数据结构：线段树

线段树

一、线段树的定义

线段树是一种二叉搜索树，它将一个区间划分为若干个子区间，每个叶子节点对应原区间的一个单个元素，非叶子节点对应原区间的一个子区间。

线段树的主要作用是高效处理区间查询 和单点/区间更新操作，常见的应用场景包括区间最大值、最小值、区间和的查询与更新等。

资料：https://pan.quark.cn/s/43d906ddfa1b、https://pan.quark.cn/s/90ad8fba8347、https://pan.quark.cn/s/d9d72152d3cf

二、线段树的基本结构

节点含义
- 每个节点存储对应区间的信息，例如区间和、区间最大值等。
- 若一个节点对应的区间是 [l, r]，且 l != r，则该节点会被划分为左右两个子节点，分别对应区间 [l, mid] 和 [mid+1, r]，其中 mid = (l + r) / 2。
- 叶子节点对应的区间满足 l = r，存储的是原数组中单个元素的值。
树的形态
- 线段树是一棵近似完全二叉树，对于长度为 n 的原数组，线段树的节点总数约为 4 * n，因此在实现时通常会开辟 4 * n 大小的数组来存储线段树。

三、线段树的核心操作

1. 构建（Build）

构建操作是将原数组的信息填充到线段树的各个节点中，自底向上进行。

递归终止条件：当 l == r 时，当前节点的值等于原数组中下标为 l 的元素值。
递归过程：先递归构建左子树和右子树，再根据左右子节点的值计算当前节点的值。

2. 单点更新（Point Update）

单点更新是修改原数组中某个位置的元素值，并更新线段树中相关的节点。

递归终止条件：当 l == r 时，修改当前节点的值。
递归过程：根据要更新的位置，判断是在左子树还是右子树，递归更新对应子树，然后回溯更新当前节点的值。

3. 区间查询（Range Query）

区间查询是查询原数组中某个区间 [ql, qr] 的统计信息，例如区间和、区间最大值等。

递归终止条件：如果当前节点对应的区间 [l, r] 完全在查询区间 [ql, qr] 内，直接返回当前节点的值。
递归过程：如果当前节点的区间与查询区间无交集，返回无效值；否则递归查询左右子树，合并左右子树的查询结果并返回。

四、线段树的时间复杂度

构建操作：时间复杂度为 O(n)，需要遍历所有节点一次。
单点更新操作：时间复杂度为 O(log n)，每次更新最多需要遍历树的高度次节点。
区间查询操作：时间复杂度为 O(log n)，每次查询最多需要遍历树的高度次节点。

五、线段树的实现示例以区间和为例

python 复制代码

class SegmentTree:
    def __init__(self, data):
        self.n = len(data)
        self.tree = [0] * (4 * self.n)
        self.build(0, 0, self.n - 1, data)
    
    def build(self, node, l, r, data):
        if l == r:
            self.tree[node] = data[l]
            return
        mid = (l + r) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        self.build(left_node, l, mid, data)
        self.build(right_node, mid + 1, r, data)
        self.tree[node] = self.tree[left_node] + self.tree[right_node]
    
    def update_point(self, idx, val):
        self._update(0, 0, self.n - 1, idx, val)
    
    def _update(self, node, l, r, idx, val):
        if l == r:
            self.tree[node] = val
            return
        mid = (l + r) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        if idx <= mid:
            self._update(left_node, l, mid, idx, val)
        else:
            self._update(right_node, mid + 1, r, idx, val)
        self.tree[node] = self.tree[left_node] + self.tree[right_node]
    
    def query_range(self, ql, qr):
        return self._query(0, 0, self.n - 1, ql, qr)
    
    def _query(self, node, l, r, ql, qr):
        if r < ql or l > qr:
            return 0
        if ql <= l and r <= qr:
            return self.tree[node]
        mid = (l + r) // 2
        left_node = 2 * node + 1
        right_node = 2 * node + 2
        left_sum = self._query(left_node, l, mid, ql, qr)
        right_sum = self._query(right_node, mid + 1, r, ql, qr)
        return left_sum + right_sum

六、线段树的应用场景

区间统计类问题：如区间和、区间最大值、区间最小值、区间最大公约数等查询与更新。
离线与在线问题：线段树可以处理在线的动态更新和查询操作，相较于前缀和等静态方法更灵活。
复杂区间操作：结合懒标记可以处理区间加、区间乘等区间更新操作。

七、扩展懒标记

当需要进行区间更新操作时，直接递归更新每个节点会导致时间复杂度升高，此时可以引入懒标记 （延迟标记）。

懒标记的核心思想是：当更新的区间完全覆盖当前节点的区间时，先记录更新操作，不立即向下更新子节点，等到后续查询或更新操作需要访问子节点时，再将标记下传，完成子节点的更新。