二叉树的三种迭代遍历（无栈版本）-- 我在马克思主义课上的一些巧思

前情提要

事情是这样的：本人近日跟着邓俊辉的网课学习数据结构（不知道有没有听过的，讲得真的很好），在学习到二叉树的三种遍历，也就是先序、中序、后序这三种时，对课堂上提供的算法有些不满：三种算法全都采用引入一个辅助栈的方法来确定节点的遍历顺序。

这样的算法在我的眼中，不够优雅。老师在二叉树遍历的第一节课就说过，随着二叉树的规模、深度增大，递归遍历版本会出现"函数调用栈溢出"的问题。现在优化为了迭代版本，却依然没有解决这个问题。

于是我就带着这个问题，走向了马克思主义的教室（本人开学以来第一次见到这老师，其他时间都是在寝室自学，今天听说有期中考试才来的）。课上实在无聊，我口袋里又正好有一张草稿纸。闲来无事，在上面画了一棵树。

历史上也不乏这样的时刻--灵感总是在不经意间涌现。我把目光从整体的递归，或者说迭代策略，转向了局部，节点与节点之间的逻辑联系。于是发现了一种基于父指针的，不需要辅助栈的迭代遍历策略。这样的发现不能说不令人欣喜，于是写下我的第一篇博客，以作纪念。

算法思路与实现

我的算法基于父指针来维系节点之间的逻辑联系。这大概是其唯一的缺点。但是，耗费与栈相当的空间（对于已经提供父指针的情景，额外的空间是O(1)），不仅能够解决栈溢出的问题，而且在形式上，三种遍历算法高度统一，我自认为算是个优雅且优秀的算法。

先序遍历：V->L->R

先从先序遍历开始吧，我们有一棵二叉树，如图：

思路是这样的，从根节点开始。在任意时刻，我们先遍历当前节点，然后面临的无非这几种情况：

当前节点有左孩子，那就继续去遍历左孩子。
当前节点没有左孩子（左孩子为空），但是有右孩子，那就去遍历右孩子。
当前节点既没有左孩子，也没有右孩子（叶子节点），那就要回溯了。

回溯到什么时候呢？回溯时也无非两种情况，我们不妨讨论一下，使得你的思路更加清晰：

一、回溯时，自己是父节点的"非独生"左孩子。这很好理解，也就是这个父节点的左子树遍历完了嘛，那就接着去遍历他的右子树

二、回溯时，自己是父节点的"独生"左孩子，或是右孩子。也很好理解吧，那这个父节点的左右子树就全部遍历完了！我们就跳过这个父节点,继续向上回溯，直到它是父节点的"非独生"左孩子。

现在我们已经讨论完了遍历中所有的情况，那循环什么时候退出呢？答案是"根节点的左右子树被遍历完"。也就是说，当前节点重新回到根节点（父节点为空）时，退出循环，遍历结束。

下面给出代码（自认为完美，欢迎大佬来找bug）：

template<typename T, typename VST>
void traverse(bin_node<T>* node, VST& visit)
{
	if (node == nullptr) return;//边界情况考虑

	while (true)
	{
		visit(node);//先序遍历
		if (node->get_left_child() != nullptr) node = node->get_left_child();//如果左孩子存在，则继续深入
		else if (node->get_right_child() != nullptr) node = node->get_right_child();//如果没有左孩子，但是有右孩子，则转向右孩子

		//如果为叶节点，开始回溯
		else
		{
			while (true)
			{
				if (node->get_parent() == nullptr)break;//如果追溯到根节点，说明整棵树遍历完了，退出循环
				if (node == node->get_parent()->get_left_child())//如果是父节点的左孩子，讨论是否"独生"
				{
					if (node->get_parent()->get_right_child() == nullptr);//如果独生，那就继续回溯
					else break;//如果非独生，就退出循环，去遍历父节点的右子树
				}
				else;//如果是父节点的右孩子，继续回溯

				node = node->get_parent();
			}
			if (node->get_parent() == nullptr) return;//如果追溯到根节点的上方，说明已经遍历完了
			node = node->get_parent()->get_right_child();//如果不是根节点，转向右孩子
		}
	}
}

中序遍历

思路是一样的，只不过这里要等到节点的左子树遍历完再遍历该节点。

我们也分情况讨论。从根节点开始。在任意时刻，我们先不遍历当前节点，面临的无非这几种情况：

当前节点有左孩子，那就转向左孩子
当前节点没有左孩子，但是有右孩子。那就到了这个节点被遍历的时候了。它被遍历之后，要转向他的右孩子。
当前节点为叶节点，那就开始回溯

回溯的时候呢，也无非下面几种情况：

一、当前节点为左孩子，那就说明他的父节点的左子树已经遍历完了，遍历他的父节点。如果这个父节点有右孩子呢，就去遍历，如果没有那就继续向上回溯。

二、当前节点为右孩子，那说明它的父节点是不用遍历的，向上回溯。

（写到这里，不得不感叹一句：这写文章和在脑子里想真不是一回事啊。脑子里的思路透明如水晶，一到想要写下来时却找不着东南西北。）

template<typename T, typename VST>
void my_traverse_middle(bin_node<T>* node, VST& visit)
{
	if (node == nullptr) return;//边界情况

	while (true)
	{
		if (node->get_left_child() != nullptr) node = node->get_left_child();//如果左孩子存在，继续深入
		else//如果没有左孩子，那就遍历当前节点
		{
			visit(node);
			if (node->get_right_child() != nullptr) node = node->get_right_child();//如果有右孩子，那就转向右孩子

			else//没有的话，也就是叶节点，向上回溯,直到当前节点为"非独生"左孩子
			{
				while (true)
				{
					if (node->get_parent() == nullptr)break;//如果追溯到根节点，说明整棵树遍历完了，退出循环
					if (node == node->get_parent()->get_left_child())//如果是父节点的左孩子，就遍历父节点，再讨论是否"独生"
					{
						visit(node->get_parent());
						if (node->get_parent()->get_right_child() != nullptr) break;//如果非独生，就去遍历父节点的右子树
						else;//如果独生，继续回溯
					}
					else;//如果是父节点的右孩子，继续回溯

					node = node->get_parent();
				}
				if (node->get_parent() == nullptr) return;//如果追溯到根节点的上方，说明遍历完了
				node = node->get_parent()->get_right_child();
			}
		}
	}
}

后序遍历

对于后序遍历，我们理解这样一个事实：对于任意一棵（子）树，我们总是先去遍历最左边的叶子

从根节点开始，我们向下遍历，无非这几种情况：

当前节点有左孩子，那就继续向左
如果当前孩子没有左孩子，那就尝试向右
如果当前节点为叶子节点，那就遍历，并开始回溯

我们接着讨论回溯时的情况

一、当前孩子为"非独生"左孩子，那就去遍历他的父节点的右子树

二、当前节点为"独生"左孩子，或者当前节点为右孩子，说明到了它的父节点被遍历的时候了

下面给出这个算法的实现：

template<typename T, typename VST>
void traverse(bin_node<T>* node, VST& visit)
{
	if (node == nullptr) return;//边界情况

	while (true)
	{
		if (node->get_left_child() != nullptr)node = node->get_left_child();//如果有左孩子，就向左
		else if (node->get_right_child() != nullptr)node = node->get_right_child();//如果没有左孩子，但是有右孩子，就向右

		else //都没有，说明是叶节点，开始回溯
		{
			visit(node);
			while (true)
			{
				if (node->get_parent() == nullptr)break;//如果追溯到根节点，说明整棵树遍历完了，退出循环
				if (node == node->get_parent()->get_left_child())//如果是父节点的左孩子，讨论是否"独生"
				{
					if (node->get_parent()->get_right_child() == nullptr)visit(node->get_parent());//如果独生，说明父节点左右子树均遍历完，到了他被遍历的时候
					else break;//如果非独生，就退出循环，去遍历父节点的右子树
				}
				else//如果是父节点的右孩子，那就遍历父节点，继续回溯
				{
					visit(node->get_parent());
				}

				node = node->get_parent();
			}
                        if (node->get_parent() == nullptr) return;//如果追溯到根节点的上方，说明遍历完了
                        node = node->get_parent()->get_right_child();
		}

	}
}

总结

我认为这个算法是有价值的

首先，空间上：对于自带父指针的树，他的额外空间复杂度是O(1),就算是算上父指针也不过O(n)，还能避免栈溢出的问题。

形式上，不难看出，三种遍历算法的逻辑和代码实现都是高度统一的。

时间上，省去了入栈出栈的操作，代价是每个非叶子节点都要被node"经过"两次。总体上，时间复杂度对比传统的辅助栈方法是小优，仍然是O(n)

当然也有缺点，首先是这个父指针的事吧，我跟着课堂上实现的二叉树版本是自带父指针的，我也不知道这个父指针的泛用性咋样。还有就是代码逻辑对比传统的辅助栈方法确实不那么简明，但我觉得还好。（不知道看到这里的你看懂了吗？）

事实上，对于层次遍历，我也自己推导出了"无队列版本"，但为了保证这篇博客内容的统一性，就不放在这里了。有兴趣的朋友可以私信交流。