【数据结构之树状数组】

文章目录

前言
[一、什么是 IndexTree？](#一、什么是 IndexTree？)
二、核心概念
- [1. lowbit（最低位）](#1. lowbit（最低位）)
- [2. bit 数组含义](#2. bit 数组含义)
- [3. 两个基本操作](#3. 两个基本操作)
- [4. 区间和](#4. 区间和)
三、复杂度
四、基本实现（C++）

前言

树状数组（Index Tree / Fenwick Tree） 是一类极其实用的数据结构，用来在 O(log n) 时间内完成数组的前缀和（prefix sum）查询与单点修改（point update）。它实现简单、常用于处理动态前缀和、区间加/区间求和（通过技巧扩展）、求逆序对计数、在线 kth 元素查找（配合二分）等问题。

一、什么是 IndexTree？

树状数组是一种基于二进制低位信息的数组结构，用一维数组 bit[] 来表示原数组的差分/前缀结构。通过 lowbit(x) = x & (-x) 的性质，把数组索引划分为若干"区间块"，每个 bit[i] 保存从 i - lowbit(i) + 1 到 i 的原数组元素和。

关键性质使得我们可以：

在 O(log n) 时间内更新单个元素（向后影响若干 bit 节点）
在 O(log n) 时间内计算前缀和（把若干 bit 节点相加）

树状数组通常使用 1-based（从 1 开始）索引实现会更直观。

二、核心概念

1. lowbit（最低位）

text 复制代码

lowbit(x) = x & (-x)

它返回 x 的二进制表示中最低位的 1 所对应的值（例如 lowbit(12)=4，因为 12(1100)_2 的最低位 1 对应 4）。

2. bit 数组含义

bit[i] 存储原数组 a 在区间 [i - lowbit(i) + 1, i] 的和。

3. 两个基本操作

前缀和查询 sum(x)：从 x 开始，不断减去 lowbit(x)，把 bit[x] 累加起来，直到 x == 0。
单点更新 add(x, delta)：从 x 开始，不断加上 lowbit(x)，把 bit[x] 增加 delta，直到越界 (> n)。

4. 区间和

区间 [l, r] 的和 = sum(r) - sum(l-1)。

三、复杂度

构建（若通过逐点 add 建造）：O(n log n)
单次 add（单点修改）：O(log n)
单次 sum（前缀和）：O(log n)

空间：O(n)（一个长度为 n+1 的 bit 数组）

四、基本实现（C++）

用法场景：支持单点加、前缀和、区间和查询

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
struct Fenwick {
    int n;
    vector<long long> bit; // 1-based
    Fenwick(int n): n(n), bit(n+1, 0) {}

    static inline int lowbit(int x) { return x & -x; }

    // 单点加（a[idx] += delta）
    void add(int idx, long long delta) {
        for (int i = idx; i <= n; i += lowbit(i))
            bit[i] += delta;
    }

    // 前缀和 sum(1..idx)
    long long sum(int idx) {
        long long res = 0;
        for (int i = idx; i > 0; i -= lowbit(i))
            res += bit[i];
        return res;
    }

    // 区间和 sum(l..r)
    long long range_sum(int l, int r) {
        if (r < l) return 0;
        return sum(r) - sum(l-1);
    }
};

// 示例测试
int main() {
    vector<int> a = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; // 1-based, a[0] unused
    int n = 5;
    Fenwick fw(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) fw.add(i, a[i]);

    cout << "sum(1..3) = " << fw.sum(3) << "\n"; // 1+2+3=6
    fw.add(3, 5); // a[3] += 5, a[3]=8
    cout << "sum(1..3) after update = " << fw.sum(3) << "\n"; // 1+2+8=11

    cout << "sum(2..4) = " << fw.range_sum(2,4) << "\n";
    return 0;
}

lowbit 用于定位在 bit 中下一个影响/被影响的位置；
add 时，更新 bit[i] 的循环会沿着"父"节点向上更新；
sum 时，读取 bit[i] 的循环会沿着"祖先"节点向上累加直到 0。