配哪种CDM方法，比如：
- 有的任务需要快速决策 → 多数投票；
- 有的任务需要公平性 → Borda排序；
- 有的任务需要高鲁棒性 → Minimax 等。
🔄 模型对齐与聚合（Alignment & Aggregation） ：

因为社会选择理论本质上研究"如何把很多人（或AI）的偏好合并成一个群体决策"，

所以作者认为这也可以用来改进：
- 模型对齐（alignment）：让不同AI模型的价值观趋于一致；
- 模型聚合（aggregation）：让多个模型合作时能得出更平衡的集体判断。
🌍 跨学科研究 ：他们希望这项研究能连接 NLP（自然语言处理）与社会科学、政治学等领域，

用"人类社会的决策智慧"来改进"AI群体的合作方式"。

✅ 一句话总结

作者发现AI群体的决策太单一，于是借鉴人类社会的投票系统（GEDI）来让AI们"更会开会、更会投票"，从而提升群体智能。未来，他们想继续研究不同场景下最合适的投票方式，并把这种思想应用到AI对齐和群体智能研究中。

投票理论（voting theory）(social choice theory)

羽毛球假球事件

🏀 为什么 NBA 季后赛强队打弱队？

1. 根本原因：奖励强队（Rewarding performance）

2. 这样做的好处

（1）让常规赛更有价值

（2）保持季后赛的公平（Fairness）

（3）增加观赏性与商业价值

3. 这是一种典型的"机制设计（Mechanism Design）"

4. 如果强队不打弱队，会发生什么？

What Mechanism Design Is Trying to Accomplish (Explained with MathJax)

1. The Situation

2. Mary's Objective: A Social Choice Function

3. The Challenge: Valuations Are Unknown

4. The Goal of Mechanism Design

5. What the Slide Means (In Plain English)

What is Mechaism Design trying to accomplish

📘 机制设计到底想解决什么问题？

1. 固定一组可能的结果

2. 给定玩家的偏好（preference profile）

3. 问题在于：玩家的偏好是私人信息

4. 机制设计想解决的核心问题

🔍 简单总结一句话

P6 Strategic Behavior and the Importance of Truthfulness

Mechanism Design and MAS

🧠 为什么机制设计适合多智能体系统？

1. 多智能体系统中的基本假设

🔧 2. 为什么不能简单"写程序让它们合作"？

🎯 3. 机制设计在 MAS 中的作用

🚦 4. MAS 情境举例（更贴近 AI）

（2）多机器人资源共享（Robotic Resource Sharing）

📌 一句话总结

📝 总结一句话

1️⃣ "不用担心"的真正含义是什么？

📌 Strategic Behavior and the Importance of Truthfulness

🧮 Borda 计分方式（标准版）

📌 Borda 规则为什么会鼓励玩家撒谎？

1. 左边是三位玩家的真实偏好

2. 右边：玩家 3 改变了自己的排序（谎报）

3. 为什么这表示"撒谎更好"？

📌 结论（slide 原话的意思）

🇺🇸 用"特朗普 vs 希拉里选举"解释幻灯片

P8

🇺🇸 Florida 2000（简化版）发生了什么？

🗳️ 三个候选人

📊 各类选民的偏好（排序）

🔍 关键点：多数人最喜欢 Gore，但 Gore 却输了！

Gore vs Bush

Gore vs Nader

⚠️ 但实际投票使用的是"单选多数制（Plurality Voting）"

🎯 问题的本质：Nader 的存在"分裂"了亲 Gore 阵营

📌 总结一句话

P9

🧠 投票理论（Voting Theory）为什么和 AI 相关？

1️⃣ 搜索引擎（Search Engines）

2️⃣ 推荐系统（Recommender Systems）

3️⃣ 多智能体系统（Multiagent Systems）

4️⃣ AI 竞赛（AI Competitions）

总结

P10

🧠 Voting Theory and AI (2) --- "反向"关系

1️⃣ Algorithms and Complexity（算法与复杂性）

2️⃣ Knowledge Representation（知识表示）

3️⃣ Logic and Automated Reasoning（逻辑与自动推理）

📌 总结一句话

P13

P15

1️⃣ "单选多数制只看第 1 名，把大量偏好信息忽略了"

2️⃣ "意识形态相近的候选人会分裂票源"

3️⃣ "选民被迫不投自己最喜欢的人，要进行战略投票"

⭐ 总结（用一句话）

P16

📌 Plurality with Run-Off（多数制 + 第二轮决选）是什么？

📌 这个制度如何解决单选多数制的一些问题？

（1）避免票源分裂（vote splitting）

📌（2）让"第二偏好"更有影响力

📌（3）第二轮能收集更多偏好信息

📌 那为什么仍然被批评（例如 2002 法国 Le Pen 事件）？

⭐ 用一句话总结

P19