[题解]2024CCPC郑州站——Z-order Curve

椰萝Yerosius2025-11-28 14:38

题目简介

题源：L. Z-order Curve | GYM
题意：对于如下Z曲线，给定曲线端点 [ L , R ] [L,R] [L,R]，找出最小的 L ′ L^{'} L′，使得 [ L ′ , R ′ − L + 1 ] [L^{'},R^{'}-L+1] [L′,R′−L+1] 与 [ L , R ] [L,R] [L,R] 曲线形状相同。注意 [ L , R ] [L,R] [L,R]为有向线段。
数据范围： 0 ≤ L , R ≤ 1 0 18 0\le L,R\le 10^{18} 0≤L,R≤1018
关键词：递归，二进制(签到)

题解1:递归

观察可知Z曲线具有自相似性。每一个大小为 2 k 2^k 2k的大Z曲线，均由4个大小为 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1的小Z曲线拼接而成，我们称其分别为左上、右上、左下、右下。这天然启发我们使用递归求解。具体而言：

若 [ L , R ] [L,R] [L,R] 位于同一层，则可通过取模，将其平移到位于左上角的小Z曲线中，同时向下一层递归；
否则，代表已找到能表示出该曲线形状的最小Z曲线，无法再继续分解。此时左端点即为答案。

观察到 R ≤ 1 0 18 R\le 10^{18} R≤1018，使用换底公式求得其 < 2 60 <2^{60} <260，故直接从第60层向下递归。复杂度 O ( log ⁡ R ) O(\log R) O(logR)。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64=long long;
#define int i64
#define endl '\n'
int solve(int L,int R,int k) {
    int size=1LL<<k;
    if (L/size!=R/size) return L;
    return solve(L%size,R%size,k-1);
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
    int t;cin>>t;
    while (t--) {
        int l,r;cin>>l>>r;
        cout<<solve(l,r,60)<<endl;
    }
    return 0;
}

题解2:二进制

前置知识：莫顿码的构成，四叉树。此思想理解非常困难，博主太菜了，暂时搁置。