一、线性方程组的表示及相关概念
1. m×n线性方程组
定义：包含m个方程、n个未知数的线性方程组的一般形式为：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
矩阵表示 ： A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b
其中
A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n ) , x = ( x 1 ⋮ x n ) , b = ( b 1 ⋮ b m ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} A= a11⋮am1⋯⋱⋯a1n⋮amn ,x= x1⋮xn ,b= b1⋮bm
2. 线性方程组的几何意义
- 二维情况：每个方程表示平面上的一条直线
- 三维情况：每个方程表示空间中的一个平面
- n维情况：每个方程表示n维空间中的一个超平面
例题：方程组
{ 2 x + y = 5 x − y = 1 \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} {2x+y=5x−y=1
表示平面上两条直线的交点。
3. 基本概念
- 解：使得所有方程同时成立的未知数值
- 同解方程组：解集合完全相同的两个方程组
- 相容方程组：至少存在一个解
- 矛盾方程组：无解
- 解向量 ：解按顺序排列构成的向量 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n ) T \mathbf{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)^T ξ=(ξ1,ξ2,⋯,ξn)T
- 通解：包含所有解的表达式，通常含有自由参数
- 特解：不包含自由参数的确定解
- 齐次方程组 ： b = 0 \mathbf{b} = \mathbf{0} b=0，即 A x = 0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0
- 非齐次方程组 ： b ≠ 0 \mathbf{b} \neq \mathbf{0} b=0，即 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b
二、线性方程组的解
1. 线性方程组解的判别
判别定理
对于线性方程组 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b，其中 A A A 是 m × n m \times n m×n 矩阵：
- 无解： r ( A ) < r ( A ∣ b ) r(A) < r(A|\mathbf{b}) r(A)<r(A∣b)
- 有唯一解： r ( A ) = r ( A ∣ b ) = n r(A) = r(A|\mathbf{b}) = n r(A)=r(A∣b)=n
- 有无穷多解： r ( A ) = r ( A ∣ b ) < n r(A) = r(A|\mathbf{b}) < n r(A)=r(A∣b)<n
其中： r ( A ) r(A) r(A) 是系数矩阵的秩， r ( A ∣ b ) r(A|\mathbf{b}) r(A∣b) 是增广矩阵的秩。
例题
判断方程组
{ x 1 + 2 x 2 = 1 2 x 1 + 4 x 2 = 3 \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 = 3 \end{cases} {x1+2x2=12x1+4x2=3
的解的情况。
解：
A = ( 1 2 2 4 ) , ( A ∣ b ) = ( 1 2 1 2 4 3 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad (A|\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} A=(1224),(A∣b)=(122413)
r ( A ) = 1 ( 第二行是第一行的2倍 ) r(A) = 1 \quad (\text{第二行是第一行的2倍}) r(A)=1(第二行是第一行的2倍)
r ( A ∣ b ) = 2 ( 第二列不是第一列的倍数 ) r(A|\mathbf{b}) = 2 \quad (\text{第二列不是第一列的倍数}) r(A∣b)=2(第二列不是第一列的倍数)
因此 r ( A ) < r ( A ∣ b ) r(A) < r(A|\mathbf{b}) r(A)<r(A∣b)，方程组无解。
2. 矩阵方程解的判别
对于矩阵方程 A X = B AX = B AX=B，其中 A A A 是 m × n m \times n m×n 矩阵， B B B 是 m × s m \times s m×s 矩阵：
- 有解充要条件： r ( A ) = r ( A ∣ B ) r(A) = r(A|B) r(A)=r(A∣B)
- 解的唯一性：当 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n 时有唯一解
3. 线性方程组解的结构
齐次方程组 A x = 0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0
定理 ：齐次方程组的解集合构成向量空间（称为解空间），维数 = n − r ( A ) n - r(A) n−r(A)
基础解系 ：解空间的任一组基，包含 n − r ( A ) n - r(A) n−r(A) 个线性无关的解向量
通解结构 ： x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r \mathbf{x} = k_1\mathbf{\xi}1 + k_2\mathbf{\xi}2 + \cdots + k{n-r}\mathbf{\xi}{n-r} x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r，其中 k i k_i ki 为任意常数
非齐次方程组 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b
定理：非齐次方程组的通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解
即： x = x 0 + k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r \mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + k_1\mathbf{\xi}1 + k_2\mathbf{\xi}2 + \cdots + k{n-r}\mathbf{\xi}{n-r} x=x0+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r
其中 x 0 \mathbf{x}_0 x0 是 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b 的一个特解， ξ 1 , ⋯ , ξ n − r \mathbf{\xi}1, \cdots, \mathbf{\xi}{n-r} ξ1,⋯,ξn−r 是 A x = 0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0 的基础解系。
4. 线性方程组的通解与特解求法
求解步骤：
- 写出增广矩阵 ( A ∣ b ) (A|\mathbf{b}) (A∣b)
- 用初等行变换化为行最简形
- 确定秩，判断解的情况
- 求特解和基础解系
- 写出通解
例题
求方程组
{ x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 2 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 1 \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \end{cases} {x1+2x2+3x3=22x1+3x2+x3=1
的通解。
解：
增广矩阵：
( 1 2 3 2 2 3 1 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} (12233121)
行变换：
( 1 2 3 2 0 − 1 − 5 − 3 ) → ( 1 0 − 7 − 4 0 1 5 3 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & -5 & -3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -7 & -4 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} (102−13−52−3)→(1001−75−43)
得：
{ x 1 = 7 x 3 − 4 x 2 = − 5 x 3 + 3 \begin{cases} x_1 = 7x_3 - 4 \\ x_2 = -5x_3 + 3 \end{cases} {x1=7x3−4x2=−5x3+3
令 x 3 = t x_3 = t x3=t，则通解为：
x = ( − 4 3 0 ) + t ( 7 − 5 1 ) \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} x= −430 +t 7−51
历年考题分析
考题1（2019年）
求方程组
{ x 1 + x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 4 4 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 6 \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 = 4 \\ 4x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 6 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2+x3=12x1+3x2+x3=44x1+5x2+3x3=6
的解。
解：
增广矩阵：
( 1 1 1 1 2 3 1 4 4 5 3 6 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 4 & 5 & 3 & 6 \end{pmatrix} 124135113146
行变换得：
( 1 1 1 1 0 1 − 1 2 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 1001101−10120
r ( A ) = r ( A ∣ b ) = 2 < 3 r(A) = r(A|\mathbf{b}) = 2 < 3 r(A)=r(A∣b)=2<3，有无穷多解
通解：
x = ( − 1 2 0 ) + t ( − 2 1 1 ) \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} x= −120 +t −211
考题2（2020年）
设 A A A 是 4 × 3 4 \times 3 4×3 矩阵， r ( A ) = 2 r(A) = 2 r(A)=2，已知
η 1 = ( 1 0 1 ) , η 2 = ( 2 1 0 ) \mathbf{\eta}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{\eta}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} η1= 101 ,η2= 210
是 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b 的两个解，求通解。
解：
由于 r ( A ) = 2 r(A) = 2 r(A)=2， n − r ( A ) = 1 n - r(A) = 1 n−r(A)=1，基础解系含1个向量
η 1 − η 2 = ( − 1 − 1 1 ) \mathbf{\eta}_1 - \mathbf{\eta}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} η1−η2= −1−11
是对应齐次方程组的解
通解：
x = η 1 + k ( η 1 − η 2 ) = ( 1 0 1 ) + k ( − 1 − 1 1 ) \mathbf{x} = \mathbf{\eta}_1 + k(\mathbf{\eta}_1 - \mathbf{\eta}_2) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} x=η1+k(η1−η2)= 101 +k −1−11
重要结论总结
- 解的存在性： r ( A ) = r ( A ∣ b ) r(A) = r(A|\mathbf{b}) r(A)=r(A∣b) 时有解
- 解的唯一性： r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n 时唯一解
- 齐次方程组：总有零解；有非零解 ⇔ r ( A ) < n r(A) < n r(A)<n
- 解空间维数： n − r ( A ) n - r(A) n−r(A)
- 非齐次通解 = 特解 + 齐次通解
掌握这些概念和方法，就能有效解决线性方程组的各类问题。