10 Regularization to Reduce Overfitting
10.1 The Problem of Overfitting
过拟合 Overfitting，通常也可以描述为 High Variance （高方差）
欠拟合 Underfitting，通常也可以描述为 High Bias （但这个词也有很多别的用法）
正则化 Regularization 是常用的缓解过拟合问题的方法
泛化 Generalization 指模型在没见过的新的例子上也能表现良好的能力
过拟合的例子（泛化能力差）：
10.2 解决过拟合 Addressing Overfitting
- 收集更多的训练数据
- 考虑使用更少的特征，最合适的特征
通常，特征数量少于合理值导致欠拟合，特征数量多于合理值导致过拟合
要选择最合理的特征，泛化强的特征 --> Feature Selection - 正则化 Regularization
减少过大的特征参数权重wjw_jwj，防止某一特征产生过大的影响
与策略2去除特征类似，但是更温和，不是完全把wjw_jwj置0
注：一般只正则化w，而参数b是否正则化通常不会造成很大影响
总结一下：
10.3 Cost Function with Regularization
可以让成本函数加上若干倍想降低的wjw_jwj的平方：
但大多数情况下，特征很多，我们也并不知道哪些特征要被弱化/惩罚
所以，对所有wjw_jwj都这样操作正则化，缩小所有wjw_jwj，可以得到一个更平滑的函数，不容易过拟合
注：大多数情况下，参数b是否正则化影响并不大，所以一般不必对b进行正则化
现在，我们记m代表有m个训练样本，n代表有n个特征，那么，我们有：
J(w⃗,b)=12m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))2+λ∑j=1nwj2J(\vec w, b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})^2 + \lambda\sum_{j=1}^{n}w_j^2J(w ,b)=2m1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))2+λj=1∑nwj2
但是通常我们会将λ\lambdaλ也进行12m\frac{1}{2m}2m1的缩放，事实证明这样操作的话，λ\lambdaλ的取值在m增大，即训练集规模增大的同样表现良好：
J(w⃗,b)=12m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))2+λ2m∑j=1nwj2J(\vec w, b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})^2 + \frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}w_j^2J(w ,b)=2m1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))2+2mλj=1∑nwj2
注：
- 这里的λ\lambdaλ称作 正则化参数（Regularization Parameter） ，类似学习率α\alphaα，也是一个需要确定的超参数
- 现在我们的目标是最小化J(w⃗,b)J(\vec w, b)J(w ,b)，它由两项组成，前者是均方误差（Mean Squared Error，MSE），后者是正则化项（Regularization Term），而λ\lambdaλ描述了对两者之间的重要性的权衡，前者鼓励算法的预测值更贴近训练集的真实值，而后者鼓励算法减小w而减少过拟合
- 极端情况：如果λ\lambdaλ置0，那么完全没有正则化项，预测函数可能过拟合得非常严重；如果λ\lambdaλ置为一个极大的数，那么以线性回归为例，所有的w为了满足使正则化项变小，w将会变得趋于0，那么只剩下b，预测函数将会趋于直线b，严重欠拟合。所以，λ\lambdaλ的值控制了模型过拟合和欠拟合的平衡
10.4 Regularized Linear Regression
回顾之前的线性回归梯度下降公式：
wj=wj−α∂∂wjJ(w⃗,b)b=b−α∂∂bJ(w⃗,b)w_j = w_j - \alpha \frac {\partial} {\partial w_j}J(\vec w, b) \\ b = b - \alpha \frac {\partial} {\partial b}J(\vec w, b)wj=wj−α∂wj∂J(w ,b)b=b−α∂b∂J(w ,b)
添加正则化项的情况下不难发现，b的表达式并不会变化，因为我们没有对b正则化。w的表达式，正则化项会引入一个新的导数项，那么有：
∂∂wjJ(w⃗,b)=1m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))xj(i)+λmwj∂∂bJ(w⃗,b)=1m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))\frac {\partial} {\partial w_j} J(\vec w, b) = \frac 1 m \sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} + \frac \lambda m w_j \\ \frac {\partial} {\partial b} J(\vec w, b) = \frac 1 m \sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})∂wj∂J(w ,b)=m1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))xj(i)+mλwj∂b∂J(w ,b)=m1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))
完整地写出来：
wj=wj−α1m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))xj(i)+λmwjb=b−α1m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))w_j = w_j - \alpha \\frac 1 m \\sum_{i=1}\^{m}(f_{\\vec w, b}(\\vec x\^{(i)})-y\^{(i)})x_j\^{(i)} + \\frac \\lambda m w_j \\ b = b - \alpha \frac 1 m \sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})wj=wj−αm1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))xj(i)+mλwjb=b−αm1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))
我们把关于wjw_jwj的式子改写一下：
wj=wj(1−αλm)−α1m∑i=1m(fw⃗,b(x⃗(i))−y(i))xj(i)w_j = w_j(1-\alpha \frac{\lambda}{m}) - \alpha \frac 1 m \sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}wj=wj(1−αmλ)−αm1i=1∑m(fw ,b(x (i))−y(i))xj(i)
后一项与不带正则化项的梯度下降一致，唯一的区别在于wjw_jwj在更新中不断缩小（1−αλm1-\alpha \frac{\lambda}{m}1−αmλ是一个略小于1的数值）
10.5 Regularized Logistic Regression
和不带正则化的逻辑回归类似，带正则化的逻辑回归的梯度下降也与线性回归的表达式看起来类似，但同样需要注意，里面的fw⃗,b(x⃗)f_{\vec w, b}(\vec x)fw ,b(x )不一样。
wj=wj(1−αλm)−α1m∑i=1m(fw⃗,b(x(i))−y(i))xj(i)b=b−α1m∑i=1m(fw⃗,b(x(i))−y(i))w_j = w_j(1-\alpha \frac{\lambda}{m})-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)} \\ b = b-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\vec w, b}(x^{(i)})-y^{(i)})wj=wj(1−αmλ)−αm1i=1∑m(fw ,b(x(i))−y(i))xj(i)b=b−αm1i=1∑m(fw ,b(x(i))−y(i))