第7节——积分技巧（Integration Techniques）-代换积分法

7. 积分技巧（Integration Techniques）-代换积分法

积分技巧是微积分真正的"操作层面"，如果说前面学的积分是"概念、思想"，那么这部分就是"实战技能"。
这些技巧将让你能够处理大多数定积分和不定积分，是微积分必修内容。
内容较多，这部分按几个小节来学习。

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C1 代换积分法（u-substitution）
C2 分部积分法（Integration by parts）
C3 部分分式积分（Partial fraction decomposition）
C4 三角函数积分（Trigonometric integrals）
C5 三角代换（Trigonometric substitution）
C6 反常积分（Improper integrals）

本节先学习代换积分法（u-substitution）

7.1 代换积分法（u-substitution）

代换积分法是"链式法则的逆操作"。
理解代换法，就是理解：
ddx $f(g(x))$ =f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} $f(g(x))$ =f'(g(x))\cdot g'(x)dxd $f(g(x))$ =f′(g(x))⋅g′(x)
积分则把这个反转过来：
f′(g(x))⋅g′(x)dx=f(g(x))+Cf'(g(x))\cdot g'(x)dx=f(g(x))+Cf′(g(x))⋅g′(x)dx=f(g(x))+C
也就是说看到"外层结构 + 内层导数"的组合，就可以用代换法。

7.2 代换法的核心规则

如果一个积分里出现(某个复合函数)×(里面那个部分的导数)
那么可以代换：
令：u=g(x)u=g(x)u=g(x)，则du=g′(x)dxdu=g'(x)dxdu=g′(x)dx，然后积分就会变得简单。

7.3 经典例子 1（最常见的结构）

积分：
∫2xcos⁡x2dx\int 2x \cos{x^2}dx∫2xcosx2dx
观察：

外层是：cos⁡()\cos{}()cos()

内层是：x2x^2x2

内层导数是：2x2x2x ← 正好在前面
所以令：u=x2,du=2xdxu=x^2,du=2xdxu=x2,du=2xdx
于是积分变成：
∫cos⁡udu=sin⁡u+C\int \cos{u}du=\sin{u}+C∫cosudu=sinu+C
再代回：
sin⁡x2+C\sin{x^2}+Csinx2+C

7.4 经典例子 2（积木结构）

∫(3x+1)e3x+1dx\int(3x+1)e^{3x+1}dx∫(3x+1)e3x+1dx

外层是：e()e^{()}e()
内层是：3x+13x+13x+1
内层导数：333 → 某种意义上差个常数
令：u=3x+1,du=3dxu=3x+1,du=3dxu=3x+1,du=3dx
于是：
dx=du3dx=\frac{du}{3}dx=3du
积分变成：
∫u⋅eu⋅13du\int u\cdot e^u\cdot \frac{1}{3}du∫u⋅eu⋅31du
但更简单的写法是：
∫(3x+1)e3x+1dx=13∫ueudu\int(3x+1)e^{3x+1}dx=\frac{1}{3}\int ue^udu∫(3x+1)e3x+1dx=31∫ueudu
这是一个完美结构（来自分部积分法，下一节详解）：
13∫ueudu=13(eu(u−1)+C)\frac{1}{3}\int ue^udu=\frac{1}{3}(e^u(u-1)+C)31∫ueudu=31(eu(u−1)+C)
再代回：
13(e3x+1(3x+1−1)+C)\frac{1}{3}(e^{3x+1}(3x+1-1)+C)31(e3x+1(3x+1−1)+C)

7.5 定积分中的代换法

如果要算：
∫022xsin⁡x2dx\int_0^22x\sin{x^2}dx∫022xsinx2dx
代换仍然可以用：
u=x2⇒du=2xdxu=x^2\Rightarrow du=2xdxu=x2⇒du=2xdx
关键区别在于：上下限会一起改成 u 对应的值
当x=0→u=0,当x=2→u=4当x=0\to u=0,当x=2\to u=4当x=0→u=0,当x=2→u=4
所以原积分变成：
∫04sin⁡(u)du= $-cosu$ 04\int_0^4\sin(u)du= $-\\cos{u}$ _0^4∫04sin(u)du= $-cosu$ 04

7.6 Python 验证（数值 vs 解析）

用数值积分验证：

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import numpy as np

f = lambda x: 2*x*np.cos(x*x)
xs = np.linspace(0,2,100000)
dx = 2/100000
numeric = np.sum(f(xs)*dx)
print(numeric)

# analytic(解析)
import math
analytic = math.sin(4) - math.sin(0)
print(analytic)

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-0.7568210727344218
-0.7568024953079282

7.7 本节练习

练习 1：基础代换

∫6x⋅e3x2dx\int 6x\cdot e^{3x^2} dx∫6x⋅e3x2dx

解题 1

令u=3x2u=3x^2u=3x2，则du=6xdxdu=6xdxdu=6xdx，那么：
∫6x⋅e3x2dx=∫eudu=eu+C\int 6x\cdot e^{3x^2} dx= \int e^udu=e^u+C∫6x⋅e3x2dx=∫eudu=eu+C
代回得：
e3x2+Ce^{3x^2}+Ce3x2+C

练习 2

∫x1+x2dx\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx∫1+x2 xdx

（提示：令 u=1+x2u=1+x^2u=1+x2）

解题 2

令 u=1+x2u=1+x^2u=1+x2，则du=2xdxdu=2xdxdu=2xdx，xdx=du2xdx=\frac{du}{2}xdx=2du
∫x1+x2dx=∫du2u=12∫1udu=u+C\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{\frac{du}{2}}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}du=\sqrt{u}+C∫1+x2 xdx=∫u 2du=21∫u 1du=u +C
将u=1+x2u=1+x^2u=1+x2代回，得
1+x2+C\sqrt{1+x^2}+C1+x2 +C

练习 3：定积分代换

∫01(2x+1)x2+x+1dx\int_0^1(2x+1) \sqrt{x^2+x+1}dx∫01(2x+1)x2+x+1 dx

提示：对应内部结构x2+x+1x^2+x+1x2+x+1

解题 3

令u=x2+x+1u=x^2+x+1u=x2+x+1，则du=(2x+1)dxdu=(2x+1)dxdu=(2x+1)dx
x=0,u=1;x=1,u=3x=0,u=1;x=1,u=3x=0,u=1;x=1,u=3
原式=∫13udu= $23u32$ 13=23−23\text{原式}=\int_1^3 \sqrt{u}du= $\\frac{2}{3}u\^{\\frac{3}{2}}$ _1^3=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}原式=∫13u du= $32u23$ 13=23 −32

练习 4（挑战）

∫cos⁡3x⋅esin⁡3xdx\int\cos{3x}\cdot e^{\sin{3x}}dx∫cos3x⋅esin3xdx

提示：链式结构（外=exp，中=sin，内=3x）

解题 4

令u=3xu=3xu=3x，则du=3dx,dx=du3du=3dx,dx=\frac{du}{3}du=3dx,dx=3du原式：
∫cos⁡3x⋅esin⁡3xdx=∫cos⁡u⋅esinudu3=13∫cos⁡u⋅esinudu\int \cos{3x} \cdot e^{\sin{3x}}dx=\int \cos{u}\cdot e^{sin{u}} \frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int \cos{u}\cdot e^{sin{u}} du∫cos3x⋅esin3xdx=∫cosu⋅esinu3du=31∫cosu⋅esinudu
注意到：(sin⁡u)′=cos⁡x(\sin{u})'=\cos{x}(sinu)′=cosx
令v=sin⁡uv=\sin{u}v=sinu，则dv=cos⁡ududv=\cos{u}dudv=cosudu
代换：
13∫evdv=13ev+C\frac{1}{3}\int e^vdv=\frac{1}{3}e^v+C31∫evdv=31ev+C
代回：
=13esin⁡u+C=13esin⁡3x+C=\frac{1}{3}e^{\sin{u}}+C=\frac{1}{3}e^{\sin{3x}}+C=31esinu+C=31esin3x+C

补充：

不能在数学中出现"dx"除在分母里的情况
代换u时，必须同时把积分上下限从 x 改为 u