数据结构：树状数组

树状数组

一、树状数组的定义

树状数组（Binary Indexed Tree，简称 BIT）是一种高效的数组结构，专门用于处理单点更新 和前缀和查询操作，也可扩展处理区间查询、区间更新等问题。

它的核心优势是实现简单、空间复杂度低，相较于线段树，树状数组代码更简洁，常数更小，适合处理一维的前缀和相关问题。

资料：https://pan.quark.cn/s/43d906ddfa1b、https://pan.quark.cn/s/90ad8fba8347、https://pan.quark.cn/s/d9d72152d3cf

二、树状数组的核心原理

1. 二进制分解

树状数组的设计基于数字的二进制分解。对于一个正整数 x，其最低位的 1 对应的数值记为 lowbit(x)，例如：

lowbit(6)（二进制 110）= 2（二进制 10）
lowbit(8)（二进制 1000）= 8（二进制 1000）

lowbit(x) 的计算方法：lowbit(x) = x & -x（利用补码特性，负数的二进制是原码取反加 1）。

2. 数组结构

树状数组用一个数组 tree 存储信息，tree[i] 表示原数组中从 i - lowbit(i) + 1 到 i 这个区间的和（以区间和为例）。

叶子节点对应原数组的单个元素；
非叶子节点对应原数组的一段连续区间，区间长度由 lowbit(i) 决定。

三、树状数组的核心操作

1. 单点更新（Point Update）

将原数组中第 idx 位置的元素增加 val（也可扩展为修改为指定值），需要更新树状数组中所有包含 idx 的区间节点。

操作逻辑：从 idx 出发，不断加上 lowbit(idx)，直到超出数组长度，依次更新对应位置的 tree 值。

2. 前缀和查询（Prefix Sum Query）

查询原数组中从第 1 位到第 idx 位的前缀和（树状数组通常从 1 开始索引，避免处理 0 的 lowbit 问题）。

操作逻辑：从 idx 出发，不断减去 lowbit(idx)，直到为 0，累加对应位置的 tree 值。

3. 区间查询（Range Sum Query）

查询原数组中 [l, r] 区间的和，可通过前缀和推导：query(r) - query(l - 1)。

四、时间复杂度

单点更新：O(log n)，每次更新最多遍历 log n 个节点；
前缀和查询：O(log n)，每次查询最多遍历 log n 个节点；
区间查询：基于两次前缀和查询，时间复杂度仍为 O(log n)。

五、树状数组的实现示例（以区间和为例）

python 复制代码

class BinaryIndexedTree:
    def __init__(self, data):
        # 原数组（从1开始索引）
        self.n = len(data)
        self.tree = [0] * (self.n + 1)
        # 初始化树状数组
        for i in range(1, self.n + 1):
            self.update(i, data[i - 1])
    
    def lowbit(self, x):
        # 计算最低位的1对应的数值
        return x & -x
    
    def update(self, idx, val):
        # 单点更新：将idx位置增加val（idx从1开始）
        while idx <= self.n:
            self.tree[idx] += val
            idx += self.lowbit(idx)
    
    def query(self, idx):
        # 查询前缀和：[1, idx]（idx从1开始）
        res = 0
        while idx > 0:
            res += self.tree[idx]
            idx -= self.lowbit(idx)
        return res
    
    def range_query(self, l, r):
        # 查询区间和：[l, r]（l、r从1开始）
        return self.query(r) - self.query(l - 1)

使用示例

python 复制代码

# 原数组（索引0开始）
data = [1, 2, 3, 4, 5]
# 初始化树状数组（内部自动转为1开始索引）
bit = BinaryIndexedTree(data)

# 查询前缀和：[1, 3]（对应原数组[0,2]）
print(bit.query(3))  # 输出6（1+2+3）

# 查询区间和：[2,4]（对应原数组[1,3]）
print(bit.range_query(2, 4))  # 输出9（2+3+4）

# 单点更新：将原数组索引3（树状数组索引4）的值加2（原4→6）
bit.update(4, 2)

# 再次查询区间和：[2,4]
print(bit.range_query(2, 4))  # 输出11（2+3+6）

六、树状数组的扩展应用

1. 区间更新 + 单点查询

通过"差分思想"实现：

区间 [l, r] 加 val：执行 update(l, val) 和 update(r+1, -val)；
单点查询 idx：查询前缀和 query(idx)（差分的前缀和即为原数组值）。

2. 区间更新 + 区间查询

需要维护两个树状数组，结合差分公式推导，可实现区间加、区间和查询。

3. 其他统计场景

除了区间和，树状数组还可处理：

区间最大值/最小值（需特殊处理，不如线段树灵活）；
逆序对统计（将数组离散化后，从后往前查询比当前数小的元素个数）；
频率统计（统计某个数值范围内的元素个数）。

七、树状数组与线段树的对比

特性	树状数组	线段树
实现难度	简单，代码量少	较复杂，代码量多
空间复杂度	O(n)	O(4n)
单点更新	O(log n)，常数小	O(log n)，常数稍大
区间查询	仅擅长前缀和衍生的查询	支持任意区间统计（和、最值等）
区间更新	需差分扩展，场景有限	结合懒标记，支持任意区间更新

八、适用场景

一维数组的单点更新 + 前缀和/区间和查询（树状数组的最优场景）；
逆序对、频率统计等基于前缀和的统计问题；
数据量较大，对代码简洁性和常数效率要求高的场景。