特征值与特征向量、相似矩阵及对角化
一、特征值与特征向量
1.1 特征值和特征向量的定义
设 AAA 是 nnn 阶矩阵，如果存在数 λ\lambdaλ 和 nnn 维非零向量 α\alphaα，使得：
Aα=λα A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα
则称 λ\lambdaλ 是矩阵 AAA 的特征值，α\alphaα 是 AAA 的对应于特征值 λ\lambdaλ 的特征向量。
例题 ： 验证 α=(11)\alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}α=(11) 是否是矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}A=(2112) 的特征向量。
解：
Aα=(2112)(11)=(33)=3(11) A\alpha = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} Aα=(2112)(11)=(33)=3(11)
所以 α\alphaα 是 AAA 的特征向量，对应的特征值为 3。
1.2 特征值和特征向量的性质
- nnn 阶矩阵 AAA 在复数范围内有 nnn 个特征值（重根按重数计算）
- 特征值之和等于矩阵的迹：∑i=1nλi=tr(A)\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A)i=1∑nλi=tr(A)
- 特征值之积等于矩阵的行列式：∏i=1nλi=∣A∣\prod\limits_{i=1}^n \lambda_i = |A|i=1∏nλi=∣A∣
- 不同特征值对应的特征向量线性无关
- AAA 可逆当且仅当所有特征值都不为零
1.3 特征值和特征向量的计算
计算步骤：
- 计算特征多项式：f(λ)=∣λE−A∣f(\lambda) = |\lambda E - A|f(λ)=∣λE−A∣
- 求特征方程 ∣λE−A∣=0|\lambda E - A| = 0∣λE−A∣=0 的根，得到特征值
- 对每个特征值 λi\lambda_iλi，解齐次线性方程组 (λiE−A)X=0(\lambda_i E - A)X = 0(λiE−A)X=0，得到特征向量
例题 ： 求矩阵 A=(3113)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}A=(3113) 的特征值和特征向量。
解：
- 特征多项式：
∣λE−A∣=∣λ−3−1−1λ−3∣=(λ−3)2−1=λ2−6λ+8 |\lambda E - A| = \left| \begin{array}{cc} \lambda-3 & -1 \\ -1 & \lambda-3 \end{array} \right| = (\lambda-3)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 ∣λE−A∣= λ−3−1−1λ−3 =(λ−3)2−1=λ2−6λ+8
-
特征方程：λ2−6λ+8=0\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0λ2−6λ+8=0，解得 λ1=2\lambda_1 = 2λ1=2，λ2=4\lambda_2 = 4λ2=4
-
对 λ1=2\lambda_1 = 2λ1=2：
(2E−A)X=(−1−1−1−1)(x1x2)=0 (2E - A)X = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 (2E−A)X=(−1−1−1−1)(x1x2)=0
解得特征向量：α1=k(1−1)\alpha_1 = k\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}α1=k(1−1) (k≠0k \neq 0k=0)
- 对 λ2=4\lambda_2 = 4λ2=4：
(4E−A)X=(1−1−11)(x1x2)=0 (4E - A)X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 (4E−A)X=(1−1−11)(x1x2)=0
解得特征向量：α2=k(11)\alpha_2 = k\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}α2=k(11) (k≠0k \neq 0k=0)
二、相似矩阵
2.1 相似矩阵的概念
设 AAA，BBB 为 nnn 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 PPP，使得：
P−1AP=B P^{-1}AP = B P−1AP=B
则称 AAA 与 BBB 相似，记作 A∼BA \sim BA∼B。
2.2 相似矩阵的性质
- 反身性：A∼AA \sim AA∼A
- 对称性：若 A∼BA \sim BA∼B，则 B∼AB \sim AB∼A
- 传递性：若 A∼BA \sim BA∼B，B∼CB \sim CB∼C，则 A∼CA \sim CA∼C
- 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值
- 相似矩阵的行列式相等，迹相等，秩相等
2.3 相似矩阵的特征值
如果 A∼BA \sim BA∼B，则：
- AAA 和 BBB 有相同的特征值
- 若 Aα=λαA\alpha = \lambda\alphaAα=λα，则 B(P−1α)=λ(P−1α)B(P^{-1}\alpha) = \lambda(P^{-1}\alpha)B(P−1α)=λ(P−1α)
2.4 相似变换
相似变换 P−1APP^{-1}APP−1AP 不改变矩阵的特征值，但会改变特征向量。
三、矩阵的相似对角化
3.1 矩阵的对角化
如果 nnn 阶矩阵 AAA 与对角矩阵 Λ\LambdaΛ 相似，即存在可逆矩阵 PPP，使得：
P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn) P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)
则称 AAA 可对角化。
3.2 n 阶矩阵可对角化的充要条件和充分条件
充要条件 ： AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量
充分条件：
- AAA 有 nnn 个互不相同的特征值
- AAA 是实对称矩阵
3.3 n 阶矩阵相似对角化的方法
步骤：
- 求出 AAA 的所有特征值 λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_nλ1,λ2,...,λn
- 对每个特征值 λi\lambda_iλi，求出对应的线性无关的特征向量 αi1,αi2,...\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \ldotsαi1,αi2,...
- 如果 AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量，令 P=(α1,α2,...,αn)P = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)P=(α1,α2,...,αn)
- 则 P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)
例题 ： 将矩阵 A=(3113)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}A=(3113) 对角化。
解：
由前面计算得特征值 λ1=2\lambda_1 = 2λ1=2，λ2=4\lambda_2 = 4λ2=4，对应特征向量：
α1=(1−1),α2=(11) \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} α1=(1−1),α2=(11)
令 P=(11−11)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}P=(1−111)，则：
P−1=12(1−111) P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} P−1=21(11−11)
验证：
P−1AP=12(1−111)(3113)(11−11)=(2004) P^{-1}AP = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P−1AP=21(11−11)(3113)(1−111)=(2004)
3.4 实对称矩阵的特征值及特征向量的性质
- 实对称矩阵的特征值都是实数
- 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交
- 实对称矩阵必可对角化
3.5 实对称矩阵的正交相似对角化
对实对称矩阵 AAA，存在正交矩阵 QQQ，使得：
Q−1AQ=QTAQ=Λ Q^{-1}AQ = Q^TAQ = \Lambda Q−1AQ=QTAQ=Λ
正交对角化步骤：
- 求出 AAA 的所有特征值
- 对每个特征值，求出特征向量
- 将特征向量正交化、单位化（施密特正交化）
- 将单位正交特征向量组成正交矩阵 QQQ
例题 ： 将实对称矩阵 A=(122212221)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}A= 122212221 正交对角化。
解：
- 特征多项式：
∣λE−A∣=∣λ−1−2−2−2λ−1−2−2−2λ−1∣=(λ+1)2(λ−5) |\lambda E - A| = \left| \begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-1 & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{array} \right| = (\lambda+1)^2(\lambda-5) ∣λE−A∣= λ−1−2−2−2λ−1−2−2−2λ−1 =(λ+1)2(λ−5)
特征值：λ1=λ2=−1\lambda_1 = \lambda_2 = -1λ1=λ2=−1（二重），λ3=5\lambda_3 = 5λ3=5
- 对 λ1=−1\lambda_1 = -1λ1=−1：
(−E−A)X=(−2−2−2−2−2−2−2−2−2)X=0 (-E - A)X = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}X = 0 (−E−A)X= −2−2−2−2−2−2−2−2−2 X=0
基础解系：ξ1=(1−10)\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}ξ1= 1−10 ，ξ2=(10−1)\xi_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}ξ2= 10−1
正交化：
η1=ξ1=(1−10) \eta_1 = \xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} η1=ξ1= 1−10
η2=ξ2−(ξ2,η1)(η1,η1)η1=(10−1)−12(1−10)=(1212−1) \eta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2, \eta_1)}{(\eta_1, \eta_1)}\eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{pmatrix} η2=ξ2−(η1,η1)(ξ2,η1)η1= 10−1 −21 1−10 = 2121−1
单位化：
p1=12(1−10),p2=132(1212−1)=(1616−26) p_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad p_2 = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} p1=2 1 1−10 ,p2=23 1 2121−1 = 6 16 1−6 2
- 对 λ3=5\lambda_3 = 5λ3=5：
(5E−A)X=(4−2−2−24−2−2−24)X=0 (5E - A)X = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & -2 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}X = 0 (5E−A)X= 4−2−2−24−2−2−24 X=0
解得：p3=13(111)p_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}p3=3 1 111
- 正交矩阵：
Q=(p1,p2,p3)=(121613−1216130−2613) Q = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} Q=(p1,p2,p3)= 2 1−2 106 16 1−6 23 13 13 1
则
QTAQ=(−1000−10005) Q^TAQ = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} QTAQ= −1000−10005
历年考题举例
考题1（2018年） ： 设 AAA 为3阶实对称矩阵，已知 AAA 的特征值为 1, 2, 3，且对应于特征值 1, 2 的特征向量分别为 (110)\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 110 和 (1−11)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} 1−11 ，求 AAA 的对应于特征值 3 的特征向量。
解 ： 由于实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，设对应于特征值3的特征向量为 (x1x2x3)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} x1x2x3 ，则：
{x1+x2=0x1−x2+x3=0 \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{cases} {x1+x2=0x1−x2+x3=0
解得：x1=1,x2=−1,x3=−2x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = -2x1=1,x2=−1,x3=−2，所以特征向量为 k(1−1−2)k\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}k 1−1−2 (k≠0k \neq 0k=0)
考题2（2020年） ： 判断矩阵 A=(120210001)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}A= 120210001 是否可对角化，并说明理由。
解： 特征多项式：
∣λE−A∣=∣λ−1−20−2λ−1000λ−1∣=(λ−1)[(λ−1)2−4]=(λ−1)(λ−3)(λ+1) |\lambda E - A| = \left| \begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & 0 \\ -2 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{array} \right| = (\lambda-1)[(\lambda-1)^2-4] = (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda+1) ∣λE−A∣= λ−1−20−2λ−1000λ−1 =(λ−1)[(λ−1)2−4]=(λ−1)(λ−3)(λ+1)
特征值为 1, 3, -1，三个不同特征值，所以 AAA 可对角化。