【分析学】 连续性的概念辨析

文章目录

• 数学分析
• • 连续性（点态连续）
  • 可微性
  • 一致连续性
  • • 重要定理
    • 例子辨析
  • [L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续性](#L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续性)
  • • 例子辨析
    • 定理
  • [H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续性](#H o ¨ l d e r H"{o}lder Ho¨lder 连续性)
  • • 例子辨析
    • 定理
• 实变函数
• • 绝对连续性
  • 几乎处处连续性
  • 几乎处处可微
• 关系图汇总

函数的连续性、一致连续性、Lipschitz 连续性、Hölder 连续性以及绝对连续性是数学分析中函数光滑性的不同概念，它们在强度、应用场景和相互关系中各有不同。以下逐一辨析：

数学分析

连续性（点态连续）

设 f : D ⊂ R → R f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} f:D⊂R→R， x 0 ∈ D x_0 \in D x0∈D，若
lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) , \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0), x→x0limf(x)=f(x0),

则称 f f f 在 x 0 x_0 x0 处连续。若 f f f 在 D D D 中每一点都连续，则称 f f f 在 D D D 上连续。

可微性

设 f : D ⊂ R → R f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} f:D⊂R→R， x 0 ∈ i n t D x_0 \in \mathrm{int}~D x0∈int D，若存在 g ∈ R g\in \mathbb{R} g∈R,
lim ⁡ x → x 0 F ( x ) − F ( x 0 ) − g ⋅ ( x − x 0 ) ∣ x − x 0 ∣ = 0 \lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)-g\cdot (x-x_0)}{|x-x_0|}=0 x→x0lim∣x−x0∣F(x)−F(x0)−g⋅(x−x0)=0

则称 f f f 在 x 0 x_0 x0 处可微。若 f f f 在 D D D 的内部中每一点都可微，则称 f f f 在 D D D 上可微。

一致连续性

设 f : D → R f: D \to \mathbb{R} f:D→R，若对任意 ε > 0 \varepsilon > 0 ε>0，存在 δ > 0 \delta > 0 δ>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \in D x1,x2∈D，只要 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ |x_1 - x_2| < \delta ∣x1−x2∣<δ，就有 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon ∣f(x1)−f(x2)∣<ε，则称 f f f 在 D D D 上一致连续。

重要定理

闭区间的上连续函数满足一致连续性。

例子辨析

( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 上 f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f(x)=x1 是连续函数，但不是一致连续函数。

L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续性

设 f : D → R f: D \to \mathbb{R} f:D→R，若存在常数 L > 0 L > 0 L>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \in D x1,x2∈D，
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ L ∣ x 1 − x 2 ∣ , |f(x_1) - f(x_2)| \le L |x_1 - x_2|, ∣f(x1)−f(x2)∣≤L∣x1−x2∣,

则称 f f f 在 D D D 上满足 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 条件， L L L 称为 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 常数。（也称为局部 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续性），当 D = R D= \mathbb{R} D=R 称为全局 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续。

例子辨析

0 , 1 \] \[0,1\] \[0,1\] 上 y = x y=\\sqrt{x} y=x 是一致连续的但不是 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续的。 不妨设 0 ≤ x 1 \< x 2 ≤ 1 0\\leq x_1\ 0 H \> 0 H\>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \\in D x1,x2∈D， ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ H ∣ x 1 − x 2 ∣ α , \|f(x_1) - f(x_2)\| \\le H \|x_1 - x_2\|\^{\\alpha}, ∣f(x1)−f(x2)∣≤H∣x1−x2∣α, 则称 f f f 在 D D D 上是 H o ¨ l d e r H\\"{o}lder Ho¨lder 连续的，指数为 α \\alpha α。 为何 α \\alpha α 不能大于1? f : D → R f: D \\to \\mathbb{R} f:D→R，若存在常数 α \> 1 \\alpha \>1 α\>1 和 H \> 0 H \> 0 H\>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \\in D x1,x2∈D， ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ H ∣ x 1 − x 2 ∣ α , \|f(x_1) - f(x_2)\| \\le H \|x_1 - x_2\|\^{\\alpha}, ∣f(x1)−f(x2)∣≤H∣x1−x2∣α, 则 f ′ ( x 2 ) = lim ⁡ x 1 → x 2 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣ ≤ H lim ⁡ x 1 → x 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ α − 1 = 0 , f'(x_2)=\\lim_{x_1\\to x_2} \\frac{\|f(x_1)-f(x_2)\|}{\|x_1-x_2\|}\\leq H \\lim_{x_1\\to x_2} \|x_1-x_2\|\^{\\alpha-1}=0, f′(x2)=x1→x2lim∣x1−x2∣∣f(x1)−f(x2)∣≤Hx1→x2lim∣x1−x2∣α−1=0, 由于 x 2 x_2 x2 的任意性， 导数处处为0，则 f f f 只能是常值函数。因此当 α \> 1 \\alpha\>1 α\>1 H o ¨ l d e r H\\"{o}lder Ho¨lder 连续只有常值函数满足因此缺乏广泛性。 #### 例子辨析 * 函数 f ( x ) = 1 ln ⁡ x f(x)=\\frac{1}{\\ln x} f(x)=lnx1 在区间 (0,1\] 上一致连续但不是 H o ¨ l d e r H\\"{o}lder Ho¨lder 连续。 #### 定理 * H o ¨ l d e r H\\"{o}lder Ho¨lder 连续函数满足一致连续性。 只需取 δ = ( ε H ) 1 α \\delta=\\left(\\frac{\\varepsilon}{H}\\right)\^{\\frac{1}{\\alpha}} δ=(Hε)α1 即可. * L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续函数则满足 H o ¨ l d e r H\\"{o}lder Ho¨lder 连续性。 α = 1 \\alpha=1 α=1, H = L H=L H=L. ## 实变函数 ### 绝对连续性 设 f : \[ a , b \] → R f: \[a,b\] \\to \\mathbb{R} f:\[a,b\]→R，若对任意 ε \> 0 \\varepsilon \> 0 ε\>0，存在 δ \> 0 \\delta \> 0 δ\>0，使得对任意有限个互不相交的开子区间 ( a 1 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ) , ... , ( a n , b n ) ⊂ \[ a , b \] (a_1,b_1), (a_2,b_2), \\dots, (a_n,b_n) \\subset \[a,b\] (a1,b1),(a2,b2),...,(an,bn)⊂\[a,b\]，只要 ∑ i = 1 n ( b i − a i ) \< δ , \\sum_{i=1}\^n (b_i - a_i) \< \\delta, i=1∑n(bi−ai)\<δ, 就有 ∑ i = 1 n ∣ f ( b i ) − f ( a i ) ∣ \< ε , \\sum_{i=1}\^n \|f(b_i) - f(a_i)\| \< \\varepsilon, i=1∑n∣f(bi)−f(ai)∣\<ε, 则称 f f f 在 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\] 上绝对连续。绝对连续函数是推出勒贝格可积的重要概念。 ### 几乎处处连续性 设 f : \[ a , b \] → R f:\[a,b\]\\to\\mathbb{R} f:\[a,b\]→R, 若对 x ∈ \[ a , b \] x\\in \[a,b\] x∈\[a,b\] 不满足的连续性的点构成的集合 E E E 满足测度 μ ( E ) = 0 \\mu(E)=0 μ(E)=0， 则称 f f f 在 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\] 上的几乎处处连续。 ### 几乎处处可微 设 f : \[ a , b \] → R f:\[a,b\]\\to\\mathbb{R} f:\[a,b\]→R, 若对 x ∈ \[ a , b \] x\\in \[a,b\] x∈\[a,b\] 不满足的可微性的点构成的集合 E E E 满足测度 μ ( E ) = 0 \\mu(E)=0 μ(E)=0， 则称 f f f 在 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\] 上的几乎处处可微。 ## 关系图汇总 Lipschitz连续 Holder 连续 一致连续 连续 几乎处处连续 绝对连续 几乎处处可微-Rademacher定理 可微性