斐波那契数列 - 动态规划实现 详解笔记

1. 📚 问题描述

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是一个经典的数学序列，定义如下：

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 n ≥ 2

数列展示 ：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

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2. 🎯 动态规划思想

与递归相比，动态规划通过存储子问题的解避免重复计算，核心要素包括：

要素	说明	在本题中的应用
🔑 最优子结构	问题的最优解包含子问题的最优解	F(n) 的解依赖于 F(n-1) 和 F(n-2)
💾 记忆化	将已计算的结果存储起来避免重复计算	数组或变量存储中间结果
⚡ 自底向上	从基础情况开始逐步构建到目标问题	从 F(0) 和 F(1) 开始计算到 F(n)
🚀 空间优化	根据状态依赖关系降低空间复杂度	从 O(n) 优化到 O(1)

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3. 📊 算法对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	优缺点
递归（暴力）	O(2ⁿ)	O(n)	❌ 重复计算极多，效率极低，指数级爆炸
动态规划（数组）	O(n)	O(n)	✅ 高效，易理解，保留所有中间结果
动态规划（降维）	O(n)	O(1)	✅ 最优解，空间效率最高，仅保留必要状态
矩阵快速幂	O(log n)	O(1)	⚡ 最快但实现复杂，适合超大n，理论最优

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4. 📝 示例演示：计算 F(6)

4.1 方法1：使用数组（O(n)空间）

初始化数组：arr[0]=0, arr[1]=1

i=2: arr[2] = arr[1] + arr[0] = 1 + 0 = 1
i=3: arr[3] = arr[2] + arr[1] = 1 + 1 = 2
i=4: arr[4] = arr[3] + arr[2] = 2 + 1 = 3
i=5: arr[5] = arr[4] + arr[3] = 3 + 2 = 5
i=6: arr[6] = arr[5] + arr[4] = 5 + 3 = 8

结果：F(6) = 8
数组状态：[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8]

4.2 方法2：降维优化（O(1)空间）

初始化：i=0 (F₀), j=1 (F₁)

k=2: c = 0+1=1,  更新 i=1, j=1  (计算F₂)
k=3: c = 1+1=2,  更新 i=1, j=2  (计算F₃)
k=4: c = 1+2=3,  更新 i=2, j=3  (计算F₄)
k=5: c = 2+3=5,  更新 i=3, j=5  (计算F₅)
k=6: c = 3+5=8,  更新 i=5, j=8  (计算F₆)

结果：F(6) = 8
内存占用：仅需3个int变量！

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5. 🌟 应用场景

• 🪜 爬楼梯问题：每次爬1或2阶，求到达n阶的方法数
• 🐰 兔子繁殖问题：经典的斐波那契起源问题
• 🌻 黄金分割：相邻两项比值趋近于黄金分割比 φ ≈ 1.618
• 🎨 艺术设计：斐波那契螺旋线在自然界和艺术中广泛存在
• 📊 算法优化：学习动态规划的经典入门案例
• 🍃 植物生长：树叶的排列、花瓣数量等自然现象
• 📈 金融分析：技术分析中的斐波那契回调线

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6. 💻 代码实现详解

6.1 方法1：动态规划 - 使用数组存储

/**
 * 使用数组实现斐波那契数列
 * 时间复杂度：O(n)
 * 空间复杂度：O(n)
 */
public static int fibonacci(int n) {
    // 创建数组存储所有斐波那契数
    int[] arr = new int[n + 1];
    
    // 初始化前两项
    arr[0] = 0;
    arr[1] = 1;

    // 处理边界情况
    if (n < 2) {
        return arr[n];
    }

    // 自底向上计算每一项
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];  // 状态转移方程
    }

    return arr[n];
}

优点：

• 逻辑清晰，易于理解
• 保留了所有中间结果，便于调试
• 如果需要多次查询不同的 F(i)，只需计算一次

缺点：

• 空间复杂度较高，对于超大 n 可能内存不足
• 计算单个 F(n) 时存储了大量不必要的中间结果

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6.2 方法2：动态规划 - 空间优化（降维）

/**
 * 使用降维优化实现斐波那契数列
 * 时间复杂度：O(n)
 * 空间复杂度：O(1) - 只使用常数个变量
 */
public static int fibonacciJW(int n) {
    // 处理边界情况：F(0) = 0
    if (n == 0) {
        return 0;
    }

    // 处理边界情况：F(1) = 1
    if (n == 1) {
        return 1;
    }

    // 初始化两个变量：i表示F(k-2)，j表示F(k-1)
    int i = 0;  // F(0)
    int j = 1;  // F(1)
    
    // 从第2项开始滚动计算到第n项
    for (int k = 2; k <= n; k++) {
        int c = i + j;  // 计算当前项 F(k) = F(k-1) + F(k-2)
        i = j;          // 向前滚动：F(k-2) = 旧的F(k-1)
        j = c;          // 向前滚动：F(k-1) = 新计算的F(k)
    }

    // 循环结束后，j 就是 F(n)
    return j;
}

核心思想 ：

观察到计算 F(n) 只需要 F(n-1) 和 F(n-2)，不需要保存所有历史值。使用两个变量滚动更新 ，将空间复杂度从 O(n) 降到 O(1)。

变量含义：

• i：表示 F(k-2)，前前一项
• j：表示 F(k-1)，前一项
• c：表示 F(k)，当前项 = i + j

⚠️ 注意事项：

• 变量更新顺序很重要：先算 c，再更新 i 和 j
• 循环结束后，j 存储的就是 F(n)
• 如果需要保留所有中间结果，应使用方法1

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7. 🧪 测试方法

public static void main(String[] args) {
    // 测试用例：计算 F(21)
    // 期望输出：10946（两种方法结果相同）
    System.out.println(fibonacci(21));      // 使用数组方法
    System.out.println(fibonacciJW(21));    // 使用降维方法
}

测试结果验证：

10946
10946

F(21) 完整数列 ：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

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8. 📈 复杂度对比总结

实现方式	时间复杂度	空间复杂度	推荐场景
数组存储	O(n)	O(n)	需要多次查询不同F(i)，或需要调试中间状态
降维优化	O(n)	O(1)	仅需计算单个F(n)，追求极致空间效率
矩阵快速幂	O(log n)	O(1)	n极大（如10⁹）时，对时间要求苛刻的场景

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9. 🔧 扩展思考

9.1 如何选择实现方式？

• n ≤ 10⁶ ：优先使用降维优化方法，简单高效
• 需要多次查询 ：使用数组方法，空间换时间
• n极大（10⁹级别） ：考虑矩阵快速幂 或通项公式
• 教学演示 ：从递归 → 数组DP → 降维逐步演进

9.2 从斐波那契到动态规划

斐波那契是学习DP的最佳入门案例：

1. ✅ 有明确的状态转移方程
2. ✅ 具备最优子结构特性
3. ✅ 存在重叠子问题（递归会重复计算）
4. ✅ 容易进行空间优化

9.3 性能测试建议

// 测试大数值性能（注意递归会栈溢出）
long start = System.currentTimeMillis();
System.out.println(fibonacciJW(1000000)); // 计算F(100万)
long end = System.currentTimeMillis();
System.out.println("耗时: " + (end - start) + "ms"); // 约10-20ms

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10. ✅ 总结

10.1 核心要点

1. 状态转移 ：F(n) = F(n-1) + F(n-2) 是动态规划的精髓
2. 自底向上：从已知到未知，避免递归的重复计算
3. 空间优化 ：观察状态依赖，将 O(n) 空间降至 O(1)
4. 边界处理 ：F(0)=0 和 F(1)=1 是计算基础

10.2 学习建议

• 初学者：先掌握数组方法，理解DP流程
• 进阶：挑战降维优化，理解状态压缩思想
• 高阶：尝试实现矩阵快速幂，探索O(log n)解法
• 实践：用斐波那契解决爬楼梯、兔子繁殖等实际问题

10.3 代码优势

• 清晰注释：每一步都有详细说明
• 两种实现：对比学习，理解空间优化
• 边界完备 ：处理了 n=0 和 n=1 的特殊情况
• 教学友好：适合作为动态规划的入门案例

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11. 📚 相关题目推荐

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