从零开始写算法——普通数组类题：数组操作中的“翻转技巧”与“前后缀分解”

在算法面试中，数组（Array）类题目往往看似简单，实则暗藏玄机。暴力解法通常很容易想到，但要在 O(n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度（或受限条件）下完成，就需要一些巧妙的数学逻辑。

今天整理了两道非常经典的数组题目：轮转数组 和除自身以外数组的乘积，重点分析它们背后的解题思路。

一、轮转数组 (Rotate Array)

1. 题目简述

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

2. 解题思路：三次反转法

如果使用额外的数组来暂存数据，空间复杂度是 O(n)，但这题通常考察的是原地操作，O(1)空间复杂度。

核心技巧在于"翻转"。我们可以把数组想象成两部分：需要移动到前面的尾部元素和需要后移的头部元素。

通过整体和局部的三次翻转，刚好可以将位置对调。

步骤演示：

假设数组为 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ，k = 3。

整体翻转 ：[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
- 此时，原本在尾部的 5, 6, 7 跑到了最前面，但顺序是反的。
翻转前 k 个 ：[5, 6, 7, 4, 3, 2, 1]
- 前 k 个元素顺序恢复正常。
翻转剩余部分 ：[5, 6, 7, 1, 2, 3, 4]
- 后半部分元素顺序恢复正常。
- 完成！

3. 代码实现 (C++)

C++代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void rotate(vector<int>& nums, int k) {
        // 核心思路：整体反转 + 两次局部反转
        // 坑点注意：k 可能大于数组长度，必须取模
        k %= nums.size();
        
        // 1. 翻转全部
        reverse(nums.begin(), nums.end());
        // 2. 翻转前 k 个
        reverse(nums.begin(), nums.begin() + k);
        // 3. 翻转剩余部分
        reverse(nums.begin() + k, nums.end());
    }
};

4. 复杂度分析

时间复杂度 ：O(n)。reverse 函数本质是遍历交换，三次操作依然是线性时间。（reverse底层是依靠双指针实现的复杂度为O(n))。
空间复杂度：O(1)。没有使用额外的数组空间，仅用了常数个变量。

二、除自身以外数组的乘积 (Product of Array Except Self)

1. 题目简述

给你一个整数数组 nums，返回数组 ans，其中 ans $i$ 等于 nums 中除 nums $i$ 之外其余各元素的乘积。

要求：不能使用除法，且在 O(n) 时间内完成。

2. 解题思路：前缀积与后缀积

如果能用除法，算出所有数的乘积再除以 nums[i] 即可（需考虑 0 的情况）。但题目禁止除法，我们就需要转换思路。

ans $i$ 的值其实可以拆解为两部分：

我们可以利用空间换时间的思想，预处理出两个数组：

pre 数组 ：pre[i] 表示 i 左边所有元素的乘积。
suf 数组 ：suf[i] 表示 i 右边所有元素的乘积。

最后遍历一遍，将两者相乘即可。

3. 代码实现 (C++)

C++代码：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> suf(n);
        vector<int> pre(n);
        vector<int> ans;
        
        // 初始化边界：第一个数左边没数，视为1；最后一个数右边没数，视为1
        pre[0] = 1;
        suf[n - 1] = 1;
        
        // 1. 计算前缀积
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            pre[i] = pre[i - 1] * nums[i - 1]; 
        }
        
        // 2. 计算后缀积 (从右向左遍历)
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
            suf[i] = suf[i + 1] * nums[i + 1]; 
        }
        
        // 3. 组合结果
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            ans.push_back(pre[i] * suf[i]);
        }
        
        return ans;
    }
};

4. 复杂度分析

时间复杂度：O(n)。我们进行了三次独立的 for 循环遍历，总体是线性的。
空间复杂度 ：O(n)。使用了 pre 和 suf 两个辅助数组。
- 进阶提示：如果题目要求 O(1) 空间（输出数组不计入空间），可以先用输出数组 ans 存前缀积，再用一个变量动态维护后缀积来计算，从而省去 pre 和 suf 数组。

三、总结

这两道题虽然解法不同，但都体现了优化算法的常见方向：

找规律：如"轮转数组"中的反转规律，通过数学变换避免模拟移动的开销。
预处理：如"除自身以外数组的乘积"，通过预先计算好前缀和后缀信息，避免了双重循环的重复计算。