线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.5 线性方程组的解集(1)

1.5

练习题

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1.

下列两个方程都确定了 R3\mathbb{R}^3R3 中的一个平面，这两个平面是否相交？如果相交的话，描述它们的交集。
{x1+4x2−5x3=02x1−x2+8x3=9 \begin{cases} x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + 8x_3 = 9 \end{cases} {x1+4x2−5x3=02x1−x2+8x3=9

解答：

• 增广矩阵：

  14−502−189\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -5 \& 0 \\\\ 2 \& -1 \& 8 \& 9 \\end{bmatrix} \[124−1−5809

• 行变换过程：

  1. R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1：

     14−500−9189\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& -9 \& 18 \& 9 \\end{bmatrix} \[104−9−51809

  2. R2←−19R2R_2 \leftarrow -\frac{1}{9}R_2R2←−91R2：

     14−5001−2−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 4 \& -5 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& -2 \& -1 \\end{bmatrix} \[1041−5−20−1

  3. R1←R1−4R2R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2R1←R1−4R2：

     103401−2−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 3 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& -2 \& -1 \\end{bmatrix} \[10013−24−1

• 解集分析：

  • 主元列：第 1 列、第 2 列 → 基本变量：x1,x2x_1, x_2x1,x2

  • 自由变量：x3x_3x3（令 x3=tx_3 = tx3=t）

  • 方程组：
    {x1=4−3tx2=−1+2t \begin{cases} x_1 = 4 - 3t \\ x_2 = -1 + 2t \end{cases} {x1=4−3tx2=−1+2t

  • 参数向量形式：

    x1x2x3\]=\[4−10\]+t\[−321\] \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ -1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + t \\begin{bmatrix} -3 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x1x2x3 = 4−10 +t −321

两个平面相交 ，交集为一条直线。该直线通过点 (4,−1,0)(4, -1, 0)(4,−1,0)，方向向量为 (−3,2,1)(-3, 2, 1)(−3,2,1)。

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2.

写出方程 10x1−3x2−2x3=710x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 710x1−3x2−2x3=7 的参数向量形式的通解，讨论这个解集与例 2 中的解集的关系。

解答：

• 令 x2x_2x2 和 x3x_3x3 为自由变量，则：
  x1=7+3x2+2x310=0.7+0.3x2+0.2x3 x_1 = \frac{7 + 3x_2 + 2x_3}{10} = 0.7 + 0.3x_2 + 0.2x_3 x1=107+3x2+2x3=0.7+0.3x2+0.2x3

• 参数向量形式 ：

  x1x2x3\]=\[0.7+0.3x2+0.2x3x2x3\]=\[0.700\]+x2\[0.310\]+x3\[0.201\] \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0.7 + 0.3x_2 + 0.2x_3 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0.7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_2 \\begin{bmatrix} 0.3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3 \\begin{bmatrix} 0.2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x1x2x3 = 0.7+0.3x2+0.2x3x2x3 = 0.700 +x2 0.310 +x3 0.201

  • 例 2 对应齐次方程 10x1−3x2−2x3=010x_1 - 3x_2 - 2x_3 = 010x1−3x2−2x3=0，其解集为：

    x1x2x3\]=x2\[0.310\]+x3\[0.201\] \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = x_2 \\begin{bmatrix} 0.3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3 \\begin{bmatrix} 0.2 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x1x2x3 =x2 0.310 +x3 0.201

结论 ：
非齐次方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的解集是平移后的平面 p+Span{u,v}p + \text{Span}\{u, v\}p+Span{u,v}，它经过点 ppp 且平行于例 2 中的齐次方程的解集。

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3.

证明定理 6 的第一部分：假设 p\mathbf{p}p 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解，因此 Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}Ap=b。令 vh\mathbf{v}_hvh 是齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 的任意解。证明 w=p+vh\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_hw=p+vh 也是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解。

证明：

• 由假设，Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}Ap=b 且 Avh=0A\mathbf{v}_h = \mathbf{0}Avh=0。

• 计算 AwA\mathbf{w}Aw：
  Aw=A(p+vh)=Ap+Avh=b+0=b A\mathbf{w} = A(\mathbf{p} + \mathbf{v}_h) = A\mathbf{p} + A\mathbf{v}_h = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b} Aw=A(p+vh)=Ap+Avh=b+0=b

• 因此，w\mathbf{w}w 满足 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b。

结论 ：
w=p+vh\mathbf{w} = \mathbf{p} + \mathbf{v}_hw=p+vh 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解。

习题1.5

1. 求解方程组
   {2x1−5x2+8x3=0−2x1−7x2+x3=04x1+2x2+7x3=0 \begin{cases} 2x_1 - 5x_2 + 8x_3 = 0 \\ -2x_1 - 7x_2 + x_3 = 0 \\ 4x_1 + 2x_2 + 7x_3 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x1−5x2+8x3=0−2x1−7x2+x3=04x1+2x2+7x3=0

解答 ：

系数矩阵：[2−58−2−71427]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ -2 & -7 & 1 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix} 2−24−5−72817

行变换过程：

1. R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1R2←R2+R1：[2−580−129427]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 4 & 2 & 7 \end{bmatrix} 204−5−122897
2. R3←R3−2R1R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1R3←R3−2R1：[2−580−129012−9]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 0 & 12 & -9 \end{bmatrix} 200−5−121289−9
3. R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2：[2−580−129000]\begin{bmatrix} 2 & -5 & 8 \\ 0 & -12 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 200−5−120890

结论 ：x3x_3x3 为自由变量，方程组有非平凡解。

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2. 求解方程组
   {x1−3x2+7x3=0−2x1+x2−4x3=0x1+2x2+9x3=0 \begin{cases} x_1 - 3x_2 + 7x_3 = 0 \\ -2x_1 + x_2 - 4x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 9x_3 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−3x2+7x3=0−2x1+x2−4x3=0x1+2x2+9x3=0

解答 ：

系数矩阵：[1−37−21−4129]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ -2 & 1 & -4 \\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix} 1−21−3127−49

行变换过程：

1. R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1：[1−370−510129]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix} 101−3−527109
2. R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1R3←R3−R1：[1−370−510052]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 5 & 2 \end{bmatrix} 100−3−557102
3. R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2：[1−370−5100012]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 7 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 12 \end{bmatrix} 100−3−5071012

结论 ：无自由变量，方程组仅有平凡解 (x1,x2,x3)=(0,0,0)(x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0)(x1,x2,x3)=(0,0,0)。

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3. 求解方程组
   {−3x1+5x2−7x3=0−6x1+7x2+x3=0 \begin{cases} -3x_1 + 5x_2 - 7x_3 = 0 \\ -6x_1 + 7x_2 + x_3 = 0 \end{cases} {−3x1+5x2−7x3=0−6x1+7x2+x3=0

解答 ：

系数矩阵：[−35−7−671]\begin{bmatrix} -3 & 5 & -7 \\ -6 & 7 & 1 \end{bmatrix}[−3−657−71]

行变换过程：

1. R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1：[−35−70−315]\begin{bmatrix} -3 & 5 & -7 \\ 0 & -3 & 15 \end{bmatrix}[−305−3−715]

结论 ：x3x_3x3 为自由变量，方程组有非平凡解（含 2 个方程、3 个未知数，必存在自由变量）。

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4. 求解方程组
   {−5x1+7x2+9x3=0x1−2x2+6x3=0 \begin{cases} -5x_1 + 7x_2 + 9x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 0 \end{cases} {−5x1+7x2+9x3=0x1−2x2+6x3=0

解答 ：

系数矩阵：[−5791−26]\begin{bmatrix} -5 & 7 & 9 \\ 1 & -2 & 6 \end{bmatrix}[−517−296]

行变换过程：

1. 交换 R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1↔R2：[1−26−579]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ -5 & 7 & 9 \end{bmatrix}[1−5−2769]
2. R2←R2+5R1R_2 \leftarrow R_2 + 5R_1R2←R2+5R1：[1−260−339]\begin{bmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & -3 & 39 \end{bmatrix}[10−2−3639]

结论 ：x3x_3x3 为自由变量，方程组有非平凡解（含 2 个方程、3 个未知数，必存在自由变量）。

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5. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

{x1+3x2+x3=0−4x1−9x2+2x3=0 \begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 \\ -4x_1 - 9x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases} {x1+3x2+x3=0−4x1−9x2+2x3=0

解答 ：

系数矩阵：[131−4−92]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ -4 & -9 & 2 \end{bmatrix}[1−43−912]

行变换过程：

1. R2←R2+4R1R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1R2←R2+4R1：[131036]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \end{bmatrix}[103316]
2. R2←13R2R_2 \leftarrow \frac{1}{3}R_2R2←31R2：[131012]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}[103112]
3. R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2：[10−5012]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}[1001−52]

主元列为第1、2列，x3x_3x3 为自由变量。

由矩阵得：x1=5x3x_1 = 5x_3x1=5x3，x2=−2x3x_2 = -2x_3x2=−2x3

结论 ：

解集为 x=x3[5−21]x = x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 5−21 ，其中 x3∈Rx_3\in\mathbb{R}x3∈R

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6. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

{x1+3x2−5x3=0x1+4x2−8x3=0−3x1−7x2+9x3=0 \begin{cases} x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 0 \\ -3x_1 - 7x_2 + 9x_3 = 0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2−5x3=0x1+4x2−8x3=0−3x1−7x2+9x3=0

解答 ：

系数矩阵：[13−514−8−3−79]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 1 & 4 & -8 \\ -3 & -7 & 9 \end{bmatrix} 11−334−7−5−89

行变换过程：

1. R2←R2−R1R_2 \leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1：[13−501−3−3−79]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ -3 & -7 & 9 \end{bmatrix} 10−331−7−5−39
2. R3←R3+3R1R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1R3←R3+3R1：[13−501−302−6]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & -6 \end{bmatrix} 100312−5−3−6
3. R3←R3−2R2R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2：[13−501−3000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100310−5−30
4. R1←R1−3R2R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2：[10401−3000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1000104−30

主元列为第1、2列，x3x_3x3 为自由变量。

由矩阵得：x1=−4x3x_1 = -4x_3x1=−4x3，x2=3x3x_2 = 3x_3x2=3x3

结论 ：

解集为 x=x3[−431]x = x_3\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 −431 ，其中 x3∈Rx_3\in\mathbb{R}x3∈R

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7. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

13−3701−45\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -3 \& 7 \\\\ 0 \& 1 \& -4 \& 5 \\end{bmatrix} \[1031−3−475

解答 ：

矩阵已是行阶梯形。主元列为第1、2列，自由变量为 x3,x4x_3, x_4x3,x4。

由第二行：x2=4x3−5x4x_2 = 4x_3 - 5x_4x2=4x3−5x4

代入第一行：x1=−9x3+8x4x_1 = -9x_3 + 8x_4x1=−9x3+8x4

结论 ：

解集为 x=x3[−9410]+x4[8−501]x = x_3\begin{bmatrix} -9 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 8 \\ -5 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 −9410 +x4 8−501 ，其中 x3,x4∈Rx_3, x_4\in\mathbb{R}x3,x4∈R

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8. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

1−2−95012−6\] \\begin{bmatrix} 1 \& -2 \& -9 \& 5 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& -6 \\end{bmatrix} \[10−21−925−6

解答 ：

矩阵已是行阶梯形。主元列为第1、2列，自由变量为 x3,x4x_3, x_4x3,x4。

由第二行：x2=−2x3+6x4x_2 = -2x_3 + 6x_4x2=−2x3+6x4

代入第一行：x1=5x3+7x4x_1 = 5x_3 + 7x_4x1=5x3+7x4

结论 ：

解集为 x=x3[5−210]+x4[7601]x = x_3\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 7 \\ 6 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x3 5−210 +x4 7601 ，其中 x3,x4∈Rx_3, x_4\in\mathbb{R}x3,x4∈R

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9. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

3−96−13−2\] \\begin{bmatrix} 3 \& -9 \& 6 \\\\ -1 \& 3 \& -2 \\end{bmatrix} \[3−1−936−2

解答 ：

行变换过程：

1. 交换 R1↔R2R_1 \leftrightarrow R_2R1↔R2：[−13−23−96]\begin{bmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -9 & 6 \end{bmatrix}[−133−9−26]
2. R1←−R1R_1 \leftarrow -R_1R1←−R1：[1−323−96]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 3 & -9 & 6 \end{bmatrix}[13−3−926]
3. R2←R2−3R1R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1R2←R2−3R1：[1−32000]\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[10−3020]

主元列为第1列，自由变量为 x2,x3x_2, x_3x2,x3。

由第一行：x1=3x2−2x3x_1 = 3x_2 - 2x_3x1=3x2−2x3

结论 ：

解集为 x=x2[310]+x3[−201]x = x_2\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x2 310 +x3 −201 ，其中 x2,x3∈Rx_2, x_3\in\mathbb{R}x2,x3∈R

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10. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

130−4260−8\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& -4 \\\\ 2 \& 6 \& 0 \& -8 \\end{bmatrix} \[123600−4−8

解答 ：

行变换过程：

1. R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1R2←R2−2R1：[130−40000]\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[103000−40]

主元列为第1列，自由变量为 x2,x3,x4x_2, x_3, x_4x2,x3,x4。

由第一行：x1=−3x2+4x4x_1 = -3x_2 + 4x_4x1=−3x2+4x4

结论 ：

解集为 x=x2[−3100]+x3[0010]+x4[4001]x = x_2\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}x=x2 −3100 +x3 0010 +x4 4001 ，其中 x2,x3,x4∈Rx_2, x_3, x_4\in\mathbb{R}x2,x3,x4∈R

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11. 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵

1−4−203−500100−100001−4000000\] \\begin{bmatrix} 1 \& -4 \& -2 \& 0 \& 3 \& -5 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \& 0 \& -1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \& -4 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1000−4000−210000003010−5−1−40 **解答** ： 该矩阵已为简化行阶梯形，对应齐次方程组。 * **主元列** ：第1、3、5列 → **基本变量** ：x1,x3,x5x_1, x_3, x_5x1,x3,x5 * **自由列** ：第2、4、6列 → **自由变量** ：x2,x4,x6x_2, x_4, x_6x2,x4,x6 * **关键提醒** ：x6x_6x6 是自由变量，不能默认其为零 由矩阵各行直接得到： {x1−4x2−2x3+3x5−5x6=0(1)x3−x6=0(2)x5−4x6=0(3) \\begin{cases} x_1 - 4x_2 - 2x_3 + 3x_5 - 5x_6 = 0 \\quad (1) \\\\ x_3 - x_6 = 0 \\quad (2) \\\\ x_5 - 4x_6 = 0 \\quad (3) \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−4x2−2x3+3x5−5x6=0(1)x3−x6=0(2)x5−4x6=0(3) * 由(2)：x3=x6x_3 = x_6x3=x6 * 由(3)：x5=4x6x_5 = 4x_6x5=4x6 * 将x3=x6x_3 = x_6x3=x6代入(1)： x1=4x2+2x3−3x5+5x6=4x2+2x6−12x6+5x6=4x2−5x6 x_1 = 4x_2 + 2x_3 - 3x_5 + 5x_6 = 4x_2 + 2x_6 - 12x_6 + 5x_6 = 4x_2 - 5x_6 x1=4x2+2x3−3x5+5x6=4x2+2x6−12x6+5x6=4x2−5x6 将解按自由变量分组： x=\[x1x2x3x4x5x6\]=\[4x2−5x6x2x6x44x6x6\]=x2\[410000\]+x4\[000100\]+x6\[−501041\] \\begin{align\*} x \&= \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\\\ x_4 \\\\ x_5 \\\\ x_6 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4x_2 - 5x_6 \\\\ x_2 \\\\ x_6 \\\\ x_4 \\\\ 4x_6 \\\\ x_6 \\end{bmatrix} \\\\ \&= x_2\\begin{bmatrix} 4 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_4\\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_6\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\end{align\*} x= x1x2x3x4x5x6 = 4x2−5x6x2x6x44x6x6 =x2 410000 +x4 000100 +x6 −501041 **结论** ： 解集为 x=x2\[410000\]+x4\[000100\]+x6\[−501041\],x2,x4,x6∈R x = x_2\\begin{bmatrix} 4 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_4\\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_6\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad x_2, x_4, x_6 \\in \\mathbb{R} x=x2 410000 +x4 000100 +x6 −501041 ,x2,x4,x6∈R *** ** * ** *** > **12.** 把 AX=0AX=0AX=0 的解用参数向量形式表示出来，其中 AAA 行等价于给定的矩阵 \[152−690001−74−8000001000000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 5 \& 2 \& -6 \& 9 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& -7 \& 4 \& -8 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100050002100−6−70094000−810 **解答** ： 矩阵已是简化行阶梯形。主元列为第1、3、6列，自由变量为 x2,x4,x5x_2, x_4, x_5x2,x4,x5。 由第三行：x6=0x_6 = 0x6=0 由第二行：x3=7x4−4x5x_3 = 7x_4 - 4x_5x3=7x4−4x5 由第一行：x1=−5x2−8x4−x5x_1 = -5x_2 - 8x_4 - x_5x1=−5x2−8x4−x5 **结论** ： 解集为 x=x2\[−510000\]+x4\[−807100\]+x5\[−10−4010\]x = x_2\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_4\\begin{bmatrix} -8 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_5\\begin{bmatrix} -1 \\\\ 0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}x=x2 −510000 +x4 −807100 +x5 −10−4010 ，其中 x2,x4,x5∈Rx_2, x_4, x_5\\in\\mathbb{R}x2,x4,x5∈R *** ** * ** *** > **13.** > > 某线性方程组的解集表示为 x1=5+4x3x_1 = 5 + 4x_3x1=5+4x3, x2=−2−7x3x_2 = -2 - 7x_3x2=−2−7x3, x3x_3x3 为自由变量。用向量把它表示成 R3\\mathbb{R}\^3R3 中的直线。 **解答** ： 将解写成向量形式： 1. 设自由变量 x3=tx_3 = tx3=t（t∈Rt \\in \\mathbb{R}t∈R），则解可表示为： x=\[x1x2x3\]=\[5+4t−2−7tt\] x = \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 5 + 4t \\\\ -2 - 7t \\\\ t \\end{bmatrix} x= x1x2x3 = 5+4t−2−7tt 2. 将向量拆分为常数项和含 ttt 的项： x=\[5−20\]+\[4t−7tt\]=\[5−20\]+t\[4−71\] x = \\begin{bmatrix} 5 \\\\ -2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 4t \\\\ -7t \\\\ t \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 5 \\\\ -2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 4 \\\\ -7 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x= 5−20 + 4t−7tt = 5−20 +t 4−71 **结论** ： 解集为 R3\\mathbb{R}\^3R3 中的直线： x=\[5−20\]+t\[4−71\],t∈R x = \\begin{bmatrix} 5 \\\\ -2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 4 \\\\ -7 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad t \\in \\mathbb{R} x= 5−20 +t 4−71 ,t∈R 该直线经过点 (5,−2,0)(5, -2, 0)(5,−2,0)，方向向量为 (4,−7,1)(4, -7, 1)(4,−7,1)。 *** ** * ** *** > **14.** > > 某线性方程组的解集表示为 x1=3x4x_1 = 3x_4x1=3x4, x2=8+x4x_2 = 8 + x_4x2=8+x4, x3=2−5x4x_3 = 2 - 5x_4x3=2−5x4, x4x_4x4 为自由变量。用向量把它表示成 R4\\mathbb{R}\^4R4 中的直线。 **解答** ： 将解集写成参数向量形式： 1. 设自由变量 x4=tx_4 = tx4=t，其中 t∈Rt \\in \\mathbb{R}t∈R。 2. 将解表示为向量： x=\[x1x2x3x4\]=\[3t8+t2−5tt\] x = \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\\\ x_4 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 3t \\\\ 8 + t \\\\ 2 - 5t \\\\ t \\end{bmatrix} x= x1x2x3x4 = 3t8+t2−5tt 3. 分离常数项和参数项： x=\[0820\]+\[3tt−5tt\]=\[0820\]+t\[31−51\] x = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 8 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 3t \\\\ t \\\\ -5t \\\\ t \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 8 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ -5 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x= 0820 + 3tt−5tt = 0820 +t 31−51 **结论** ： 解集是 R4\\mathbb{R}\^4R4 中过点 \[0820\]\\begin{bmatrix} 0 \\\\ 8 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} 0820 且方向向量为 \[31−51\]\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ -5 \\\\ 1 \\end{bmatrix} 31−51 的直线： x=\[0820\]+t\[31−51\],t∈R x = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 8 \\\\ 2 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + t\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ -5 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad t \\in \\mathbb{R} x= 0820 +t 31−51 ,t∈R *** ** * ** *** > **15.** {x1+3x2+x3=1−4x1−9x2+2x3=−1−3x2−6x3=−3 \\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = 1 \\\\ -4x_1 - 9x_2 + 2x_3 = -1 \\\\ -3x_2 - 6x_3 = -3 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2+x3=1−4x1−9x2+2x3=−1−3x2−6x3=−3 **解答** ： 增广矩阵为 \[1311−4−92−10−3−6−3\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 1 \& 1 \\\\ -4 \& -9 \& 2 \& -1 \\\\ 0 \& -3 \& -6 \& -3 \\end{bmatrix} 1−403−9−312−61−1−3 行变换过程： 1. R2←R2+4R1R_2 \\leftarrow R_2 + 4R_1R2←R2+4R1：\[131103630−3−6−3\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 1 \& 1 \\\\ 0 \& 3 \& 6 \& 3 \\\\ 0 \& -3 \& -6 \& -3 \\end{bmatrix} 10033−316−613−3 2. R3←R3+R2R_3 \\leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2：\[131103630000\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 1 \& 1 \\\\ 0 \& 3 \& 6 \& 3 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100330160130 3. R2←13R2R_2 \\leftarrow \\frac{1}{3}R_2R2←31R2：\[131101210000\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 1 \& 1 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100310120110 4. R1←R1−3R2R_1 \\leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2：\[10−5−201210000\]\\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& -5 \& -2 \\\\ 0 \& 1 \& 2 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100010−520−210 从简化行阶梯形矩阵可知： * 主元列为第1、2列，基本变量为 x1,x2x_1, x_2x1,x2 * 自由变量为 x3x_3x3 由方程得到： * x1=−2+5x3x_1 = -2 + 5x_3x1=−2+5x3 * x2=1−2x3x_2 = 1 - 2x_3x2=1−2x3 * x3x_3x3 为自由变量 将解表示为参数向量形式： x=\[x1x2x3\]=\[−2+5x31−2x3x3\]=\[−210\]+x3\[5−21\] \\begin{align\*} x \&= \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -2 + 5x_3 \\\\ 1 - 2x_3 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} \\\\ \&= \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3\\begin{bmatrix} 5 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \\end{align\*} x= x1x2x3 = −2+5x31−2x3x3 = −210 +x3 5−21 **结论** ： 解集为直线 x=\[−210\]+x3\[5−21\]x = \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3\\begin{bmatrix} 5 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}x= −210 +x3 5−21 ，其中 x3∈Rx_3 \\in \\mathbb{R}x3∈R。 *** ** * ** *** > **16.** {x1+3x2−5x3=4x1+4x2−8x3=7−3x1−7x2+9x3=−6 \\begin{cases} x_1 + 3x_2 - 5x_3 = 4 \\\\ x_1 + 4x_2 - 8x_3 = 7 \\\\ -3x_1 - 7x_2 + 9x_3 = -6 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2−5x3=4x1+4x2−8x3=7−3x1−7x2+9x3=−6 **解答** ： 增广矩阵：\[13−5414−87−3−79−6\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -5 \& 4 \\\\ 1 \& 4 \& -8 \& 7 \\\\ -3 \& -7 \& 9 \& -6 \\end{bmatrix} 11−334−7−5−8947−6 行变换过程： 1. R2←R2−R1R_2 \\leftarrow R_2 - R_1R2←R2−R1：\[13−5401−33−3−79−6\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -5 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& -3 \& 3 \\\\ -3 \& -7 \& 9 \& -6 \\end{bmatrix} 10−331−7−5−3943−6 2. R3←R3+3R1R_3 \\leftarrow R_3 + 3R_1R3←R3+3R1：\[13−5401−3302−66\]\\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -5 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& -3 \& 3 \\\\ 0 \& 2 \& -6 \& 6 \\end{bmatrix} 100312−5−3−6436 3. R1←R1−3R2R_1 \\leftarrow R_1 - 3R_2R1←R1−3R2：\[104−501−3302−66\]\\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 4 \& -5 \\\\ 0 \& 1 \& -3 \& 3 \\\\ 0 \& 2 \& -6 \& 6 \\end{bmatrix} 1000124−3−6−536 4. R3←R3−2R2R_3 \\leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2：\[104−501−330000\]\\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 4 \& -5 \\\\ 0 \& 1 \& -3 \& 3 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1000104−30−530 主元列：第1、2列；自由变量：x3x_3x3 由第1行：x1=−5−4x3x_1 = -5 - 4x_3x1=−5−4x3 由第2行：x2=3+3x3x_2 = 3 + 3x_3x2=3+3x3 **结论** ： 解集为直线 x=\[−530\]+x3\[−431\]x = \\begin{bmatrix} -5 \\\\ 3 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3\\begin{bmatrix} -4 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{bmatrix}x= −530 +x3 −431 ，其中 x3∈Rx_3 \\in \\mathbb{R}x3∈R。 *** ** * ** *** > **17.** > > 说明和比较 x1+9x2−4x3=0x_1 + 9x_2 - 4x_3 = 0x1+9x2−4x3=0 与 x1+9x2=4x3x_1 + 9x_2 = 4x_3x1+9x2=4x3 的解集。 **解答** ： 这两个方程等价，解集相同。 **解集描述** ： 解方程 x1+9x2−4x3=0x_1 + 9x_2 - 4x_3 = 0x1+9x2−4x3=0 得 x1=−9x2+4x3x_1 = -9x_2 + 4x_3x1=−9x2+4x3，其中 x2,x3x_2, x_3x2,x3 为自由变量。 参数向量形式： x=\[x1x2x3\]=x2\[−910\]+x3\[401\] x = \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = x_2\\begin{bmatrix} -9 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3\\begin{bmatrix} 4 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x= x1x2x3 =x2 −910 +x3 401 **结论** ： 两个方程的解集都是 R3\\mathbb{R}\^3R3 中过原点、由向量 u=\[−910\]u = \\begin{bmatrix} -9 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix}u= −910 和 v=\[401\]v = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix}v= 401 张成的平面。 *** ** * ** *** > **18.** > > 说明和比较 x1−3x2+5x3=0x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 0x1−3x2+5x3=0 与 x1−3x2+5x3=4x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 4x1−3x2+5x3=4 的解集。 **解答** ： **齐次方程** x1−3x2+5x3=0x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 0x1−3x2+5x3=0： x1=3x2−5x3x_1 = 3x_2 - 5x_3x1=3x2−5x3，解集为 x=x2\[310\]+x3\[−501\] x = x_2\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x=x2 310 +x3 −501 是过原点的平面。 **非齐次方程** x1−3x2+5x3=4x_1 - 3x_2 + 5x_3 = 4x1−3x2+5x3=4： x1=4+3x2−5x3x_1 = 4 + 3x_2 - 5x_3x1=4+3x2−5x3，解集为 x=\[400\]+x2\[310\]+x3\[−501\] x = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_2\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} x= 400 +x2 310 +x3 −501 是平行于齐次解集但过点 p=(4,0,0)p = (4,0,0)p=(4,0,0) 的平面。 **结论** ： 两个解集都是 R3\\mathbb{R}\^3R3 中的平面，且平行，但齐次方程的平面过原点，非齐次方程的平面过点 (4,0,0)(4,0,0)(4,0,0)。 *** ** * ** *** > **19.** > a=\[−20\]\\mathbf{a} = \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 0 \\end{bmatrix}a=\[−20\], b=\[−53\]\\mathbf{b} = \\begin{bmatrix} -5 \\\\ 3 \\end{bmatrix}b=\[−53

解答 ：

过点 a\mathbf{a}a 且平行于 b\mathbf{b}b 的直线的参数方程为：
x=a+tb,t∈R \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R} x=a+tb,t∈R

结论 ：

直线参数方程为 x=[−20]+t[−53]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}x=[−20]+t[−53]，或写成分量形式：
x1=−2−5tx_1 = -2 - 5tx1=−2−5t, x2=3tx_2 = 3tx2=3t。

---

20.
a=[3−4]\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}a=[3−4], b=[−78]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -7 \\ 8 \end{bmatrix}b=[−78]

解答 ：

过点 a\mathbf{a}a 且平行于 b\mathbf{b}b 的直线的参数方程为：
x=a+tb,t∈R \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}, \quad t \in \mathbb{R} x=a+tb,t∈R

结论 ：

直线参数方程为 x=[3−4]+t[−78]\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} -7 \\ 8 \end{bmatrix}x=[3−4]+t[−78]，或写成分量形式：
x1=3−7tx_1 = 3 - 7tx1=3−7t, x2=−4+8tx_2 = -4 + 8tx2=−4+8t。