线性代数第三章 向量

一、向量组及其线性相关性

1. n维向量

定义：n个有序实数组成的数组称为n维向量：

α=(a1,a2,...,an) \alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n) α=(a1,a2,...,an)

其中aia_iai称为向量的第iii个分量。

例题 ：α=(1,2,3)\alpha = (1, 2, 3)α=(1,2,3)是一个3维向量。

2. 线性组合

定义 ：设α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_mα1,α2,...,αm是一组n维向量，k1,k2,...,kmk_1, k_2, \ldots, k_mk1,k2,...,km是一组实数，则

k1α1+k2α2+⋯+kmαm k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m k1α1+k2α2+⋯+kmαm

称为向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_mα1,α2,...,αm的一个线性组合。

3. 向量由向量组的线性表示

定义 ：如果向量β\betaβ可以表示为

β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm \beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm

则称β\betaβ可由向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_mα1,α2,...,αm线性表示。

4. 向量由向量组线性表示的充要条件

定理 ：向量β\betaβ可由向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_mα1,α2,...,αm线性表示的充要条件是：

秩(α1,α2,...,αm)=秩(α1,α2,...,αm,β) \text{秩}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m) = \text{秩}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m, \beta) 秩(α1,α2,...,αm)=秩(α1,α2,...,αm,β)

例题 ：判断β=(3,5,7)\beta = (3, 5, 7)β=(3,5,7)能否由α1=(1,2,3)\alpha_1 = (1, 2, 3)α1=(1,2,3)，α2=(2,3,4)\alpha_2 = (2, 3, 4)α2=(2,3,4)线性表示。

解：构造矩阵并求秩：

A=(122334),B=(123235347) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \end{pmatrix} A= 123234 ,B= 123234357

秩(A)=2,秩(B)=2 \text{秩}(A) = 2, \quad \text{秩}(B) = 2 秩(A)=2,秩(B)=2

由于秩相等，β\betaβ可由α1,α2\alpha_1, \alpha_2α1,α2线性表示。

5. 向量组线性相关性的概念及其判断方法

定义 ：如果存在不全为零的数k1,k2,...,kmk_1, k_2, \ldots, k_mk1,k2,...,km，使得

k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0

则称向量组线性相关，否则称线性无关。

判断方法：

1. 向量个数 > 维数，则一定线性相关
2. 向量组构成的矩阵秩 < 向量个数，则线性相关
3. 行列式法（适用于向量个数 = 维数）

例题 ：判断α1=(1,2,3)\alpha_1 = (1, 2, 3)α1=(1,2,3)，α2=(2,4,6)\alpha_2 = (2, 4, 6)α2=(2,4,6)，α3=(1,1,1)\alpha_3 = (1, 1, 1)α3=(1,1,1)的线性相关性。

解：构造矩阵求秩：

A=(121241361)→(12100−100−2)→(121001000) A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} A= 123246111 → 1002001−1−2 → 100200110

秩为2 < 3，所以线性相关。

6. 向量组由向量组的线性表示

定义 ：如果向量组BBB中每个向量都能由向量组AAA线性表示，则称向量组BBB可由向量组AAA线性表示。

7. 一个向量组被另一个向量组线性表示的充要条件

充要条件 ：向量组BBB可由向量组AAA线性表示当且仅当

秩(A)=秩(A,B) \text{秩}(A) = \text{秩}(A, B) 秩(A)=秩(A,B)

充分条件 ：如果向量组AAA线性无关，且BBB中每个向量都可由AAA线性表示，则BBB可由AAA线性表示。

必要条件 ：如果BBB可由AAA线性表示，则秩(B)≤秩(A)\text{秩}(B) \leq \text{秩}(A)秩(B)≤秩(A)。

8. 两个向量组的等价

定义 ：如果向量组AAA与BBB可以互相线性表示，则称AAA与BBB等价。

9. 向量组等价的充要条件

充要条件 ：向量组AAA与BBB等价当且仅当

秩(A)=秩(B)=秩(A,B) \text{秩}(A) = \text{秩}(B) = \text{秩}(A, B) 秩(A)=秩(B)=秩(A,B)

历年考题 ：设α1=(1,1,1)\alpha_1 = (1, 1, 1)α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)\alpha_2 = (1, 2, 3)α2=(1,2,3)，α3=(1,3,6)\alpha_3 = (1, 3, 6)α3=(1,3,6)，β1=(1,2,4)\beta_1 = (1, 2, 4)β1=(1,2,4)，β2=(2,3,5)\beta_2 = (2, 3, 5)β2=(2,3,5)，判断这两组向量是否等价。

二、向量组的极大线性无关组与秩

1. 向量组的秩的概念

定义：向量组的秩是指该向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

2. 向量组的秩的计算

方法：将向量组按列排成矩阵，通过初等行变换化为行阶梯形，非零行数即为秩。

3. 向量组的极大线性无关组

定义 ：向量组AAA的一个部分组如果满足：

1. 线性无关
2. AAA中任一向量都可由该部分组线性表示

则称该部分组为AAA的一个极大线性无关组。

4. 极大线性无关组的等价定义

等价定义 ：向量组AAA的一个部分组是极大线性无关组当且仅当：

1. 该部分组线性无关
2. 再添加AAA中任意其他向量后都线性相关

5. 矩阵的列秩、行秩与向量组的秩的关系

重要定理 ：对任意矩阵AAA，有

行秩(A)=列秩(A)=秩(A) \text{行秩}(A) = \text{列秩}(A) = \text{秩}(A) 行秩(A)=列秩(A)=秩(A)

例题 ：求向量组α1=(1,2,3,4)\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)α1=(1,2,3,4)，α2=(2,4,6,8)\alpha_2 = (2, 4, 6, 8)α2=(2,4,6,8)，α3=(1,1,1,1)\alpha_3 = (1, 1, 1, 1)α3=(1,1,1,1)，α4=(1,3,5,7)\alpha_4 = (1, 3, 5, 7)α4=(1,3,5,7)的秩和一个极大线性无关组。

三、向量空间

1. n维向量空间的定义及判定

定义 ：所有n维实向量构成的集合，关于向量的加法和数乘运算，构成n维向量空间Rn\mathbb{R}^nRn。

判定 ：非空集合VVV是向量空间当且仅当对加法和数乘封闭。

2. 子空间

定义 ：向量空间VVV的非空子集WWW，如果对加法和数乘封闭，则称WWW是VVV的子空间。

3. 基

定义 ：向量空间VVV中线性无关的生成集称为VVV的基。

4. 维数

定义 ：向量空间VVV的基所含向量的个数称为VVV的维数，记作dim⁡V\dim VdimV。

5. 自然基

定义 ：Rn\mathbb{R}^nRn中，向量组

e1=(1,0,...,0),e2=(0,1,...,0),...,en=(0,0,...,1) e_1 = (1, 0, \ldots, 0), e_2 = (0, 1, \ldots, 0), \ldots, e_n = (0, 0, \ldots, 1) e1=(1,0,...,0),e2=(0,1,...,0),...,en=(0,0,...,1)

称为自然基。

6. 坐标

定义 ：设α1,α2,...,αn\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_nα1,α2,...,αn是VVV的一个基，β∈V\beta \in Vβ∈V，如果

β=x1α1+x2α2+⋯+xnαn \beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n β=x1α1+x2α2+⋯+xnαn

则称(x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, \ldots, x_n)(x1,x2,...,xn)为β\betaβ在基α1,α2,...,αn\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_nα1,α2,...,αn下的坐标。

7. 过渡矩阵

定义 ：设α1,α2,...,αn\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_nα1,α2,...,αn和β1,β2,...,βn\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_nβ1,β2,...,βn是VVV的两个基，且

{β1=a11α1+a21α2+⋯+an1αnβ2=a12α1+a22α2+⋯+an2αn⋮βn=a1nα1+a2nα2+⋯+annαn \begin{cases} \beta_1 = a_{11}\alpha_1 + a_{21}\alpha_2 + \cdots + a_{n1}\alpha_n \\ \beta_2 = a_{12}\alpha_1 + a_{22}\alpha_2 + \cdots + a_{n2}\alpha_n \\ \vdots \\ \beta_n = a_{1n}\alpha_1 + a_{2n}\alpha_2 + \cdots + a_{nn}\alpha_n \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧β1=a11α1+a21α2+⋯+an1αnβ2=a12α1+a22α2+⋯+an2αn⋮βn=a1nα1+a2nα2+⋯+annαn

则矩阵A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij)称为从基α1,α2,...,αn\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_nα1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_nβ1,β2,...,βn的过渡矩阵。

8. 基变换公式

(β1β2⋯βn)=(α1α2⋯αn)A \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix}A (β1β2⋯βn)=(α1α2⋯αn)A

9. 坐标变换公式

设向量γ\gammaγ在基α\alphaα和基β\betaβ下的坐标分别为XXX和YYY，则

X=AY或Y=A−1X X = AY \quad \text{或} \quad Y = A^{-1}X X=AY或Y=A−1X

历年考题 ：在R3\mathbb{R}^3R3中，已知基α1=(1,0,0)\alpha_1 = (1, 0, 0)α1=(1,0,0)，α2=(1,1,0)\alpha_2 = (1, 1, 0)α2=(1,1,0)，α3=(1,1,1)\alpha_3 = (1, 1, 1)α3=(1,1,1)和基β1=(1,2,3)\beta_1 = (1, 2, 3)β1=(1,2,3)，β2=(2,3,4)\beta_2 = (2, 3, 4)β2=(2,3,4)，β3=(3,4,5)\beta_3 = (3, 4, 5)β3=(3,4,5)，求过渡矩阵和坐标变换公式。

四、n维欧几里得空间

1. n维欧几里得空间

定义：定义了内积的n维实向量空间称为n维欧几里得空间。

2. 实向量的内积

定义 ：对Rn\mathbb{R}^nRn中向量α=(a1,a2,...,an)\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)α=(a1,a2,...,an)，β=(b1,b2,...,bn)\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)β=(b1,b2,...,bn)，定义内积为

(α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn (\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n (α,β)=a1b1+a2b2+⋯+anbn

3. 内积的性质

1. 对称性：(α,β)=(β,α)(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)(α,β)=(β,α)
2. 线性性：(kα+lβ,γ)=k(α,γ)+l(β,γ)(k\alpha + l\beta, \gamma) = k(\alpha, \gamma) + l(\beta, \gamma)(kα+lβ,γ)=k(α,γ)+l(β,γ)
3. 正定性：(α,α)≥0(\alpha, \alpha) \geq 0(α,α)≥0，等号成立当且仅当α=0\alpha = 0α=0

4. 长度（范数）

定义 ：向量α\alphaα的长度（范数）定义为

∥α∥=(α,α)=a12+a22+⋯+an2 \|\alpha\| = \sqrt{(\alpha, \alpha)} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} ∥α∥=(α,α) =a12+a22+⋯+an2

5. 长度的性质

1. 正定性：∥α∥≥0\|\alpha\| \geq 0∥α∥≥0，等号成立当且仅当α=0\alpha = 0α=0
2. 齐次性：∥kα∥=∣k∣∥α∥\|k\alpha\| = |k|\|\alpha\|∥kα∥=∣k∣∥α∥
3. 三角不等式：∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥\|\alpha + \beta\| \leq \|\alpha\| + \|\beta\|∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥

6. 向量的夹角

定义 ：非零向量α\alphaα，β\betaβ的夹角θ\thetaθ定义为

cos⁡θ=(α,β)∥α∥∥β∥,0≤θ≤π \cos\theta = \frac{(\alpha, \beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}, \quad 0 \leq \theta \leq \pi cosθ=∥α∥∥β∥(α,β),0≤θ≤π

7. 正交向量组

定义 ：如果(α,β)=0(\alpha, \beta) = 0(α,β)=0，则称α\alphaα与β\betaβ正交。两两正交的非零向量组称为正交向量组。

8. 标准正交向量组

定义：由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组。

9. 正交向量组的性质

定理：正交向量组必线性无关。

10. 正交基

定义：由正交向量组构成的基称为正交基。

11. 规范（标准）正交基

定义：由标准正交向量组构成的基称为规范正交基。

12. 施密特正交化方法

将线性无关向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_mα1,α2,...,αm正交化的步骤：

1. β1=α1\beta_1 = \alpha_1β1=α1
2. β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1
3. β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2
4. ⋮\vdots⋮
5. βm=αm−∑i=1m−1(αm,βi)(βi,βi)βi\beta_m = \alpha_m - \sum_{i=1}^{m-1}\frac{(\alpha_m, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)}\beta_iβm=αm−∑i=1m−1(βi,βi)(αm,βi)βi

然后单位化：γi=βi∥βi∥\gamma_i = \frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}γi=∥βi∥βi

例题 ：将α1=(1,1,0)\alpha_1 = (1, 1, 0)α1=(1,1,0)，α2=(1,0,1)\alpha_2 = (1, 0, 1)α2=(1,0,1)，α3=(0,1,1)\alpha_3 = (0, 1, 1)α3=(0,1,1)正交化。

13. 正交矩阵

定义 ：如果实方阵AAA满足ATA=AAT=EA^TA = AA^T = EATA=AAT=E，则称AAA为正交矩阵。

性质：

1. A−1=ATA^{-1} = A^TA−1=AT
2. AAA的行（列）向量组是规范正交基
3. ∣A∣=±1|A| = \pm 1∣A∣=±1

14. 正交变换

定义 ：设AAA是正交矩阵，则线性变换Y=AXY = AXY=AX称为正交变换。

15. 正交变换的性质

1. 保持内积不变：(AX,AY)=(X,Y)(AX, AY) = (X, Y)(AX,AY)=(X,Y)
2. 保持长度不变：∥AX∥=∥X∥\|AX\| = \|X\|∥AX∥=∥X∥
3. 保持夹角不变

历年考题 ：验证矩阵A=(1212−1212)A = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}A=(2 1−2 12 12 1)是否为正交矩阵，并说明它对应的正交变换的几何意义。

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综合练习题

1. 判断向量组α1=(1,2,−1)\alpha_1 = (1, 2, -1)α1=(1,2,−1)，α2=(3,1,0)\alpha_2 = (3, 1, 0)α2=(3,1,0)，α3=(−1,5,−2)\alpha_3 = (-1, 5, -2)α3=(−1,5,−2)的线性相关性。

2. 求向量组α1=(1,1,1,1)\alpha_1 = (1, 1, 1, 1)α1=(1,1,1,1)，α2=(1,2,3,4)\alpha_2 = (1, 2, 3, 4)α2=(1,2,3,4)，α3=(1,4,9,16)\alpha_3 = (1, 4, 9, 16)α3=(1,4,9,16)的秩和极大线性无关组。

3. 用施密特正交化方法将向量组α1=(1,1,1)\alpha_1 = (1, 1, 1)α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)\alpha_2 = (1, 2, 3)α2=(1,2,3)，α3=(1,4,9)\alpha_3 = (1, 4, 9)α3=(1,4,9)化为规范正交基。

4. 证明：正交变换保持向量的夹角不变。

5. 设AAA是正交矩阵，证明AAA的特征值的模等于1。

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