线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.5 线性方程组的解集(1)

1.5

练习题

1.

下列两个方程都确定了 R3\mathbb{R}^3R3 中的一个平面，这两个平面是否相交？如果相交的话，描述它们的交集。
{x1+4x2−5x3=02x1−x2+8x3=9 \begin{cases} x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + 8x_3 = 9 \end{cases} {x1+4x2−5x3=02x1−x2+8x3=9

解答：

增广矩阵：
$14−502−189\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -5 \& 0 \\\\ 2 \& -1 \& 8 \& 9 \\end{bmatrix} \[124−1−5809$
行变换过程：
1. R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1：
  $14−500−9189\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& -9 \& 18 \& 9 \\end{bmatrix} \[104−9−51809$
2. R2←−19R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{9}R_2R2←−91R2：
  $14−5001−2−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -2 \& -1 \\end{bmatrix} \[1041−5−20−1$
3. R1←R1−4R2R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2R1←R1−4R2：
  $103401−2−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& -2 \& -1 \\end{bmatrix} \[10013−24−1$
解集分析：
- 主元列：第 1 列、第 2 列 → 基本变量：x1,x2x_1, x_2x1,x2
- 自由变量：x3x_3x3（令 x3=tx_3 = tx3=t）
- 方程组：
  {x1=4−3tx2=−1+2t \begin{cases} x_1 = 4 - 3t \\ x_2 = -1 + 2t \end{cases} {x1=4−3tx2=−1+2t
- 参数向量形式：
  $x1x2x3$ = $4-10$ +t $-321$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} x1x2x3 = 4−10 +t −321

结论：
两个平面相交 ，交集为一条直线。该直线通过点 (4,−1,0)(4, -1, 0)(4,−1,0)，方向向量为 (−3,2,1)(-3, 2, 1)(−3,2,1)。

2.

写出方程 10x1−3x2−2x3=710x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 710x1−3x2−2x3=7 的参数向量形式的通解，讨论这个解集与例 2 中的解集的关系。

解答：

令 x2x_2x2 和 x3x_3x3 为自由变量，则：
x1=7+3x2+2x310=0.7+0.3x2+0.2x3 x_1 = \frac{7 + 3x_2 + 2x_3}{10} = 0.7 + 0.3x_2 + 0.2x_3 x1=107+3x2+2x3=0.7+0.3x2+0.2x3
参数向量形式 ：
$x1x2x3$ = $0.7+0.3x2+0.2x3x2x3$ = $0.700$ +x2 $0.310$ +x3 $0.201$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7 + 0.3x_2 + 0.2x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} x1x2x3 = 0.7+0.3x2+0.2x3x2x3 = 0.700 +x2 0.310 +x3 0.201
与例 2 的关系：
- 例 2 对应齐次方程 10x1−3x2−2x3=010x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 010x1−3x2−2x3=0，其解集为：
  $x1x2x3$ =x2 $0.310$ +x3 $0.201$ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} x1x2x3 =x2 0.310 +x3 0.201
- 非齐次方程的解集是齐次方程解集平移 $0.700$ \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} 0.700 得到的。

结论：
非齐次方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集是平移后的平面 p+Span{u,v}p + \text{Span}\{u, v\}p+Span{u,v}，它经过点 ppp 且平行于例 2 中的齐次方程的解集。

3.

证明定理 6 的第一部分：假设 p\mathbf{p}p 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解，因此 Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}Ap=b。令 vh\mathbf{v}_hvh 是齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的任意解。证明 w=p+vh\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_hw=p+vh 也是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解。

证明：

由假设，Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}Ap=b 且 Avh=0A\mathbf{v}_h = \mathbf{0}Avh=0。
计算 AwA\mathbf{w}Aw：
Aw=A(p+vh)=Ap+Avh=b+0=b A\mathbf{w} = A(\mathbf{p} + \mathbf{v}_h) = A\mathbf{p} + A\mathbf{v}_h = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b} Aw=A(p+vh)=Ap+Avh=b+0=b
因此，w\mathbf{w}w 满足 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b。

结论：
w=p+vh\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_hw=p+vh 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解。

习题1.5

求解方程组
{2x1−5x2+8x3=0−2x1−7x2+x3=04x1+2x2+7x3=0 \begin{cases} 2x_1 - 5x_2 + 8x_3 = 0 \\ -2x_1 - 7x_2 + x_3 = 0 \\ 4x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x1−5x2+8x3=0−2x1−7x2+x3=04x1+2x2+7x3=0

解答：

系数矩阵： $2-58-2-71427$ \begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ -2 & -7 & 1 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix} 2−24−5−72817

行变换过程：

R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1R2←R2+R1： $2-580-129427$ \begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix} 204−5−122897
R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1： $2-580-129012-9$ \begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 0 & 12 & -9 \end{bmatrix} 200−5−121289−9
R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2： $2-580-129000$ \begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 200−5−120890

结论：x3x_3x3 为自由变量，方程组有非平凡解。

求解方程组
{x1−3x2+7x3=0−2x1+x2−4x3=0x1+2x2+9x3=0 \begin{cases} x_1 - 3x_2 + 7x_3 = 0 \\ -2x_1 + x_2 - 4x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 9x_3 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−3x2+7x3=0−2x1+x2−4x3=0x1+2x2+9x3=0

解答：

系数矩阵： $1-37-21-4129$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ -2 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix} 1−21−3127−49

行变换过程：

R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1： $1-370-510129$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix} 101−3−527109
R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1R3←R3−R1： $1-370-510052$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} 100−3−557102
R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2： $1-370-5100012$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix} 100−3−5071012

结论：无自由变量，方程组仅有平凡解 (x1,x2,x3)=(0,0,0)(x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0)(x1,x2,x3)=(0,0,0)。

求解方程组
{−3x1+5x2−7x3=0−6x1+7x2+x3=0 \begin{cases} -3x_1 + 5x_2 - 7x_3 = 0 \\ -6x_1 + 7x_2 + x_3 = 0 \end{cases} {−3x1+5x2−7x3=0−6x1+7x2+x3=0

解答：

系数矩阵： $-35-7-671$ \begin{bmatrix} -3 & 5 & -7 \\ -6 & 7 & 1 \end{bmatrix} $-3-657-71$

行变换过程：

R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1： $-35-70-315$ \begin{bmatrix} -3 & 5 & -7 \\ 0 & -3 & 15 \end{bmatrix} $-305-3-715$

结论：x3x_3x3 为自由变量，方程组有非平凡解（含 2 个方程、3 个未知数，必存在自由变量）。

求解方程组
{−5x1+7x2+9x3=0x1−2x2+6x3=0 \begin{cases} -5x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 0 \end{cases} {−5x1+7x2+9x3=0x1−2x2+6x3=0

解答：

系数矩阵： $-5791-26$ \begin{bmatrix} -5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 6 \end{bmatrix} $-517-296$

行变换过程：

交换 R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1↔R2： $1-26-579$ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ -5 & 7 & 9 \end{bmatrix} $1-5-2769$
R2←R2+5R1R_2 \leftarrow R_2 + 5R_1R2←R2+5R1： $1-260-339$ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & -3 & 39 \end{bmatrix} $10-2-3639$

结论：x3x_3x3 为自由变量，方程组有非平凡解（含 2 个方程、3 个未知数，必存在自由变量）。

5. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

{x1+3x2+x3=0−4x1−9x2+2x3=0 \begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \\ -4x_1 - 9x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases} {x1+3x2+x3=0−4x1−9x2+2x3=0

解答：

系数矩阵： $131-4-92$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -4 & -9 & 2 \end{bmatrix} $1-43-912$

行变换过程：

R2←R2+4R1R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1R2←R2+4R1： $131036$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \end{bmatrix} $103316$
R2←13R2R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2R2←31R2： $131012$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $103112$
R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2： $10-5012$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $1001-52$

主元列为第1、2列，x3x_3x3 为自由变量。

由矩阵得：x1=5x3x_1 = 5x_3x1=5x3，x2=−2x3x_2 = -2x_3x2=−2x3

结论：

解集为 x=x3 $5-21$ x = x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 5−21 ，其中 x3∈Rx_3\in\mathbb{R}x3∈R

6. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

{x1+3x2−5x3=0x1+4x2−8x3=0−3x1−7x2+9x3=0 \begin{cases} x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 0 \\ -3x_1 - 7x_2 + 9x_3 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2−5x3=0x1+4x2−8x3=0−3x1−7x2+9x3=0

解答：

系数矩阵： $13-514-8-3-79$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & -8 \\ -3 & -7 & 9 \end{bmatrix} 11−334−7−5−89

行变换过程：

R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1： $13-501-3-3-79$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ -3 & -7 & 9 \end{bmatrix} 10−331−7−5−39
R3←R3+3R1R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1R3←R3+3R1： $13-501-302-6$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & -6 \end{bmatrix} 100312−5−3−6
R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2： $13-501-3000$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100310−5−30
R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2： $10401-3000$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000104−30

主元列为第1、2列，x3x_3x3 为自由变量。

由矩阵得：x1=−4x3x_1 = -4x_3x1=−4x3，x2=3x3x_2 = 3x_3x2=3x3

结论：

解集为 x=x3 $-431$ x = x_3\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 −431 ，其中 x3∈Rx_3\in\mathbb{R}x3∈R

7. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

13−3701−45\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -3 \& 7 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 5 \\end{bmatrix} \[1031−3−475

解答：

矩阵已是行阶梯形。主元列为第1、2列，自由变量为 x3,x4x_3, x_4x3,x4。

由第二行：x2=4x3−5x4x_2 = 4x_3 - 5x_4x2=4x3−5x4

代入第一行：x1=−9x3+8x4x_1 = -9x_3 + 8x_4x1=−9x3+8x4

结论：

解集为 x=x3 $-9410$ +x4 $8-501$ x = x_3\begin{bmatrix} -9 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 8 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 −9410 +x4 8−501 ，其中 x3,x4∈Rx_3, x_4\in\mathbb{R}x3,x4∈R

8. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

1−2−95012−6\] \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& -9 \& 5 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& -6 \\end{bmatrix} \[10−21−925−6

解答：

矩阵已是行阶梯形。主元列为第1、2列，自由变量为 x3,x4x_3, x_4x3,x4。

由第二行：x2=−2x3+6x4x_2 = -2x_3 + 6x_4x2=−2x3+6x4

代入第一行：x1=5x3+7x4x_1 = 5x_3 + 7x_4x1=5x3+7x4

结论：

解集为 x=x3 $5-210$ +x4 $7601$ x = x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 7 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 5−210 +x4 7601 ，其中 x3,x4∈Rx_3, x_4\in\mathbb{R}x3,x4∈R

9. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

3−96−13−2\] \\begin{bmatrix} 3 \& -9 \& 6 \\\\ -1 \& 3 \& -2 \\end{bmatrix} \[3−1−936−2

解答：

行变换过程：

交换 R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1↔R2： $-13-23-96$ \begin{bmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -9 & 6 \end{bmatrix} $-133-9-26$
R1←−R1R_1 \leftarrow -R_1R1←−R1： $1-323-96$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & -9 & 6 \end{bmatrix} $13-3-926$
R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1R2←R2−3R1： $1-32000$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $10-3020$

主元列为第1列，自由变量为 x2,x3x_2, x_3x2,x3。

由第一行：x1=3x2−2x3x_1 = 3x_2 - 2x_3x1=3x2−2x3

结论：

解集为 x=x2 $310$ +x3 $-201$ x = x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x2 310 +x3 −201 ，其中 x2,x3∈Rx_2, x_3\in\mathbb{R}x2,x3∈R

10. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

130−4260−8\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& -4 \\\\ 2 \& 6 \& 0 \& -8 \\end{bmatrix} \[123600−4−8

解答：

行变换过程：

R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1： $130-40000$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $103000-40$

主元列为第1列，自由变量为 x2,x3,x4x_2, x_3, x_4x2,x3,x4。

由第一行：x1=−3x2+4x4x_1 = -3x_2 + 4x_4x1=−3x2+4x4

结论：

解集为 x=x2 $-3100$ +x3 $0010$ +x4 $4001$ x = x_2\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x2 −3100 +x3 0010 +x4 4001 ，其中 x2,x3,x4∈Rx_2, x_3, x_4\in\mathbb{R}x2,x3,x4∈R

11. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

$1-4-203-500100-100001-4000000$ \begin{bmatrix} 1 & -4 & -2 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000−4000−210000003010−5−1−40

解答：

该矩阵已为简化行阶梯形，对应齐次方程组。

主元列 ：第1、3、5列 → 基本变量 ：x1,x3,x5x_1, x_3, x_5x1,x3,x5
自由列 ：第2、4、6列 → 自由变量 ：x2,x4,x6x_2, x_4, x_6x2,x4,x6
关键提醒 ：x6x_6x6 是自由变量，不能默认其为零
由矩阵各行直接得到：

{x1−4x2−2x3+3x5−5x6=0(1)x3−x6=0(2)x5−4x6=0(3) \begin{cases} x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 3x_5 - 5x_6 = 0 \quad (1) \\ x_3 - x_6 = 0 \quad (2) \\ x_5 - 4x_6 = 0 \quad (3) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−4x2−2x3+3x5−5x6=0(1)x3−x6=0(2)x5−4x6=0(3)

由(2)：x3=x6x_3 = x_6x3=x6
由(3)：x5=4x6x_5 = 4x_6x5=4x6
将x3=x6x_3 = x_6x3=x6代入(1)：
x1=4x2+2x3−3x5+5x6=4x2+2x6−12x6+5x6=4x2−5x6 x_1 = 4x_2 + 2x_3 - 3x_5 + 5x_6 = 4x_2 + 2x_6 - 12x_6 + 5x_6 = 4x_2 - 5x_6 x1=4x2+2x3−3x5+5x6=4x2+2x6−12x6+5x6=4x2−5x6

将解按自由变量分组：
x= $x1x2x3x4x5x6$ = $4x2-5x6x2x6x44x6x6$ =x2 $410000$ +x4 $000100$ +x6 $-501041$ \begin{align*} x &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4x_2 - 5x_6 \\ x_2 \\ x_6 \\ x_4 \\ 4x_6 \\ x_6 \end{bmatrix} \\ &= x_2\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_6\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} x= x1x2x3x4x5x6 = 4x2−5x6x2x6x44x6x6 =x2 410000 +x4 000100 +x6 −501041

结论：

解集为
x=x2 $410000$ +x4 $000100$ +x6 $-501041$ ,x2,x4,x6∈R x = x_2\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_6\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad x_2, x_4, x_6 \in \mathbb{R} x=x2 410000 +x4 000100 +x6 −501041 ,x2,x4,x6∈R

12. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

$152-690001-74-8000001000000$ \begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 & -6 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100050002100−6−70094000−810

解答：

矩阵已是简化行阶梯形。主元列为第1、3、6列，自由变量为 x2,x4,x5x_2, x_4, x_5x2,x4,x5。

由第三行：x6=0x_6 = 0x6=0

由第二行：x3=7x4−4x5x_3 = 7x_4 - 4x_5x3=7x4−4x5

由第一行：x1=−5x2−8x4−x5x_1 = -5x_2 - 8x_4 - x_5x1=−5x2−8x4−x5

结论：

解集为 x=x2 $-510000$ +x4 $-807100$ +x5 $-10-4010$ x = x_2\begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} -8 \\ 0 \\ 7 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}x=x2 −510000 +x4 −807100 +x5 −10−4010 ，其中 x2,x4,x5∈Rx_2, x_4, x_5\in\mathbb{R}x2,x4,x5∈R

13.

某线性方程组的解集表示为 x1=5+4x3x_1 = 5 + 4x_3x1=5+4x3, x2=−2−7x3x_2 = -2 - 7x_3x2=−2−7x3, x3x_3x3 为自由变量。用向量把它表示成 R3\mathbb{R}^3R3 中的直线。

解答：

将解写成向量形式：

设自由变量 x3=tx_3 = tx3=t（t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R），则解可表示为：
x= $x1x2x3$ = $5+4t-2-7tt$ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 + 4t \\ -2 - 7t \\ t \end{bmatrix} x= x1x2x3 = 5+4t−2−7tt
将向量拆分为常数项和含 ttt 的项：
x= $5-20$ + $4t-7tt$ = $5-20$ +t $4-71$ x = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4t \\ -7t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 4 \\ -7 \\ 1 \end{bmatrix} x= 5−20 + 4t−7tt = 5−20 +t 4−71

结论：

解集为 R3\mathbb{R}^3R3 中的直线：
x= $5-20$ +t $4-71$ ,t∈R x = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 4 \\ -7 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} x= 5−20 +t 4−71 ,t∈R

该直线经过点 (5,−2,0)(5, -2, 0)(5,−2,0)，方向向量为 (4,−7,1)(4, -7, 1)(4,−7,1)。

14.

某线性方程组的解集表示为 x1=3x4x_1 = 3x_4x1=3x4, x2=8+x4x_2 = 8 + x_4x2=8+x4, x3=2−5x4x_3 = 2 - 5x_4x3=2−5x4, x4x_4x4 为自由变量。用向量把它表示成 R4\mathbb{R}^4R4 中的直线。

解答：

将解集写成参数向量形式：

设自由变量 x4=tx_4 = tx4=t，其中 t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R。
将解表示为向量：
x= $x1x2x3x4$ = $3t8+t2-5tt$ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3t \\ 8 + t \\ 2 - 5t \\ t \end{bmatrix} x= x1x2x3x4 = 3t8+t2−5tt
分离常数项和参数项：
x= $0820$ + $3tt-5tt$ = $0820$ +t $31-51$ x = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3t \\ t \\ -5t \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix} x= 0820 + 3tt−5tt = 0820 +t 31−51

结论：

解集是 R4\mathbb{R}^4R4 中过点 $0820$ \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} 0820 且方向向量为 $31-51$ \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix} 31−51 的直线：
x= $0820$ +t $31-51$ ,t∈R x = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad t \in \mathbb{R} x= 0820 +t 31−51 ,t∈R

15.

{x1+3x2+x3=1−4x1−9x2+2x3=−1−3x2−6x3=−3 \begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \\ -4x_1 - 9x_2 + 2x_3 = -1 \\ -3x_2 - 6x_3 = -3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2+x3=1−4x1−9x2+2x3=−1−3x2−6x3=−3

解答：

增广矩阵为 $1311-4-92-10-3-6-3$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ -4 & -9 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{bmatrix} 1−403−9−312−61−1−3

行变换过程：

R2←R2+4R1R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1R2←R2+4R1： $131103630-3-6-3$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \\ 0 & -3 & -6 & -3 \end{bmatrix} 10033−316−613−3
R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2： $131103630000$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100330160130
R2←13R2R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2R2←31R2： $131101210000$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100310120110
R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2： $10-5-201210000$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100010−520−210

从简化行阶梯形矩阵可知：

主元列为第1、2列，基本变量为 x1,x2x_1, x_2x1,x2
自由变量为 x3x_3x3

由方程得到：

x1=−2+5x3x_1 = -2 + 5x_3x1=−2+5x3
x2=1−2x3x_2 = 1 - 2x_3x2=1−2x3
x3x_3x3 为自由变量

将解表示为参数向量形式：
x= $x1x2x3$ = $-2+5x31-2x3x3$ = $-210$ +x3 $5-21$ \begin{align*} x &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 + 5x_3 \\ 1 - 2x_3 \\ x_3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} x= x1x2x3 = −2+5x31−2x3x3 = −210 +x3 5−21

结论：

解集为直线 x= $-210$ +x3 $5-21$ x = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}x= −210 +x3 5−21 ，其中 x3∈Rx_3 \in \mathbb{R}x3∈R。

16.

{x1+3x2−5x3=4x1+4x2−8x3=7−3x1−7x2+9x3=−6 \begin{cases} x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 4 \\ x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 7 \\ -3x_1 - 7x_2 + 9x_3 = -6 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2−5x3=4x1+4x2−8x3=7−3x1−7x2+9x3=−6

解答：

增广矩阵： $13-5414-87-3-79-6$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 & 4 \\ 1 & 4 & -8 & 7 \\ -3 & -7 & 9 & -6 \end{bmatrix} 11−334−7−5−8947−6

行变换过程：

R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1： $13-5401-33-3-79-6$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ -3 & -7 & 9 & -6 \end{bmatrix} 10−331−7−5−3943−6
R3←R3+3R1R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1R3←R3+3R1： $13-5401-3302-66$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -6 & 6 \end{bmatrix} 100312−5−3−6436
R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2： $104-501-3302-66$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -6 & 6 \end{bmatrix} 1000124−3−6−536
R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2： $104-501-330000$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 1 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000104−30−530

主元列：第1、2列；自由变量：x3x_3x3

由第1行：x1=−5−4x3x_1 = -5 - 4x_3x1=−5−4x3

由第2行：x2=3+3x3x_2 = 3 + 3x_3x2=3+3x3

结论：

解集为直线 x= $-530$ +x3 $-431$ x = \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}x= −530 +x3 −431 ，其中 x3∈Rx_3 \in \mathbb{R}x3∈R。

17.

说明和比较 x1+9x2−4x3=0x_1 + 9x_2 - 4x_3 = 0x1+9x2−4x3=0 与 x1+9x2=4x3x_1 + 9x_2 = 4x_3x1+9x2=4x3 的解集。

解答：

这两个方程等价，解集相同。

解集描述 ：

解方程 x1+9x2−4x3=0x_1 + 9x_2 - 4x_3 = 0x1+9x2−4x3=0 得 x1=−9x2+4x3x_1 = -9x_2 + 4x_3x1=−9x2+4x3，其中 x2,x3x_2, x_3x2,x3 为自由变量。

参数向量形式：
x= $x1x2x3$ =x2 $-910$ +x3 $401$ x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2\begin{bmatrix} -9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} x= x1x2x3 =x2 −910 +x3 401

结论：

两个方程的解集都是 R3\mathbb{R}^3R3 中过原点、由向量 u= $-910$ u = \begin{bmatrix} -9 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}u= −910 和 v= $401$ v = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}v= 401 张成的平面。

18.

说明和比较 x1−3x2+5x3=0x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 0x1−3x2+5x3=0 与 x1−3x2+5x3=4x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 4x1−3x2+5x3=4 的解集。

解答：
齐次方程 x1−3x2+5x3=0x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 0x1−3x2+5x3=0：
x1=3x2−5x3x_1 = 3x_2 - 5x_3x1=3x2−5x3，解集为
x=x2 $310$ +x3 $-501$ x = x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} x=x2 310 +x3 −501

是过原点的平面。

非齐次方程 x1−3x2+5x3=4x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 4x1−3x2+5x3=4：
x1=4+3x2−5x3x_1 = 4 + 3x_2 - 5x_3x1=4+3x2−5x3，解集为
x= $400$ +x2 $310$ +x3 $-501$ x = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} x= 400 +x2 310 +x3 −501

是平行于齐次解集但过点 p=(4,0,0)p = (4,0,0)p=(4,0,0) 的平面。

结论：

两个解集都是 R3\mathbb{R}^3R3 中的平面，且平行，但齐次方程的平面过原点，非齐次方程的平面过点 (4,0,0)(4,0,0)(4,0,0)。

19.
a= $-20$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}a= $-20$ , b= $-53$ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}b= $-53$

解答：

过点 a\mathbf{a}a 且平行于 b\mathbf{b}b 的直线的参数方程为：
x=a+tb,t∈R \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R} x=a+tb,t∈R

结论：

直线参数方程为 x= $-20$ +t $-53$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}x= $-20$ +t $-53$ ，或写成分量形式：
x1=−2−5tx_1 = -2 - 5tx1=−2−5t, x2=3tx_2 = 3tx2=3t。

20.
a= $3-4$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}a= $3-4$ , b= $-78$ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -7 \\ 8 \end{bmatrix}b= $-78$

解答：

过点 a\mathbf{a}a 且平行于 b\mathbf{b}b 的直线的参数方程为：
x=a+tb,t∈R \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R} x=a+tb,t∈R

结论：

直线参数方程为 x= $3-4$ +t $-78$ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -7 \\ 8 \end{bmatrix}x= $3-4$ +t $-78$ ，或写成分量形式：
x1=3−7tx_1 = 3 - 7tx1=3−7t, x2=−4+8tx_2 = -4 + 8tx2=−4+8t。

线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.5 线性方程组的解集(1)

1.5

练习题

习题1.5

线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.5 线性方程组的解集(1)