线性代数第六章 二次型

二次型及其矩阵表示、可逆线性变换与正定性

一、二次型及其矩阵表示

1. 二次型

二次型是 nnn 个变量的二次齐次多项式，一般形式为：
f(x1,x2,...,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj(aij=aji) f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j \quad (a_{ij}=a_{ji}) f(x1,x2,...,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj(aij=aji)

其中 aija_{ij}aij 是实数，且 aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij=aji（对称性）。例如，二元二次型为 f(x,y)=ax2+2bxy+cy2f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2f(x,y)=ax2+2bxy+cy2。

2. 二次型的矩阵表示

任何二次型都可以写成矩阵形式：
f(x)=xTAx f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x} f(x)=xTAx

其中 x=[x1,x2,...,xn]T\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^Tx=[x1,x2,...,xn]T，AAA 是实对称矩阵（AT=AA^T=AAT=A），称为二次型的矩阵。

例如，f(x,y)=ax2+2bxy+cy2f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2f(x,y)=ax2+2bxy+cy2 的矩阵表示为：
xTAx=[x,y][abbc][xy] \mathbf{x}^T A \mathbf{x}=[x,y] \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} xTAx=[x,y][abbc][xy]

3. 二次型的秩

二次型的秩定义为其矩阵 AAA 的秩，即 rank(f)=rank(A)\text{rank}(f)=\text{rank}(A)rank(f)=rank(A)。如果 rank(A)=n\text{rank}(A)=nrank(A)=n，则二次型是满秩的；否则是退化的。

4. 标准形

通过可逆线性变换，二次型可以化为标准形：
f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 f=\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2

其中 λi\lambda_iλi 是实数，yiy_iyi 是新变量。标准形的矩阵是对角矩阵 diag(λ1,λ2,...,λn)\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)diag(λ1,λ2,...,λn)。

5. 规范形

规范形是标准形的特殊形式，其中系数仅为 111、−1-1−1 或 000。对于实二次型，规范形为：
f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yp+q2 f=y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2 f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yp+q2

其中 ppp 和 qqq 分别为正惯性指数和负惯性指数。

例题1 ： 将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3+6x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3+6x2x3 表示为矩阵形式，并求其秩。

解 ： 矩阵 AAA 由系数确定：
a11=1a_{11}=1a11=1，a22=2a_{22}=2a22=2，a33=3a_{33}=3a33=3，a12=a21=1a_{12}=a_{21}=1a12=a21=1，a13=a31=2a_{13}=a_{31}=2a13=a31=2，a23=a32=3a_{23}=a_{32}=3a23=a32=3。

所以：
A=[112123233] A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix} A= 112123233

秩为 rank(A)=3\text{rank}(A)=3rank(A)=3（因为行列式非零）。

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二、可逆线性变换

1. 实线性变换

设 x=[x1,...,xn]T\mathbf{x}=[x_1,\ldots,x_n]^Tx=[x1,...,xn]T，y=[y1,...,yn]T\mathbf{y}=[y_1,\ldots,y_n]^Ty=[y1,...,yn]T，线性变换为 x=Py\mathbf{x}=P\mathbf{y}x=Py，其中 PPP 是 n×nn\times nn×n 可逆矩阵。如果 PPP 是实矩阵，则称为实线性变换。

2. 可逆线性变换

如果 PPP 可逆（即 det⁡(P)≠0\det(P)\neq 0det(P)=0），则变换是可逆的（满秩或非退化）。此时，二次型 f(x)=xTAxf(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}f(x)=xTAx 经变换后变为 f(y)=yT(PTAP)yf(\mathbf{y})=\mathbf{y}^T (P^T A P)\mathbf{y}f(y)=yT(PTAP)y。

3. 合同矩阵

两个矩阵 AAA 和 BBB 称为合同，如果存在可逆矩阵 PPP 使得 B=PTAPB=P^T A PB=PTAP。合同关系是等价关系，保持对称性和秩。

4. 合同初等变换

通过初等行变换和相应的列变换，可以将对称矩阵化为对角形。例如，对矩阵 AAA 进行行变换后，对列进行相同变换，保持合同性。

例题2 ： 设 A=[1223]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}A=[1223]，求可逆矩阵 PPP 使得 PTAPP^T A PPTAP 为对角矩阵。

解 ： 使用配方法或合同变换。令 P=[10−21]P=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}P=[1−201]，则：
PTAP=[1−201][1223][10−21]=[100−1] P^T A P=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} PTAP=[10−21][1223][1−201]=[100−1]

所以对角形为 y12−y22y_1^2 - y_2^2y12−y22。

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三、二次型的标准形

1. 正交变换及性质

正交变换是线性变换 x=Qy\mathbf{x}=Q\mathbf{y}x=Qy，其中 QQQ 是正交矩阵（QTQ=IQ^T Q=IQTQ=I）。正交变换保持内积和长度不变，且 Q−1=QTQ^{-1}=Q^TQ−1=QT。

2. 用正交变换化二次型为标准形

对于实对称矩阵 AAA，存在正交矩阵 QQQ 使得 QTAQ=ΛQ^T A Q=\LambdaQTAQ=Λ，其中 Λ\LambdaΛ 是特征值组成的对角矩阵。

步骤：

1. 求 AAA 的特征值和特征向量
2. 将特征向量正交化、单位化
3. 构造 QQQ，则标准形为 λ1y12+⋯+λnyn2\lambda_1 y_1^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2λ1y12+⋯+λnyn2

3. 用配方法化二次型为标准形

通过配方消除交叉项。例如，对于 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3，先对 x1x_1x1 配方：
f=(x1+x2+2x3)2+x22−x32+⋯ f=(x_1+x_2+2x_3)^2 + x_2^2 - x_3^2 + \cdots f=(x1+x2+2x3)2+x22−x32+⋯

然后继续配方。

4. 实二次型的规范形

任何实二次型可通过可逆线性变换化为规范形：
f=z12+⋯+zp2−zp+12−⋯−zp+q2 f=z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2 f=z12+⋯+zp2−zp+12−⋯−zp+q2

其中 ppp 和 qqq 是正负惯性指数，r=p+qr=p+qr=p+q 是秩。

5. 惯性定理

惯性定理：实二次型的规范形中正负平方项的个数 ppp 和 qqq 是唯一确定的，与变换无关。

例题3（历年考题） ： 用正交变换将二次型 f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32−2x1x2−2x1x3−2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32−2x1x2−2x1x3−2x2x3 化为标准形。

解 ：

矩阵 A=[2−1−1−12−1−1−12]A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}A= 2−1−1−12−1−1−12 。

特征方程 det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0det(A−λI)=0：
∣2−λ−1−1−12−λ−1−1−12−λ∣=0 \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & -1 \\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ -1 & -1 & 2-\lambda \end{vmatrix}=0 2−λ−1−1−12−λ−1−1−12−λ =0

解得 λ1=0\lambda_1=0λ1=0（单根），λ2=3\lambda_2=3λ2=3（二重根）。

单位正交特征向量：

• 对于 λ1=0\lambda_1=0λ1=0，v1=13(1,1,1)Tv_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^Tv1=3 1(1,1,1)T
• 对于 λ2=3\lambda_2=3λ2=3，v2=12(1,−1,0)Tv_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^Tv2=2 1(1,−1,0)T，v3=16(1,1,−2)Tv_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^Tv3=6 1(1,1,−2)T

正交矩阵 Q=[v1,v2,v3]Q=[v_1,v_2,v_3]Q=[v1,v2,v3]，则 QTAQ=diag(0,3,3)Q^T A Q=\text{diag}(0,3,3)QTAQ=diag(0,3,3)，标准形为 3y22+3y323y_2^2+3y_3^23y22+3y32。

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四、正定二次型

1. 正定二次型

二次型 f(x)=xTAxf(\mathbf{x})=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}f(x)=xTAx 称为正定的，如果对所有非零 x\mathbf{x}x，有 f(x)>0f(\mathbf{x})>0f(x)>0。类似地，可定义负定、半正定等。

2. 实二次型正定的充要条件

以下等价：

• fff 正定
• AAA 的所有特征值大于零
• AAA 的各阶顺序主子式均大于零
• 存在可逆矩阵 CCC 使得 A=CTCA=C^T CA=CTC

3. 正定矩阵

实对称矩阵 AAA 称为正定矩阵，如果对应的二次型正定。

4. 实对称矩阵正定的充要条件

同上，特征值全正或顺序主子式全正。

例题4 ： 判断二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3+6x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3+6x2x3 是否正定。

解 ：

矩阵 A=[112123233]A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 \end{bmatrix}A= 112123233 。

顺序主子式：

• 一阶：1>01>01>0
• 二阶：∣1112∣=1>0\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1>0 1112 =1>0
• 三阶：det⁡(A)=−1<0\det(A)=-1<0det(A)=−1<0

所以不是正定。

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历年考题参考

例题 ： 已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\alpha x_1x_2+2\beta x_2x_3+2x_1x_3f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3 经正交变换化为 y12+2y22y_1^2+2y_2^2y12+2y22，求参数 α\alphaα 和 β\betaβ。

解 ： 标准形系数为 1,2,01,2,01,2,0，所以特征值为 1,2,01,2,01,2,0。矩阵 AAA 的行列式为 000，可解出 α\alphaα 和 β\betaβ。

五、二次型的几何意义与分类

5.1 二次型的几何意义

二次型在几何上表示二次曲面或二次曲线。例如：

1. 二元二次型 f(x,y)=ax2+2bxy+cy2f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2f(x,y)=ax2+2bxy+cy2 表示平面上的二次曲线
2. 三元二次型 f(x,y,z)=ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyzf(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyzf(x,y,z)=ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz 表示空间中的二次曲面

5.2 二次型的分类

实二次型按正负惯性指数 (p,q)(p,q)(p,q) 分类：

类型	条件	规范形
正定二次型	p=np=np=n, q=0q=0q=0	y12+⋯+yn2y_1^2+\cdots+y_n^2y12+⋯+yn2
负定二次型	p=0p=0p=0, q=nq=nq=n	−y12−⋯−yn2-y_1^2-\cdots-y_n^2−y12−⋯−yn2
半正定二次型	p<np< np<n, q=0q=0q=0	y12+⋯+yp2y_1^2+\cdots+y_p^2y12+⋯+yp2
半负定二次型	p=0p=0p=0, q<nq<nq<n	−y12−⋯−yq2-y_1^2-\cdots-y_q^2−y12−⋯−yq2
不定二次型	p>0p>0p>0, q>0q>0q>0	y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yp+q2y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yp+q2

5.3 二次型的符号差

符号差定义为 s=p−qs=p-qs=p−q，其中 ppp 为正惯性指数，qqq 为负惯性指数。

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六、二次型的正交变换与配方法详解

6.1 正交变换法详细步骤

设二次型 f(x1,...,xn)=xTAxf(x_1,\ldots,x_n)=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}f(x1,...,xn)=xTAx，其中 AAA 为实对称矩阵。

步骤：

1. 求矩阵 AAA 的所有特征值 λ1,...,λn\lambda_1,\ldots,\lambda_nλ1,...,λn
2. 对每个特征值 λi\lambda_iλi，求对应的特征向量 ξi\xi_iξi
3. 将特征向量正交化、单位化得到标准正交向量组 η1,...,ηn\eta_1,\ldots,\eta_nη1,...,ηn
4. 构造正交矩阵 Q=(η1,...,ηn)Q=(\eta_1,\ldots,\eta_n)Q=(η1,...,ηn)
5. 作正交变换 x=Qy\mathbf{x}=Q\mathbf{y}x=Qy，则二次型化为标准形：
   f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2 f=\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2

6.2 配方法详细步骤

情形一：二次型中含有平方项

以三元二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+4x1x3 为例：

1. 将含 x1x_1x1 的项集中并配方：
   f=x12+2x1x2+4x1x3+2x22+3x32=(x1+x2+2x3)2−(x2+2x3)2+2x22+3x32 \begin{aligned} f &= x_1^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2^2+3x_3^2 \\ &= (x_1+x_2+2x_3)^2 - (x_2+2x_3)^2 + 2x_2^2+3x_3^2 \end{aligned} f=x12+2x1x2+4x1x3+2x22+3x32=(x1+x2+2x3)2−(x2+2x3)2+2x22+3x32

2. 继续对剩余项配方：
   f=(x1+x2+2x3)2+x22−x32 f = (x_1+x_2+2x_3)^2 + x_2^2 - x_3^2 f=(x1+x2+2x3)2+x22−x32

3. 令
   {y1=x1+x2+2x3y2=x2y3=x3 \begin{cases} y_1 = x_1+x_2+2x_3 \\ y_2 = x_2 \\ y_3 = x_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧y1=x1+x2+2x3y2=x2y3=x3

   则 f=y12+y22−y32f=y_1^2+y_2^2-y_3^2f=y12+y22−y32

情形二：二次型中不含平方项

以 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3 为例：

1. 令
   {x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3 \begin{cases} x_1 = y_1+y_2 \\ x_2 = y_1-y_2 \\ x_3 = y_3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3

2. 代入得：
   f=2(y1+y2)(y1−y2)+2(y1+y2)y3+2(y1−y2)y3=2y12−2y22+4y1y3 \begin{aligned} f &= 2(y_1+y_2)(y_1-y_2)+2(y_1+y_2)y_3+2(y_1-y_2)y_3 \\ &= 2y_1^2-2y_2^2+4y_1y_3 \end{aligned} f=2(y1+y2)(y1−y2)+2(y1+y2)y3+2(y1−y2)y3=2y12−2y22+4y1y3

3. 对 y1y_1y1 配方：
   f=2(y1+y3)2−2y22−2y32 f = 2(y_1+y_3)^2 - 2y_2^2 - 2y_3^2 f=2(y1+y3)2−2y22−2y32

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七、合同变换与矩阵的合同对角化

7.1 合同变换的性质

1. 反身性：AAA 与 AAA 合同
2. 对称性：若 AAA 与 BBB 合同，则 BBB 与 AAA 合同
3. 传递性：若 AAA 与 BBB 合同，BBB 与 CCC 合同，则 AAA 与 CCC 合同
4. 合同变换保持矩阵的对称性
5. 合同变换保持矩阵的秩

7.2 合同对角化的方法

对实对称矩阵 AAA，通过合同变换将其化为对角矩阵。

初等合同变换法 ：

设 AAA 为 nnn 阶实对称矩阵，通过以下步骤可将其合同对角化：

1. 对 AAA 进行初等行变换，同时进行相同的初等列变换
2. 重复进行直到 AAA 化为对角矩阵
3. 记录所有行变换对应的初等矩阵的乘积 PPP，则有 PTAP=DP^TAP=DPTAP=D，其中 DDD 为对角矩阵

例题 ：用合同变换将矩阵 A=[1223]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}A=[1223] 对角化。

解：

1. 将第一行的 −2-2−2 倍加到第二行，同时将第一列的 −2-2−2 倍加到第二列：

   1223\]→\[100−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \\\\ 2 \& 3 \\end{bmatrix} \\rightarrow \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& -1 \\end{bmatrix} \[1223\]→\[100−1

   对应的变换矩阵 P=[1−201]P=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}P=[10−21]

2. 验证：PTAP=[10−21][1223][1−201]=[100−1]P^TAP=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}PTAP=[1−201][1223][10−21]=[100−1]

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八、正定二次型的判定与性质

8.1 正定二次型的判定方法

设 AAA 为 nnn 阶实对称矩阵，对应的二次型为 f(x)=xTAxf(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}f(x)=xTAx

1. 特征值判定法 ：AAA 的所有特征值 λi>0\lambda_i>0λi>0 (i=1,...,n)(i=1,\ldots,n)(i=1,...,n)
2. 顺序主子式判定法 ：AAA 的各阶顺序主子式都大于零
   • Δ1=a11>0\Delta_1=a_{11}>0Δ1=a11>0
   • Δ2=∣a11a12a21a22∣>0\Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}>0Δ2= a11a21a12a22 >0
   • ⋯\cdots⋯
   • Δn=∣A∣>0\Delta_n=|A|>0Δn=∣A∣>0
3. 合同判定法 ：存在可逆矩阵 CCC，使 A=CTCA=C^TCA=CTC
4. 正惯性指数判定法 ：fff 的正惯性指数 p=np=np=n

8.2 正定矩阵的性质

1. 若 AAA 正定，则 A−1A^{-1}A−1 也正定
2. 若 A,BA,BA,B 正定，则 A+BA+BA+B 正定
3. 若 AAA 正定，则 AAA 的主对角元 aii>0a_{ii}>0aii>0
4. 若 AAA 正定，则 ∣A∣>0|A|>0∣A∣>0
5. 实对称矩阵 AAA 正定当且仅当存在正交矩阵 QQQ，使 QTAQ=diag(λ1,...,λn)Q^TAQ=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)QTAQ=diag(λ1,...,λn)，其中 λi>0\lambda_i>0λi>0

8.3 半正定二次型

二次型 f(x)f(\mathbf{x})f(x) 称为半正定的，如果对任意 x\mathbf{x}x，有 f(x)≥0f(\mathbf{x})\geq 0f(x)≥0，且存在 x≠0\mathbf{x}\neq 0x=0 使 f(x)=0f(\mathbf{x})=0f(x)=0。

判定条件：

1. AAA 的所有特征值 λi≥0\lambda_i\geq 0λi≥0
2. AAA 的各阶主子式非负

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九、二次型在几何中的应用

9.1 二次曲线的化简与分类

一般二次曲线方程：
ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0 ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey+f=0 ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0

化简步骤：

1. 写出二次型矩阵 A=[abbc]A=\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}A=[abbc]
2. 求 AAA 的特征值和特征向量
3. 通过正交变换消除交叉项
4. 通过平移变换化为标准方程

9.2 二次曲面的化简与分类

一般二次曲面方程：
ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j=0 ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j=0 ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j=0

分类（根据特征值符号）：

1. 椭球面：三个特征值同号
2. 单叶双曲面：两个特征值同号，一个异号
3. 双叶双曲面：一个特征值同号，两个异号
4. 椭圆抛物面：一个特征值为零，两个同号
5. 双曲抛物面：一个特征值为零，两个异号

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十、历年典型考题解析

考题1（2019年）

题目 ：已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+5x32+2tx1x2−2x1x3+4x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3f(x1,x2,x3)=x12+x22+5x32+2tx1x2−2x1x3+4x2x3 的秩为2，求 ttt 的值。

解 ：

二次型矩阵为：
A=[1t−1t12−125] A=\begin{bmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} A= 1t−1t12−125

由秩为2得 ∣A∣=0|A|=0∣A∣=0：
∣1t−1t12−125∣=0 \begin{vmatrix} 1 & t & -1 \\ t & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{vmatrix}=0 1t−1t12−125 =0

计算行列式：
∣A∣=1⋅∣1225∣−t⋅∣t2−15∣+(−1)⋅∣t1−12∣=1⋅(5−4)−t⋅(5t+2)−1⋅(2t+1)=1−(5t2+2t)−(2t+1)=−5t2−4t \begin{aligned} |A| &= 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - t\cdot\begin{vmatrix} t & 2 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} + (-1)\cdot\begin{vmatrix} t & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 1\cdot(5-4) - t\cdot(5t+2) - 1\cdot(2t+1) \\ &= 1 - (5t^2+2t) - (2t+1) \\ &= -5t^2 - 4t \end{aligned} ∣A∣=1⋅ 1225 −t⋅ t−125 +(−1)⋅ t−112 =1⋅(5−4)−t⋅(5t+2)−1⋅(2t+1)=1−(5t2+2t)−(2t+1)=−5t2−4t

令 −5t2−4t=0-5t^2-4t=0−5t2−4t=0，解得 t=0t=0t=0 或 t=−45t=-\frac{4}{5}t=−54

验证：

• 当 t=0t=0t=0 时，A=[10−1012−125]A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}A= 10−1012−125 ，秩为2
• 当 t=−45t=-\frac{4}{5}t=−54 时，秩也为2

所以 t=0t=0t=0 或 t=−45t=-\frac{4}{5}t=−54

考题2（2021年）

题目 ：设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2+2x1x3+4x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2\lambda x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2+2x1x3+4x2x3 经过正交变换化为标准形 y12+ay22+by32y_1^2+ay_2^2+by_3^2y12+ay22+by32，求 λ,a,b\lambda,a,bλ,a,b 的值。

解 ：

二次型矩阵为：
A=[1λ1λ42124] A=\begin{bmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ \lambda & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} A= 1λ1λ42124

由正交变换的性质，AAA 的特征值为 1,a,b1,a,b1,a,b。

特征多项式：
∣λE−A∣=∣λ−1−λ−1−λλ−4−2−1−2λ−4∣=(λ−1)[(λ−4)2−4]+λ[−λ(λ−4)−2]−1[2λ+(λ−4)]=⋯(展开计算) \begin{aligned} |\lambda E-A| &= \begin{vmatrix} \lambda-1 & -\lambda & -1 \\ -\lambda & \lambda-4 & -2 \\ -1 & -2 & \lambda-4 \end{vmatrix} \\ &= (\lambda-1)[(\lambda-4)^2-4] + \lambda[-\lambda(\lambda-4)-2] - 1[2\lambda+(\lambda-4)] \\ &= \cdots \text{(展开计算)} \end{aligned} ∣λE−A∣= λ−1−λ−1−λλ−4−2−1−2λ−4 =(λ−1)[(λ−4)2−4]+λ[−λ(λ−4)−2]−1[2λ+(λ−4)]=⋯(展开计算)

由特征值之和等于迹：1+a+b=1+4+4=91+a+b=1+4+4=91+a+b=1+4+4=9

由特征值之积等于行列式：ab=∣A∣ab=|A|ab=∣A∣

又因为标准形为 y12+ay22+by32y_1^2+ay_2^2+by_3^2y12+ay22+by32，其中一个特征值为1。

解方程组 ：
{1+a+b=9a+b=8ab=∣A∣ \begin{cases} 1+a+b=9 \\ a+b=8 \\ ab=|A| \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧1+a+b=9a+b=8ab=∣A∣

同时，由 AAA 的对称性，可求出 λ\lambdaλ 使 AAA 有特征值1，即 ∣E−A∣=0|E-A|=0∣E−A∣=0：
∣E−A∣=∣0−λ−1−λ−3−2−1−2−3∣=0 |E-A|=\begin{vmatrix} 0 & -\lambda & -1 \\ -\lambda & -3 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix}=0 ∣E−A∣= 0−λ−1−λ−3−2−1−2−3 =0

解得 λ=1\lambda=1λ=1

将 λ=1\lambda=1λ=1 代入 AAA，求特征值：
A=[111142124] A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} A= 111142124

特征多项式：
∣λ−1−1−1−1λ−4−2−1−2λ−4∣=0 \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-4 & -2 \\ -1 & -2 & \lambda-4 \end{vmatrix}=0 λ−1−1−1−1λ−4−2−1−2λ−4 =0

解得特征值：λ1=1\lambda_1=1λ1=1，λ2=2\lambda_2=2λ2=2，λ3=6\lambda_3=6λ3=6

所以 a=2a=2a=2，b=6b=6b=6（或 a=6a=6a=6，b=2b=2b=2）

答案 ：λ=1\lambda=1λ=1，a=2a=2a=2，b=6b=6b=6

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十一、练习题

1. 将二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+4x1x2+4x1x3+8x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+8x_2x_3f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+4x1x2+4x1x3+8x2x3 用配方法化为标准形。

2. 判断二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+6x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3f(x1,x2,x3)=x12+2x22+6x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3 是否正定。

3. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_2x_3+2x_1x_3f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3 的秩为2，且二次型 g(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2cx1x2+2dx2x3+2x1x3g(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2cx_1x_2+2dx_2x_3+2x_1x_3g(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2cx1x2+2dx2x3+2x1x3 与 fff 合同，求 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 的关系。

4. 设 AAA 为3阶实对称矩阵，且满足 A2−3A+2E=0A^2-3A+2E=0A2−3A+2E=0，证明 AAA 正定。

5. 用正交变换将二次型 f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3f(x1,x2,x3)=2x12+5x22+5x32+4x1x2−4x1x3−8x2x3 化为标准形，并写出所用的正交变换。

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练习题参考答案：

1. 令 y1=x1+2x2+2x3y_1=x_1+2x_2+2x_3y1=x1+2x2+2x3，y2=x2y_2=x_2y2=x2，y3=x3y_3=x_3y3=x3，则 f=y12−2x22−x32f=y_1^2-2x_2^2-x_3^2f=y12−2x22−x32

2. 矩阵 A=[111123136]A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix}A= 111123136 ，顺序主子式：Δ1=1>0\Delta_1=1>0Δ1=1>0，Δ2=1>0\Delta_2=1>0Δ2=1>0，Δ3=1>0\Delta_3=1>0Δ3=1>0，所以正定。

3. 由 fff 的秩为2得 ∣A∣=0|A|=0∣A∣=0，可求出 a,ba,ba,b 关系；由 fff 与 ggg 合同，它们有相同的正负惯性指数，可得 c,dc,dc,d 与 a,ba,ba,b 的关系。

4. 由 A2−3A+2E=0A^2-3A+2E=0A2−3A+2E=0 得 AAA 的特征值满足 λ2−3λ+2=0\lambda^2-3\lambda+2=0λ2−3λ+2=0，所以 λ=1\lambda=1λ=1 或 λ=2\lambda=2λ=2，均大于0，故 AAA 正定。

5. 特征值：λ1=1\lambda_1=1λ1=1，λ2=1\lambda_2=1λ2=1，λ3=10\lambda_3=10λ3=10；正交变换矩阵 QQQ 由对应的单位正交特征向量组成，标准形为 y12+y22+10y32y_1^2+y_2^2+10y_3^2y12+y22+10y32。