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函数的连续性、一致连续性、Lipschitz 连续性、Hölder 连续性以及绝对连续性是数学分析中函数光滑性的不同概念，它们在强度、应用场景和相互关系中各有不同。以下逐一辨析：
数学分析
连续性（点态连续）
设 f : D ⊂ R → R f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} f:D⊂R→R， x 0 ∈ D x_0 \in D x0∈D，若
lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) , \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0), x→x0limf(x)=f(x0),
则称 f f f 在 x 0 x_0 x0 处连续。若 f f f 在 D D D 中每一点都连续，则称 f f f 在 D D D 上连续。
可微性
设 f : D ⊂ R → R f: D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} f:D⊂R→R， x 0 ∈ i n t D x_0 \in \mathrm{int}~D x0∈int D，若存在 g ∈ R g\in \mathbb{R} g∈R,
lim x → x 0 F ( x ) − F ( x 0 ) − g ⋅ ( x − x 0 ) ∣ x − x 0 ∣ = 0 \lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)-g\cdot (x-x_0)}{|x-x_0|}=0 x→x0lim∣x−x0∣F(x)−F(x0)−g⋅(x−x0)=0
则称 f f f 在 x 0 x_0 x0 处可微。若 f f f 在 D D D 的内部中每一点都可微，则称 f f f 在 D D D 上可微。
一致连续性
设 f : D → R f: D \to \mathbb{R} f:D→R，若对任意 ε > 0 \varepsilon > 0 ε>0，存在 δ > 0 \delta > 0 δ>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \in D x1,x2∈D，只要 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ |x_1 - x_2| < \delta ∣x1−x2∣<δ，就有 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ε |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon ∣f(x1)−f(x2)∣<ε，则称 f f f 在 D D D 上一致连续。
重要定理
闭区间的上连续函数满足一致连续性。
例子辨析
( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 上 f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f(x)=x1 是连续函数，但不是一致连续函数。
L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续性
设 f : D → R f: D \to \mathbb{R} f:D→R，若存在常数 L > 0 L > 0 L>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \in D x1,x2∈D，
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ L ∣ x 1 − x 2 ∣ , |f(x_1) - f(x_2)| \le L |x_1 - x_2|, ∣f(x1)−f(x2)∣≤L∣x1−x2∣,
则称 f f f 在 D D D 上满足 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 条件， L L L 称为 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 常数。（也称为局部 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续性），当 D = R D= \mathbb{R} D=R 称为全局 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续。
例子辨析
0 , 1 0,1 0,1 上 y = x y=\sqrt{x} y=x 是一致连续的但不是 L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续的。 不妨设 0 ≤ x 1 < x 2 ≤ 1 0\leq x_1<x_2\leq 1 0≤x1<x2≤1, 则
x 2 − x 1 ≤ x 2 − x 1 \sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\leq \sqrt{x_2-x_1} x2 −x1 ≤x2−x1 ,
取 δ = ε 2 \delta=\varepsilon^2 δ=ε2, 则有
x 2 − x 1 ≤ x 2 − x 1 < δ = ε \sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\leq \sqrt{x_2-x_1}<\sqrt{\delta}=\varepsilon x2 −x1 ≤x2−x1 <δ =ε,
定理
Lipschitz 连续函数则满足一致连续性， 只需取 δ = ε L \delta=\frac{\varepsilon}{L} δ=Lε。
H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续性
设 f : D → R f: D \to \mathbb{R} f:D→R，若存在常数 α ∈ ( 0 , 1 ] \alpha \in (0,1] α∈(0,1] 和 H > 0 H > 0 H>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \in D x1,x2∈D，
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ H ∣ x 1 − x 2 ∣ α , |f(x_1) - f(x_2)| \le H |x_1 - x_2|^{\alpha}, ∣f(x1)−f(x2)∣≤H∣x1−x2∣α,
则称 f f f 在 D D D 上是 H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续的，指数为 α \alpha α。
为何 α \alpha α 不能大于1?
f : D → R f: D \to \mathbb{R} f:D→R，若存在常数 α > 1 \alpha >1 α>1 和 H > 0 H > 0 H>0，使得对任意 x 1 , x 2 ∈ D x_1, x_2 \in D x1,x2∈D，
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ H ∣ x 1 − x 2 ∣ α , |f(x_1) - f(x_2)| \le H |x_1 - x_2|^{\alpha}, ∣f(x1)−f(x2)∣≤H∣x1−x2∣α,
则
f ′ ( x 2 ) = lim x 1 → x 2 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣ ≤ H lim x 1 → x 2 ∣ x 1 − x 2 ∣ α − 1 = 0 , f'(x_2)=\lim_{x_1\to x_2} \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}\leq H \lim_{x_1\to x_2} |x_1-x_2|^{\alpha-1}=0, f′(x2)=x1→x2lim∣x1−x2∣∣f(x1)−f(x2)∣≤Hx1→x2lim∣x1−x2∣α−1=0,
由于 x 2 x_2 x2 的任意性， 导数处处为0，则 f f f 只能是常值函数。因此当 α > 1 \alpha>1 α>1 H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续只有常值函数满足因此缺乏广泛性。
例子辨析
- 函数 f ( x ) = 1 ln x f(x)=\frac{1}{\ln x} f(x)=lnx1 在区间 (0,1] 上一致连续但不是 H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续。
定理
- H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续函数满足一致连续性。 只需取 δ = ( ε H ) 1 α \delta=\left(\frac{\varepsilon}{H}\right)^{\frac{1}{\alpha}} δ=(Hε)α1 即可.
- L i p s c h i t z Lipschitz Lipschitz 连续函数则满足 H o ¨ l d e r H\"{o}lder Ho¨lder 连续性。 α = 1 \alpha=1 α=1, H = L H=L H=L.
实变函数
绝对连续性
设 f : a , b → R f: a,b \to \mathbb{R} f:a,b→R，若对任意 ε > 0 \varepsilon > 0 ε>0，存在 δ > 0 \delta > 0 δ>0，使得对任意有限个互不相交的开子区间 ( a 1 , b 1 ) , ( a 2 , b 2 ) , ... , ( a n , b n ) ⊂ a , b (a_1,b_1), (a_2,b_2), \dots, (a_n,b_n) \subset a,b (a1,b1),(a2,b2),...,(an,bn)⊂a,b，只要
∑ i = 1 n ( b i − a i ) < δ , \sum_{i=1}^n (b_i - a_i) < \delta, i=1∑n(bi−ai)<δ,
就有
∑ i = 1 n ∣ f ( b i ) − f ( a i ) ∣ < ε , \sum_{i=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| < \varepsilon, i=1∑n∣f(bi)−f(ai)∣<ε,
则称 f f f 在 a , b a,b a,b 上绝对连续。绝对连续函数是推出勒贝格可积的重要概念。
几乎处处连续性
设 f : a , b → R f:a,b\to\mathbb{R} f:a,b→R, 若对 x ∈ a , b x\in a,b x∈a,b 不满足的连续性的点构成的集合 E E E 满足测度 μ ( E ) = 0 \mu(E)=0 μ(E)=0， 则称 f f f 在 a , b a,b a,b 上的几乎处处连续。
几乎处处可微
设 f : a , b → R f:a,b\to\mathbb{R} f:a,b→R, 若对 x ∈ a , b x\in a,b x∈a,b 不满足的可微性的点构成的集合 E E E 满足测度 μ ( E ) = 0 \mu(E)=0 μ(E)=0， 则称 f f f 在 a , b a,b a,b 上的几乎处处可微。
关系图汇总
Lipschitz连续 Holder 连续 一致连续 连续 几乎处处连续 绝对连续 几乎处处可微-Rademacher定理 可微性