矩阵理论与应用
一、矩阵的定义以及常见的特殊矩阵
1. 基本定义
矩阵是由 m×nm \times nm×n 个数 aija_{ij}aij (i=1,2,...,mi=1,2,\ldots,mi=1,2,...,m; j=1,2,...,nj=1,2,\ldots,nj=1,2,...,n) 排成的矩形阵列：
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn
矩阵相等 ：两个矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij) 和 B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij) 相等当且仅当：
- 它们有相同的行数和列数
- 对应位置的元素相等：aij=bija_{ij}=b_{ij}aij=bij 对所有 i,ji,ji,j 成立
2. 常见的特殊矩阵
行矩阵（行向量） ：A=(a1,a2,...,an)A = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})A=(a1,a2,...,an)
列矩阵（列向量） ：
A=(a1a2⋮am) A = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{m} \end{pmatrix} A= a1a2⋮am
零矩阵 ：所有元素都是0，记作 OOO 或 000
方阵 ：行数和列数相等的矩阵，n×nn \times nn×n 矩阵称为 nnn 阶方阵
对角矩阵 ：
A=(a110⋯00a22⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯ann) A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} A= a110⋮00a22⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮ann
记作 A=diag(a11,a22,...,ann)A = \mathrm{diag}(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn})A=diag(a11,a22,...,ann)
数量矩阵 ：
A=(k0⋯00k⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯k) A = \begin{pmatrix} k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & k \end{pmatrix} A= k0⋮00k⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮k
单位矩阵 ：主对角线元素全为1的对角矩阵，记作 EEE 或 III
三角矩阵：
- 上三角矩阵：aij=0a_{ij}=0aij=0 当 i>ji>ji>j
- 下三角矩阵：aij=0a_{ij}=0aij=0 当 i<ji<ji<j
例题 ：判断矩阵 A=(100230456)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}A= 124035006 的类型。
解：该矩阵是下三角矩阵。
二、矩阵的运算
1. 矩阵的线性运算
加法 ：设 A=(aij)m×nA=(a_{ij}){m \times n}A=(aij)m×n, B=(bij)m×nB=(b{ij}){m \times n}B=(bij)m×n，则
A+B=(aij+bij)m×nA+B = (a{ij}+b_{ij})_{m \times n}A+B=(aij+bij)m×n
数乘 ：设 kkk 是常数，A=(aij)m×nA=(a_{ij}){m \times n}A=(aij)m×n，则
kA=(kaij)m×nkA = (k a{ij})_{m \times n}kA=(kaij)m×n
2. 矩阵的乘法
设 A=(aij)m×sA=(a_{ij}){m \times s}A=(aij)m×s, B=(bij)s×nB=(b{ij}){s \times n}B=(bij)s×n，则乘积 C=ABC = ABC=AB 是一个 m×nm \times nm×n 矩阵，其中
cij=∑k=1saikbkjc{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj}cij=k=1∑saikbkj
可交换矩阵 ：如果 AB=BAAB = BAAB=BA，则称 AAA 与 BBB 可交换。
3. 矩阵的幂和多项式
矩阵的幂 ：对于方阵 AAA，定义 Ak=AA⋯A⏟k个A^k = \underbrace{A A \cdots A}_{k \text{个}}Ak=k个 AA⋯A，并规定 A0=EA^0 = EA0=E
矩阵的多项式 ：设 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0，则
f(A)=anAn+an−1An−1+⋯+a1A+a0Ef(A) = a_n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 Ef(A)=anAn+an−1An−1+⋯+a1A+a0E
4. 矩阵的转置
将矩阵 AAA 的行列互换得到的新矩阵称为 AAA 的转置，记作 ATA^TAT
对称矩阵 ：若 AT=AA^T = AAT=A，则 AAA 为对称矩阵
反对称矩阵 ：若 AT=−AA^T = -AAT=−A，则 AAA 为反对称矩阵
5. 方阵的行列式及其性质
nnn 阶方阵 AAA 的行列式记作 ∣A∣|A|∣A∣ 或 det(A)\det(A)det(A)
性质：
- ∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣
- ∣kA∣=kn∣A∣|kA| = k^n |A|∣kA∣=kn∣A∣
- ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
- ∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1}| = |A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1（若 AAA 可逆）
例题 ：设 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}A=(1324), B=(2012)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}B=(2102)，求 A+BA+BA+B, 2A2A2A, ABABAB, BABABA, ATA^TAT, ∣A∣|A|∣A∣
解：
- A+B=(3246)A+B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}A+B=(3426)
- 2A=(2468)2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}2A=(2648)
- AB=(44108)AB = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}AB=(41048)
- BA=(24710)BA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 10 \end{pmatrix}BA=(27410)
- AT=(1324)A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}AT=(1234)
- ∣A∣=1×4−2×3=−2|A| = 1\times4 - 2\times3 = -2∣A∣=1×4−2×3=−2
三、矩阵的逆
1. 逆矩阵的定义
对于 nnn 阶方阵 AAA，如果存在 nnn 阶方阵 BBB，使得 AB=BA=EAB = BA = EAB=BA=E，则称 AAA 可逆，BBB 为 AAA 的逆矩阵，记作 A−1A^{-1}A−1
2. 逆矩阵的性质
- 若 AAA 可逆，则 A−1A^{-1}A−1 唯一
- (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A
- (kA)−1=k−1A−1(kA)^{-1} = k^{-1} A^{-1}(kA)−1=k−1A−1（k≠0k \neq 0k=0）
- (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
- (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
3. 求逆矩阵的方法
定义法 ：利用 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E，解方程组
公式法 ：A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*A−1=∣A∣1A∗，其中 A∗A^*A∗ 是 AAA 的伴随矩阵
初等变换法 ：对 (A∣E)(A \mid E)(A∣E) 做初等行变换，当 AAA 变为 EEE 时，EEE 就变为 A−1A^{-1}A−1
4. 利用矩阵求逆解矩阵方程
对于方程 AX=BAX = BAX=B，若 AAA 可逆，则 X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B
5. 矩阵可逆的充要条件
AAA 可逆 ⇔\Leftrightarrow⇔ ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 满秩 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 的行（列）向量组线性无关 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 可表示为初等矩阵的乘积
6. 矩阵等价的充要条件
矩阵 AAA 与 BBB 等价 ⇔\Leftrightarrow⇔ 存在可逆矩阵 PPP、QQQ，使得 PAQ=BPAQ = BPAQ=B ⇔\Leftrightarrow⇔ r(A)=r(B)r(A) = r(B)r(A)=r(B)
例题 ：求矩阵 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}A=(1324) 的逆矩阵
解：
方法一（公式法） ：∣A∣=−2|A| = -2∣A∣=−2，伴随矩阵 A∗=(4−2−31)A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}A∗=(4−3−21)，所以
A−1=1−2(4−2−31)=(−2132−12)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}A−1=−21(4−3−21)=(−2231−21)
方法二（初等变换法） ：
(12103401)→(10−210132−12)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right)(13241001)→(1001−2231−21)
所以 A−1=(−2132−12)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}A−1=(−2231−21)
四、矩阵的分块
1. 分块矩阵的定义
将矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为原矩阵的子块
2. 分块三角矩阵
分块上三角矩阵 ：(A11A12OA22)\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix}(A11OA12A22)
分块下三角矩阵 ：(A11OA21A22)\begin{pmatrix} A_{11} & O \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}(A11A21OA22)
3. 分块对角矩阵
(A1O⋯OOA2⋯O⋮⋮⋱⋮OO⋯Ak) \begin{pmatrix} A_{1} & O & \cdots & O \\ O & A_{2} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{k} \end{pmatrix} A1O⋮OOA2⋮O⋯⋯⋱⋯OO⋮Ak
4. 分块矩阵的运算
分块矩阵的加法、数乘、乘法与普通矩阵类似，但要注意子块的尺寸匹配
5. 矩阵方程
通过分块矩阵可以解一些矩阵方程
例题 ：设 A=(1000010010200102)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}A= 1010010100200002 ，将 AAA 分块为 (EOBC)\begin{pmatrix} E & O \\ B & C \end{pmatrix}(EBOC)，求 BBB 和 CCC
解 ：
根据分块，B=(1001)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}B=(1001)，C=(2002)C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}C=(2002)
五、矩阵的初等变换
1. 初等行（列）变换
- 交换两行（列）
- 用一个非零数乘某一行（列）
- 把某一行（列）的倍数加到另一行（列）
2. 阶梯矩阵与最简阶梯矩阵
阶梯矩阵：
- 零行在底部
- 非零行的首非零元（主元）的列标随着行标递增
最简阶梯矩阵：
- 是阶梯矩阵
- 每个主元都是1
- 主元所在列的其他元素都是0
3. 矩阵的标准形
任意矩阵都可以通过初等变换化为标准形 (ErOOO)\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}(ErOOO)，其中 rrr 是矩阵的秩
4. 矩阵的等价
若矩阵 AAA 经过初等变换得到 BBB，则称 AAA 与 BBB 等价
5. 初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
6. 初等变换与初等矩阵的关系
对 AAA 施行一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘一个相应的初等矩阵
7. 初等变换法解矩阵方程
对于 AX=BAX=BAX=B，可对 (A∣B)(A \mid B)(A∣B) 做初等行变换，当 AAA 变为 EEE 时，BBB 就变为 XXX
例题 ：用初等行变换将矩阵 A=(123456789)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}A= 147258369 化为阶梯矩阵和最简阶梯矩阵
解 ：
(123456789)→(1230−3−60−6−12)→(1230−3−6000)→(123012000)→(10−1012000) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 147258369 → 1002−3−63−6−12 → 1002−303−60 → 100210320 → 100010−120
六、矩阵的秩
1. 矩阵的秩的概念与性质
矩阵 AAA 的秩是 AAA 中非零子式的最高阶数，记作 r(A)r(A)r(A)
性质：
- r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)r(A)=r(AT)
- r(kA)=r(A)r(kA) = r(A)r(kA)=r(A)（k≠0k \neq 0k=0）
- r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B) \leq r(A) + r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)
- r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}
2. 矩阵的秩的计算
- 利用初等变换化为阶梯矩阵，非零行的行数就是秩
- 利用子式：最高阶非零子式的阶数
3. 矩阵的秩的应用
判断线性方程组解的情况、向量组的线性相关性等
4. 满秩矩阵与降秩矩阵
满秩矩阵 ：r(A)=nr(A) = nr(A)=n（AAA 为 nnn 阶方阵）
降秩矩阵 ：r(A)<nr(A) < nr(A)<n（AAA 为 nnn 阶方阵）
5. 满秩矩阵的充分条件
AAA 满秩 ⇔\Leftrightarrow⇔ ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 可逆 ⇔\Leftrightarrow⇔ AAA 的行（列）向量组线性无关
例题 ：求矩阵 A=(123456789)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}A= 147258369 的秩
解 ：
由前例，AAA 的阶梯矩阵为 (1230−3−6000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 1002−303−60 ，非零行有2行，所以 r(A)=2r(A)=2r(A)=2
历年考题选讲
考题1 ：设 AAA 为3阶方阵，∣A∣=2|A|=2∣A∣=2，求 ∣3A−1−2A∗∣|3A^{-1}-2A^*|∣3A−1−2A∗∣
解 ：
A∗=∣A∣A−1=2A−1A^* = |A|A^{-1} = 2A^{-1}A∗=∣A∣A−1=2A−1，所以
3A−1−2A∗=3A−1−4A−1=−A−13A^{-1}-2A^* = 3A^{-1}-4A^{-1} = -A^{-1}3A−1−2A∗=3A−1−4A−1=−A−1
因此
∣3A−1−2A∗∣=∣−A−1∣=(−1)3∣A−1∣=−1∣A∣=−12|3A^{-1}-2A^*| = |-A^{-1}| = (-1)^3|A^{-1}| = -\frac{1}{|A|} = -\frac{1}{2}∣3A−1−2A∗∣=∣−A−1∣=(−1)3∣A−1∣=−∣A∣1=−21
考题2 ：已知矩阵 A=(101020101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}A= 101020101 ，求 AnA^nAn
解 ：
A=(101020101)=(101020101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}A= 101020101 = 101020101
通过计算发现 A2=(202040202)=2AA^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2AA2= 202040202 =2A
假设 An=kAA^n = kAAn=kA，则 An+1=kA2=2kAA^{n+1} = kA^2 = 2kAAn+1=kA2=2kA，由 An=kAA^n = kAAn=kA 得 An+1=2nAA^{n+1} = 2^n AAn+1=2nA
所以 An=2n−1A=2n−1(101020101)A^n = 2^{n-1} A = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}An=2n−1A=2n−1 101020101
本教程涵盖了矩阵部分的主要知识点，包括定义、运算、逆矩阵、分块矩阵、初等变换和矩阵的秩。