【计算机视觉（2）】图像几何变换基础篇：从平移旋转到投影变换

文章目录

- [📚 学习路线图](#📚 学习路线图)
- 本文内容一览（快速理解）
- [一、图像变换是什么（Image Transformation）：理解两种变换类型](#一、图像变换是什么（Image Transformation）：理解两种变换类型)
- - [1.1 图像变换的两种类型（Image Filtering vs Image Warping）：滤波改变像素值，变形改变像素位置](#1.1 图像变换的两种类型（Image Filtering vs Image Warping）：滤波改变像素值，变形改变像素位置)
- [二、基本几何变换（2D Geometric Transformations）：平移、旋转、缩放的基础操作](#二、基本几何变换（2D Geometric Transformations）：平移、旋转、缩放的基础操作)
- - [2.1 什么是几何变换（Parametric (global) warping）：坐标变换机器](#2.1 什么是几何变换（Parametric (global) warping）：坐标变换机器)
  - [2.2 平移（Translation）：改变位置而不改变形状和大小](#2.2 平移（Translation）：改变位置而不改变形状和大小)
  - [2.3 旋转（Rotation）：改变方向而不改变形状和大小](#2.3 旋转（Rotation）：改变方向而不改变形状和大小)
  - [2.4 缩放（Uniform scaling / Non-uniform scaling）：改变大小，均匀或非均匀](#2.4 缩放（Uniform scaling / Non-uniform scaling）：改变大小，均匀或非均匀)
  - [2.5 相似变换（Similarity Transformation）：平移、旋转、均匀缩放的组合](#2.5 相似变换（Similarity Transformation）：平移、旋转、均匀缩放的组合)
- [三、线性变换（Common linear transformations / 2x2 Matrices）：用矩阵统一表示变换](#三、线性变换（Common linear transformations / 2x2 Matrices）：用矩阵统一表示变换)
- - [3.1 线性变换的矩阵表示（All 2D Linear Transformations）：用2×2矩阵表示缩放、旋转、剪切](#3.1 线性变换的矩阵表示（All 2D Linear Transformations）：用2×2矩阵表示缩放、旋转、剪切)
  - [3.2 平移不是线性变换（Translation is not a linear operation）：平移不能用2×2矩阵表示](#3.2 平移不是线性变换（Translation is not a linear operation）：平移不能用2×2矩阵表示)
- [四、齐次坐标（Homogeneous coordinates）：统一表示所有变换的数学工具](#四、齐次坐标（Homogeneous coordinates）：统一表示所有变换的数学工具)
- - [4.1 齐次坐标的概念（Homogeneous coordinates）：通过添加坐标维度统一表示变换](#4.1 齐次坐标的概念（Homogeneous coordinates）：通过添加坐标维度统一表示变换)
  - [4.2 用齐次坐标表示平移（Translation Solution）：用3×3矩阵表示平移](#4.2 用齐次坐标表示平移（Translation Solution）：用3×3矩阵表示平移)
  - [4.3 用齐次坐标表示旋转和缩放（Rotation and Scaling in Homogeneous Coordinates）：统一用3×3矩阵表示](#4.3 用齐次坐标表示旋转和缩放（Rotation and Scaling in Homogeneous Coordinates）：统一用3×3矩阵表示)
- [五、变换的层次（Affine transformations / Projective Transformations）：从仿射到投影的递进关系](#五、变换的层次（Affine transformations / Projective Transformations）：从仿射到投影的递进关系)
- - [5.1 仿射变换（Affine Transformation / Basic affine transformations）：线性变换和平移的组合](#5.1 仿射变换（Affine Transformation / Basic affine transformations）：线性变换和平移的组合)
  - [5.2 投影变换（Projective Transformation / Homographies / Planar Perspective Maps）：最一般的平面变换](#5.2 投影变换（Projective Transformation / Homographies / Planar Perspective Maps）：最一般的平面变换)
  - [5.3 变换的层次关系（These transformations are a nested set of groups）：嵌套的变换集合](#5.3 变换的层次关系（These transformations are a nested set of groups）：嵌套的变换集合)
- [📝 本章总结](#📝 本章总结)

📌 适合对象 ：计算机视觉初学者、图像处理入门者

⏱️ 预计阅读时间 ：40-50分钟

🎯 学习目标：理解图像变换的基本概念、掌握常见的几何变换、了解变换的层次关系

📚 学习路线图

第一步
理解图像变换的两种类型
滤波 vs 变形第二步
掌握基本几何变换
平移、旋转、缩放（重点）第三步
理解线性变换
矩阵表示和性质第四步
学习齐次坐标
统一表示所有变换第五步
理解变换层次
仿射变换和投影变换

本文内容一览（快速理解）

图像变换的两种类型：图像滤波改变像素值，图像变形改变像素位置
基本几何变换：平移、旋转、缩放是图像变换的基础操作
线性变换：可以用2×2矩阵表示，包括缩放、旋转、剪切、镜像
齐次坐标：通过添加一个坐标维度，可以统一表示包括平移在内的所有变换
变换层次：线性变换 → 仿射变换 → 投影变换，层次递进，功能越来越强大

一、图像变换是什么（Image Transformation）：理解两种变换类型

这一章要建立的基础：理解图像变换的基本概念，区分两种不同类型的图像变换。

核心问题：当我们说"变换图像"时，到底指的是什么？有哪些不同的变换方式？

$!NOTE$
📝 关键点总结：图像变换分为两种类型：图像滤波（改变像素值范围）和图像变形（改变像素位置定义域）。几何变换属于图像变形，改变的是像素的空间位置。

1.1 图像变换的两种类型（Image Filtering vs Image Warping）：滤波改变像素值，变形改变像素位置

概念的本质：

图像变换可以分为两种基本类型：

图像滤波（Image Filtering） ：改变图像的范围（range）
- 改变像素的值（亮度、颜色）
- 公式： g ( x ) = h ( f ( x ) ) g(x) = h(f(x)) g(x)=h(f(x))
- 例如：亮度调整、颜色增强、模糊处理
图像变形（Image Warping） ：改变图像的定义域（domain）
- 改变像素的位置（坐标）
- 公式： g ( x ) = f ( h ( x ) ) g(x) = f(h(x)) g(x)=f(h(x))
- 例如：旋转、缩放、平移

图解说明：
图像变形
改变像素位置图像滤波
改变像素值应用函数h 像素值改变坐标变换h 位置改变新图像
g(x) = f(h(x)) 原图像
f(x) 结果：几何形状改变新图像
g(x) = h(f(x)) 原图像
f(x) 结果：亮度/颜色改变

💡 说明：图像滤波改变的是"像素值是什么"，图像变形改变的是"像素在哪里"

类比理解：

图像滤波：就像给照片调色或加滤镜，照片中物体的位置不变，但颜色、亮度改变了
图像变形：就像把照片旋转或拉伸，照片中物体的位置改变了，但颜色、亮度保持不变

实际例子：

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图像滤波示例：
- 亮度调整：让整张照片变亮或变暗
- 模糊处理：让照片变得柔和
- 锐化处理：让照片边缘更清晰

图像变形示例：
- 旋转：把照片顺时针旋转90度
- 缩放：把照片放大2倍
- 平移：把照片向右移动100像素

二、基本几何变换（2D Geometric Transformations）：平移、旋转、缩放的基础操作

前面我们知道了：图像变形是改变像素位置的变换，属于几何变换。

但遇到了问题：有哪些基本的几何变换？它们是如何工作的？

这一章要解决：理解三种最基本的几何变换：平移、旋转、缩放。

答案：平移、旋转、缩放是图像几何变换的基础，可以组合使用实现复杂的变换效果。

$!NOTE$
📝 关键点总结：平移、旋转、缩放是三种最基本的几何变换。平移改变位置，旋转改变方向，缩放改变大小。这些变换可以组合使用。

2.1 什么是几何变换（Parametric (global) warping）：坐标变换机器

概念的本质：

几何变换可以看作是一个坐标变换机器（coordinate-changing machine）：

输入：原图像中的点 p = ( x , y ) p = (x, y) p=(x,y)
输出：变换后图像中的点 p ′ = ( x ′ , y ′ ) p' = (x', y') p′=(x′,y′)
变换函数： p ′ = T ( p ) p' = T(p) p′=T(p)

参数化变形（Parametric Warping）：

参数化变形是指：

全局性 ：变换 T T T 对所有点都相同
参数少：可以用少数几个参数描述整个变换

图解说明：
变换T 输出原图像点
p = (x, y) 变换机器
T(p) 新图像点
p' = (x', y')

💡 说明：参数化变形是全局的，同一个变换函数对所有点都适用

类比理解：就像用模具压印------同一个模具（变换函数）对所有材料（图像中的点）都产生相同的变形效果。

2.2 平移（Translation）：改变位置而不改变形状和大小

概念的本质：

平移是将图像中的所有点沿着某个方向移动固定的距离。

平移的特点：

只改变位置，不改变形状、大小、方向
可以用向量 ( t x , t y ) (t_x, t_y) (tx,ty) 表示平移量

实际例子：

复制代码

向右平移100像素，向上平移50像素：
- 原位置：(100, 100)
- 新位置：(200, 150)
- 平移向量：(100, 50)

2.3 旋转（Rotation）：改变方向而不改变形状和大小

概念的本质：

旋转是将图像围绕某个点（通常是原点）旋转一定的角度。

旋转的特点：

改变方向，不改变形状、大小
可以用角度 θ \theta θ 表示旋转量
逆时针旋转为正方向

图解说明：
旋转角度θ 原图像
角度0° 新图像
角度θ

实际例子：

复制代码

顺时针旋转90度：
- 原方向：水平向右 →
- 新方向：垂直向下 ↓
- 旋转角度：-90°（或270°）

2.4 缩放（Uniform scaling / Non-uniform scaling）：改变大小，均匀或非均匀

概念的本质：

缩放是将图像在某个方向上放大或缩小。

缩放的类型：

均匀缩放：x和y方向缩放比例相同
非均匀缩放：x和y方向缩放比例不同（改变宽高比）

缩放的特点：

改变大小，不改变形状（均匀缩放）或改变形状（非均匀缩放）
可以用缩放因子 s s s 表示

图解说明：
缩放因子s 原图像
大小1×1 新图像
大小s×s

实际例子：

复制代码

放大2倍（均匀缩放）：
- 原大小：100×100像素
- 新大小：200×200像素
- 缩放因子：s = 2

x方向放大2倍，y方向不变（非均匀缩放）：
- 原大小：100×100像素
- 新大小：200×100像素
- 缩放因子：sx = 2, sy = 1

2.5 相似变换（Similarity Transformation）：平移、旋转、均匀缩放的组合

概念的本质：

相似变换是平移、旋转、均匀缩放的组合。

相似变换的特点：

保持形状不变（相似）
可以改变位置、方向、大小
保持角度不变

实际应用：

复制代码

图像配准：
- 找到两幅图像之间的相似变换
- 可以将一幅图像对齐到另一幅图像
- 用于图像拼接、目标跟踪等

三、线性变换（Common linear transformations / 2x2 Matrices）：用矩阵统一表示变换

前面我们知道了：平移、旋转、缩放是基本的几何变换。

但遇到了问题：如何用数学方法统一表示这些变换？能否用矩阵表示？

这一章要解决：理解线性变换的矩阵表示方法。

答案：缩放、旋转、剪切、镜像可以用2×2矩阵表示，但平移不能直接用2×2矩阵表示，需要齐次坐标。

$!NOTE$
📝 关键点总结：线性变换可以用2×2矩阵表示，包括缩放、旋转、剪切、镜像。线性变换保持原点不变，保持直线和平行关系。平移不是线性变换，需要齐次坐标才能统一表示。

3.1 线性变换的矩阵表示（All 2D Linear Transformations）：用2×2矩阵表示缩放、旋转、剪切

概念的本质：

线性变换是指可以用矩阵乘法表示的变换：
p ′ = M ⋅ p p' = M \cdot p p′=M⋅p

其中 M M M 是2×2矩阵， p = ( x , y ) p = (x, y) p=(x,y) 是原坐标， p ′ = ( x ′ , y ′ ) p' = (x', y') p′=(x′,y′) 是新坐标。

常见的线性变换：

均匀缩放 ：用矩阵 $s 0 0 s$ \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} $s00s$ 表示
非均匀缩放 ：用矩阵 $s x 0 0 s y$ \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} $sx00sy$ 表示
旋转：用矩阵 $cos θ - sin θ sin θ cos θ$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $cosθsinθ-sinθcosθ$ 表示

图解说明：
矩阵M 输出原坐标
(x, y) 线性变换
M·p 新坐标
(x', y')

线性变换的性质：

原点映射到原点： ( 0 , 0 ) → ( 0 , 0 ) (0, 0) \rightarrow (0, 0) (0,0)→(0,0)
直线映射到直线
平行线保持平行
比例关系保持不变

3.2 平移不是线性变换（Translation is not a linear operation）：平移不能用2×2矩阵表示

概念的本质：

平移的公式是：
x ′ = x + t x x' = x + t_x x′=x+tx
y ′ = y + t y y' = y + t_y y′=y+ty

这不能写成 p ′ = M ⋅ p p' = M \cdot p p′=M⋅p 的形式，因为平移会改变原点位置。

图解说明：
线性变换
可以用2×2矩阵缩放、旋转、剪切、镜像非线性变换
不能用2×2矩阵平移

💡 问题：平移不是线性变换，不能用2×2矩阵表示，这引出了齐次坐标的必要性

解决方案：需要使用齐次坐标来统一表示包括平移在内的所有变换。

四、齐次坐标（Homogeneous coordinates）：统一表示所有变换的数学工具

前面我们知道了：线性变换可以用2×2矩阵表示，但平移不能。

但遇到了问题：能否找到一种方法，统一表示包括平移在内的所有变换？

这一章要解决：理解齐次坐标的概念和作用。

答案：齐次坐标通过添加一个坐标维度，可以用3×3矩阵统一表示包括平移在内的所有变换。

$!NOTE$
📝 关键点总结：齐次坐标通过添加一个坐标维度（w），可以用3×3矩阵统一表示平移、旋转、缩放等所有变换。齐次坐标是计算机图形学和计算机视觉的基础工具。

4.1 齐次坐标的概念（Homogeneous coordinates）：通过添加坐标维度统一表示变换

概念的本质：

齐次坐标是在原有坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y) 的基础上，添加一个坐标维度 w w w，得到 ( x , y , w ) (x, y, w) (x,y,w)。

坐标转换：

从普通坐标到齐次坐标 ： ( x , y ) → ( x , y , 1 ) (x, y) \rightarrow (x, y, 1) (x,y)→(x,y,1)
从齐次坐标到普通坐标 ： ( x , y , w ) → ( x / w , y / w ) (x, y, w) \rightarrow (x/w, y/w) (x,y,w)→(x/w,y/w)（当 w ≠ 0 w \neq 0 w=0）

图解说明：
添加w=1 除以w 普通坐标
(x, y) 齐次坐标
(x, y, 1) 普通坐标
(x/w, y/w)

💡 说明：齐次坐标是一个技巧（trick），通过添加一个维度来统一表示所有变换

类比理解：就像给二维地图添加一个高度维度，变成三维地图，可以更方便地表示某些操作。

4.2 用齐次坐标表示平移（Translation Solution）：用3×3矩阵表示平移

概念的本质：

使用齐次坐标，平移可以用3×3矩阵表示：

$x ' y ' 1$ = $1 0 t x 0 1 t y 0 0 1$ $x y 1$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} x′y′1 = 100010txty1 xy1

优势：

统一了所有变换的表示方法
可以方便地组合多个变换
矩阵乘法可以表示变换的组合

4.3 用齐次坐标表示旋转和缩放（Rotation and Scaling in Homogeneous Coordinates）：统一用3×3矩阵表示

概念的本质：

旋转也可以用3×3矩阵表示，形式为：
$cos θ - sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} cosθsinθ0−sinθcosθ0001

缩放的齐次坐标表示：

缩放也可以用3×3矩阵表示，形式为：
$s x 0 0 0 s y 0 0 0 1$ \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} sx000sy0001

组合变换：

多个变换可以通过矩阵乘法组合：
M 组合 = M 3 ⋅ M 2 ⋅ M 1 M_{组合} = M_3 \cdot M_2 \cdot M_1 M组合=M3⋅M2⋅M1

五、变换的层次（Affine transformations / Projective Transformations）：从仿射到投影的递进关系

前面我们知道了：齐次坐标可以统一表示平移、旋转、缩放等变换。

但遇到了问题：还有哪些更复杂的变换？它们之间有什么关系？

这一章要解决：理解仿射变换和投影变换，以及变换的层次关系。

答案：变换有层次关系：线性变换 → 仿射变换 → 投影变换，功能越来越强大，但保持的性质越来越少。

$!NOTE$
📝 关键点总结：变换分为三个层次：线性变换（保持原点）、仿射变换（保持平行线）、投影变换（只保持直线）。投影变换最强大，可以表示透视效果。

5.1 仿射变换（Affine Transformation / Basic affine transformations）：线性变换和平移的组合

概念的本质：

仿射变换是线性变换和平移的组合，可以用以下形式的3×3矩阵表示：

$a b t x c d t y 0 0 1$ \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ac0bd0txty1

仿射变换的性质：

原点不一定映射到原点
直线映射到直线
平行线保持平行（重要性质）
比例关系保持不变

基本仿射变换：

平移
2D平面内旋转
剪切（Shear）
缩放

图解说明：
仿射变换线性变换 + 平移保持平行线保持比例

实际应用：

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图像校正：
- 校正扫描文档的倾斜
- 校正相机拍摄的角度
- 保持平行线关系

5.2 投影变换（Projective Transformation / Homographies / Planar Perspective Maps）：最一般的平面变换

概念的本质：

投影变换（也称为单应性，Homography）是最一般的平面变换，可以用以下形式的3×3矩阵表示：

$a b c d e f g h i$ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} adgbehcfi

其中最后一行不一定是 $0 , 0 , 1$ $0, 0, 1$ $0,0,1$ 。

投影变换的性质：

原点不一定映射到原点
直线映射到直线
平行线不一定保持平行（可能相交）
比例关系不保持

图解说明：
投影变换最一般的变换可以表示透视效果平行线可能相交

实际应用：

复制代码

透视校正：
- 校正透视畸变（如拍摄建筑物时的透视效果）
- 图像拼接
- 虚拟现实中的纹理映射

5.3 变换的层次关系（These transformations are a nested set of groups）：嵌套的变换集合

概念的本质：

变换是一个嵌套的集合（nested set of groups）：

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线性变换
  └─ 仿射变换（线性变换 + 平移）
      └─ 投影变换（最一般）

图解说明：
投影变换
最强大
只保持直线仿射变换
保持平行线线性变换
保持原点

性质对比：

变换类型	保持原点	保持平行线	保持比例	矩阵形式
线性变换	✅	✅	✅	2×2或3×3（最后行 $0,0,1$ ）
仿射变换	❌	✅	✅	3×3（最后行 $0,0,1$ ）
投影变换	❌	❌	❌	3×3（任意）

实际应用选择：

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选择变换类型的原则：
- 只需要旋转、缩放 → 线性变换
- 需要平移 → 仿射变换
- 需要透视效果 → 投影变换

📝 本章总结

核心要点回顾：

图像变换的两种类型：图像滤波改变像素值，图像变形改变像素位置
基本几何变换：平移、旋转、缩放是图像变换的基础，可以组合使用
线性变换：可以用2×2矩阵表示，包括缩放、旋转、剪切、镜像
齐次坐标：通过添加坐标维度，可以用3×3矩阵统一表示包括平移在内的所有变换
变换层次：线性变换 → 仿射变换 → 投影变换，功能越来越强大，但保持的性质越来越少

知识地图：
图像变换图像滤波
改变像素值图像变形
改变像素位置基本变换
平移、旋转、缩放线性变换
矩阵表示齐次坐标
统一表示仿射变换
线性+平移投影变换
透视效果

关键决策点：

需要改变像素值 → 图像滤波
需要改变像素位置 → 图像变形（几何变换）
只需要旋转、缩放 → 线性变换
需要平移 → 仿射变换
需要透视效果 → 投影变换

实际应用场景：

图像配准：找到两幅图像之间的变换关系
图像校正：校正倾斜、透视畸变
图像拼接：将多幅图像拼接成全景图
目标跟踪：跟踪目标的几何变换
虚拟现实：纹理映射和场景变换