MATLAB中主成分分析（PCA）与相关性分析的实现

一、相关性分析程序

1. 基本Pearson相关系数计算

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% 加载数据（假设数据存储在矩阵X中，每列代表一个变量）
X = load('data.mat');  % 替换为实际文件路径

% 计算相关系数矩阵（默认Pearson）
corr_matrix = corr(X);

% 显著性检验（p值）
[p_values, ~] = corr(X, 'type', 'pearson', 'rows', 'complete');

% 可视化热力图
figure;
heatmap(corr_matrix, 'XData', X.Properties.VariableNames, ...
        'YData', X.Properties.VariableNames, ...
        'ColorMap', parula);
title('Pearson相关系数热力图');
xlabel('变量X');
ylabel('变量Y');

说明：

corr()函数默认计算Pearson相关系数，若需Spearman或Kendall相关系数，需指定'type'参数。
p_values矩阵中每个元素对应相关系数的显著性水平（p值<0.05表示显著相关）。

2. 多变量相关性分析（含缺失值处理）

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% 读取含缺失值的数据
data = readtable('data_with_nan.xlsx');

% 计算相关系数矩阵（排除含缺失值的行）
[corr_matrix, p_values] = corr(data, 'rows', 'complete');

% 输出显著相关对（p值<0.01）
significant_corr = corr_matrix(p_values < 0.01);
disp('显著相关系数矩阵:');
disp(significant_corr);

二、主成分分析（PCA）程序

1. 基础PCA实现（含数据标准化）

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% 加载数据并标准化（消除量纲影响）
X = load('data.mat');
X_standardized = zscore(X);  % 标准化（均值为0，标准差为1）

% 执行PCA
[coeff, score, latent, tsquared, explained] = pca(X_standardized);

% 输出结果
disp('主成分载荷矩阵:');
disp(coeff);
disp('各主成分解释方差比例:');
disp(explained);

% 碎石图（确定主成分数量）
figure;
pareto(explained / sum(explained) * 100);
xlabel('主成分序号');
ylabel('累计方差贡献率 (%)');
title('碎石图');

说明：

zscore()函数对数据进行标准化，确保各变量量纲一致。
explained向量表示每个主成分解释的方差比例，累计贡献率≥85%时停止降维。

2. 主成分得分与可视化

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% 计算前两个主成分得分
score_top2 = score(:, 1:2);

% 绘制散点图（观察样本分布）
figure;
gscatter(score_top2(:,1), score_top2(:,2));
xlabel('第一主成分');
ylabel('第二主成分');
title('主成分得分分布');

% 添加原始变量方向向量（载荷向量）
hold on;
quiver(mean(score_top2(:,1)), mean(score_top2(:,2)), ...
       mean(coeff(:,1)*10), mean(coeff(:,2)*10), 'r', 'LineWidth', 2);
legend('样本点', '变量方向');
hold off;

3. 基于协方差矩阵的PCA（手动计算）

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% 计算协方差矩阵
cov_matrix = cov(X_standardized);

% 特征值分解
[eigenvectors, eigenvalues] = eig(cov_matrix);
[~, idx] = sort(diag(eigenvalues), 'descend');
eigenvectors = eigenvectors(:, idx);

% 主成分投影
projected_data = X_standardized * eigenvectors;

% 输出前两个主成分
PC1 = projected_data(:, 1);
PC2 = projected_data(:, 2);

三、综合应用示例

1. 数据预处理与PCA

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% 加载示例数据（MATLAB自带）
load carsmall;
X = [Horsepower Weight Acceleration MPG];

% 处理缺失值（删除含NaN的行）
X = rmmissing(X);

% 标准化数据
X_standardized = zscore(X);

% 执行PCA
[coeff, score, latent] = pca(X_standardized);

% 输出结果
disp('主成分载荷:');
disp(coeff);
disp('方差解释率:');
disp(latent / sum(latent) * 100);

2. 主成分重构与残差分析

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% 重构数据（保留前两个主成分）
reconstructed_data = score(:, 1:2) * coeff(:, 1:2)';

% 计算残差
residuals = X_standardized - reconstructed_data;

% 绘制残差热力图
figure;
heatmap(residuals, 'XData', X.Properties.VariableNames, ...
        'YData', X.Properties.VariableNames, ...
        'ColorMap', parula);
title('主成分重构残差热力图');

四、关键函数与参数说明

函数	功能描述	示例参数
`pca()`	执行主成分分析，返回载荷矩阵、得分、方差解释率等	`pca(X, 'NumComponents', 3)`
`corr()`	计算相关系数矩阵（支持Pearson/Spearman/Kendall）	`corr(X, 'type', 'spearman')`
`zscore()`	数据标准化（均值为0，标准差为1）	`zscore(X)`
`eig()`	计算矩阵特征值与特征向量	`[V,D] = eig(A)`
`pareto()`	绘制帕累托图（用于确定主成分数量）	`pareto(percent_explained)`

参考代码用于主成分分析，相关性分析的程序 www.youwenfan.com/contentcsn/82494.html

五、注意事项

数据标准化 ：PCA对量纲敏感，必须先标准化（推荐zscore）。
缺失值处理 ：使用rmmissing()删除含缺失值的行，或通过'rows', 'pairwise'参数计算相关系数。
主成分选择：通过碎石图或累计方差贡献率（通常≥85%）确定保留的主成分数量。
结果解释 ：主成分载荷矩阵（coeff）的绝对值越大，对应原始变量对主成分的贡献越高。