一、图的定义与本质
• 由 顶点（Vertex） 和 边（Edge） 组成的非线性结构（记为 G = (V, E)，V 是顶点集，E 是边集）
• 核心特点：顶点间可多对多连接，无层级/顺序限制，是树结构的泛化（树是无环连通图）
二、图的分类
• 按边的方向：
◦ 无向图：边无方向（如 (u, v) = (v, u)，例：社交网络好友关系）
◦ 有向图（Digraph）：边有方向（如 <u, v> 表示从 u 到 v，例：交通单向路）
• 按边的权重：
◦ 无权图：边仅表示连接关系，无数值属性
◦ 带权图（网）：边附带权重（如距离、成本，例：地图路线规划）
• 按顶点连接程度：
◦ 连通图（无向）：任意两顶点间存在路径；非连通图：存在孤立顶点子集
◦ 强连通图（有向）：任意两顶点间双向存在路径；弱连通图：忽略方向后连通
• 其他特殊图：
◦ 完全图：无向图中任意两顶点间都有边（n 个顶点有 n(n-1)/2 条边）
◦ 稀疏图：边数远少于完全图；稠密图：边数接近完全图
◦ 有环图/无环图（DAG：有向无环图，如任务调度依赖图）
三、核心概念
• 顶点的度：
◦ 无向图：与顶点相连的边数（记为 deg(v)）
◦ 有向图：入度（指向顶点的边数，in-deg(v)）+ 出度（从顶点出发的边数，out-deg(v)）
• 路径：顶点序列 v0→v1→...→vk，相邻顶点间存在边；路径长度：边的数量
• 回路（环）：起点=终点且长度≥1的路径；简单路径：顶点不重复的路径
• 子图：顶点集和边集均为原图子集的图；生成子图：包含原图所有顶点的子图
• 连通分量（无向图）：最大连通子图；强连通分量（有向图）：最大强连通子图
四、图的存储方式
• 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：
◦ 原理：用 n×n 二维数组存储，matrixij 表示顶点 i 与 j 的关系（0/1 无权，权重值 带权）
◦ 优点：查询两顶点是否相邻、获取度效率高（O(1)）
◦ 缺点：空间复杂度 O(n²)，稀疏图浪费空间
• 邻接表（Adjacency List）：
◦ 原理：顶点用数组存储，每个顶点对应一个链表/数组，存储其邻接顶点（及边权重）
◦ 优点：空间复杂度 O(n+e)（e 为边数），适合稀疏图
◦ 缺点：查询两顶点是否相邻效率低（O(deg(v))）
• 其他存储方式：
◦ 邻接多重表：解决无向图邻接表删除边需遍历两次的问题
◦ 十字链表：优化有向图的入度/出度查询效率
五、图的核心算法
（一）遍历算法
• 深度优先搜索（DFS）：
◦ 思路：从起点出发，沿一条路径走到尽头，回溯后继续未遍历路径（类似树的先序遍历）
◦ 实现：递归（简洁）或栈（避免递归栈溢出）
◦ 应用：判断图连通性、查找路径、拓扑排序（DAG）、求强连通分量
• 广度优先搜索（BFS）：
◦ 思路：从起点出发，按层级遍历所有邻接顶点（类似树的层序遍历）
◦ 实现：队列
◦ 应用：最短路径（无权图）、迷宫求解、拓扑排序
（二）最短路径算法
• 迪杰斯特拉（Dijkstra）算法：
◦ 适用：带权无负权边的图，求单源最短路径（从一个起点到所有其他顶点）
◦ 核心：贪心策略，每次选当前最短路径顶点，松弛邻接边权重
• 弗洛伊德（Floyd-Warshall）算法：
◦ 适用：任意带权图（可含负权边，不含负权回路），求所有顶点间最短路径
◦ 核心：动态规划，通过中间顶点逐步更新两顶点间最短路径
• 贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法：
◦ 适用：带权图（可含负权边），检测负权回路，求单源最短路径
（三）其他关键算法
• 拓扑排序（Topological Sort）：
◦ 适用：有向无环图（DAG），输出顶点序列满足所有边的起点在终点前
◦ 实现：Kahn算法（基于入度）、DFS逆序
◦ 应用：任务调度、课程安排
• 最小生成树（MST）：
◦ 适用：连通带权无向图，生成包含所有顶点且边权重和最小的生成子图
◦ 算法：Prim算法（适合稠密图，贪心选邻接最小边）、Kruskal算法（适合稀疏图，按权重选边避环）
◦ 应用：通信网络搭建、道路规划
六、应用场景
• 路径规划：地图导航（最短路径、最小成本）
• 网络相关：社交网络好友推荐（邻接顶点）、网络拓扑分析
• 任务调度：项目管理中任务依赖排序（拓扑排序）
• 其他：电路设计、物流配送优化、舆情传播分析