线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.9 线性变换的矩阵

simon_skywalker2025-12-10 8:30

1.9

练习

您说得对，我应该按照约定的格式提供完整详细的解答。请允许我重新整理这两道题目：

  1. 设 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 为一个线性变换，它先作水平剪切变换，将 e2e_2e2 映射为 e2−0.5e1e_2 - 0.5e_1e2−0.5e1（但 e1e_1e1 不变），然后再作关于 x2x_2x2 轴的对称变换。假设 TTT 是线性的，求它的标准矩阵。

解答：

  1. 首先，确定剪切变换 SSS 的标准矩阵：

    • S(e1)=e1=10S(e_1) = e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}S(e1)=e1=10
    • S(e2)=e2−0.5e1=−0.51S(e_2) = e_2 - 0.5e_1 = \begin{bmatrix} -0.5 \\ 1 \end{bmatrix}S(e2)=e2−0.5e1=−0.51
    • 所以 SSS 的标准矩阵为 AS=1−0.501A_S = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}AS=10−0.51

  2. 其次，确定关于 x2x_2x2 轴的对称变换 RRR 的标准矩阵：

    • R(e1)=−e1=−10R(e_1) = -e_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}R(e1)=−e1=−10
    • R(e2)=e2=01R(e_2) = e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}R(e2)=e2=01
    • 所以 RRR 的标准矩阵为 AR=−1001A_R = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}AR=−1001

  3. 复合变换 T=R∘ST = R \circ ST=R∘S 的标准矩阵是矩阵乘积 AR⋅ASA_R \cdot A_SAR⋅AS：
    AT=−10011−0.501=−10.501 A_T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} AT=−100110−0.51=−100.51

结论 ：
TTT 的标准矩阵为 −10.501\begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}−100.51

  1. 若 AAA 是有 5 个主元的 7×57 \times 57×5 矩阵。设 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax 是一个 R5\mathbb{R}^5R5 到 R7\mathbb{R}^7R7 的线性变换，TTT 是一个一对一线性变换吗？是映上到 R7\mathbb{R}^7R7 吗？

解答：

  1. 关于一对一性（单射）：

    • AAA 是 7×57 \times 57×5 矩阵，有 5 个主元，等于列数
    • 每列都有主元，说明列向量线性无关
    • 由线性变换的性质，当且仅当 AAA 的列线性无关时，TTT 是一对一的
    • 因此 TTT 是一对一的线性变换

  2. 关于满射性（映上）：

    • AAA 有 7 行，但只有 5 个主元
    • 要使 TTT 映上到 R7\mathbb{R}^7R7，AAA 必须有 7 个主元（每行一个）
    • 由于主元数 5 < 7，AAA 的列不能生成整个 R7\mathbb{R}^7R7
    • 由线性变换的性质，当且仅当 AAA 的列生成 R7\mathbb{R}^7R7 时，TTT 是满射
    • 因此 TTT 不是映上到 R7\mathbb{R}^7R7 的变换

结论 ：
TTT 是一对一的线性变换，但不是映上到 R7\mathbb{R}^7R7 的变换。

习题1.9

  1. T:R2→R4T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^4T:R2→R4，T(e1)=(3,1,3,1)T(e_1) = (3,1,3,1)T(e1)=(3,1,3,1)，T(e2)=(−5,2,0,0)T(e_2) = (-5,2,0,0)T(e2)=(−5,2,0,0)，其中 e1=(1,0)e_1 = (1,0)e1=(1,0)，e2=(0,1)e_2 = (0,1)e2=(0,1)。

解答 ：

线性变换 TTT 的标准矩阵 AAA 由 T(e1)T(e_1)T(e1) 和 T(e2)T(e_2)T(e2) 作为列向量构成。
T(e1)=3131T(e_1) = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}T(e1)= 3131 ，T(e2)=−5200T(e_2) = \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}T(e2)= −5200 。

因此，标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=3−5123010A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A= 3131−5200

  1. T:R3→R2T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2T:R3→R2，T(e1)=(1,3)T(e_1) = (1,3)T(e1)=(1,3)，T(e2)=(4,−7)T(e_2) = (4,-7)T(e2)=(4,−7)，T(e3)=(−5,4)T(e_3) = (-5,4)T(e3)=(−5,4)，其中 e1,e2,e3e_1, e_2, e_3e1,e2,e3 是 3×33 \times 33×3 单位矩阵的列。

解答 ：

线性变换 TTT 的标准矩阵 AAA 由 T(e1)T(e_1)T(e1)、T(e2)T(e_2)T(e2) 和 T(e3)T(e_3)T(e3) 作为列向量构成。
T(e1)=13T(e_1) = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}T(e1)=13，T(e2)=4−7T(e_2) = \begin{bmatrix} 4 \\ -7 \end{bmatrix}T(e2)=4−7，T(e3)=−54T(e_3) = \begin{bmatrix} -5 \\ 4 \end{bmatrix}T(e3)=−54。

因此，标准矩阵 A=T(e1) T(e2) T(e3)A = T(e_1) \\ T(e_2) \\ T(e_3)A=T(e1) T(e2) T(e3)。

结论 ：
A=14−53−74A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 4 \end{bmatrix}A=134−7−54

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 将点绕原点逆时针旋转 3π/23\pi/23π/2 弧度。

解答 ：
绕原点逆时针旋转 θ\thetaθ 弧度的变换矩阵为 cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}cosθsinθ−sinθcosθ 。

当 θ=3π/2\theta = 3\pi/2θ=3π/2 时：
cos⁡(3π/2)=0\cos(3\pi/2) = 0cos(3π/2)=0，sin⁡(3π/2)=−1\sin(3\pi/2) = -1sin(3π/2)=−1。

因此，T(e1)=0−1T(e_1) = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}T(e1)=0−1，T(e2)=10T(e_2) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}T(e2)=10。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=01−10A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}A=0−110

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 将点绕原点顺时针旋转 −π/4-\pi/4−π/4 弧度。

解答 ：

绕原点顺时针旋转 −π/4-\pi/4−π/4 弧度等同于逆时针旋转 π/4\pi/4π/4 弧度。

旋转矩阵为 cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}cosθsinθ−sinθcosθ，其中 θ=π/4\theta = \pi/4θ=π/4。
cos⁡(π/4)=sin⁡(π/4)=12\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}cos(π/4)=sin(π/4)=2 1。

因此，T(e1)=1/2−1/2T(e_1) = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}T(e1)=1/2 −1/2 ，T(e2)=1/21/2T(e_2) = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}T(e2)=1/2 1/2 。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=1/21/2−1/21/2A = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}A=1/2 −1/2 1/2 1/2

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是垂直剪切变换，将 e1e_1e1 映射为 e1−2e2e_1-2e_2e1−2e2 而保持向量 e2e_2e2 不变。

解答 ：

垂直剪切变换保持 e2e_2e2 不变，即 T(e2)=e2=01T(e_2) = e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}T(e2)=e2=01。
e1e_1e1 被映射为 e1−2e2=1−2e_1-2e_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}e1−2e2=1−2。

因此，T(e1)=1−2T(e_1) = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}T(e1)=1−2，T(e2)=01T(e_2) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}T(e2)=01。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=10−21A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}A=1−201

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 是水平剪切变换，将 e2e_2e2 映为 e2+3e1e_2+3e_1e2+3e1 而保持向量 e1e_1e1 不变。

解答 ：

水平剪切变换保持 e1e_1e1 不变，即 T(e1)=e1=10T(e_1) = e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}T(e1)=e1=10。
e2e_2e2 被映射为 e2+3e1=31e_2+3e_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}e2+3e1=31。

因此，T(e1)=10T(e_1) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}T(e1)=10，T(e2)=31T(e_2) = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}T(e2)=31。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=1301A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}A=1031

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 先绕原点顺时针旋转 −3π/4-3\pi/4−3π/4 弧度，再关于水平 x1x_1x1 轴作对称变换。

解答：

  1. 顺时针旋转 −3π/4-3\pi/4−3π/4 弧度（等同于逆时针旋转 5π/45\pi/45π/4 弧度）：

    • 旋转矩阵为 cos⁡(−3π/4)−sin⁡(−3π/4)sin⁡(−3π/4)cos⁡(−3π/4)=−1/2−1/2−1/21/2\begin{bmatrix} \cos(-3\pi/4) & -\sin(-3\pi/4) \\ \sin(-3\pi/4) & \cos(-3\pi/4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}cos(−3π/4)sin(−3π/4)−sin(−3π/4)cos(−3π/4)=−1/2 −1/2 −1/2 1/2
    • e1e_1e1 旋转后变为 (−1/2,−1/2)(-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})(−1/2 ,−1/2 )
    • e2e_2e2 旋转后变为 (−1/2,1/2)(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})(−1/2 ,1/2 )

  2. 关于 x1x_1x1 轴的对称变换：

    • 将点 (x1,x2)(x_1, x_2)(x1,x2) 映射为 (x1,−x2)(x_1, -x_2)(x1,−x2)
    • (−1/2,−1/2)(-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})(−1/2 ,−1/2 ) 变为 (−1/2,1/2)(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})(−1/2 ,1/2 )
    • (−1/2,1/2)(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})(−1/2 ,1/2 ) 变为 (−1/2,−1/2)(-1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})(−1/2 ,−1/2 )

因此，T(e1)=−1/21/2T(e_1) = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}T(e1)=−1/2 1/2 ，T(e2)=−1/2−1/2T(e_2) = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}T(e2)=−1/2 −1/2 。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=−1/2−1/21/2−1/2A = \begin{bmatrix} -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}A=−1/2 1/2 −1/2 −1/2

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 先关于水平 x1x_1x1 轴作对称变换，再关于直线 x2=x1x_2 = x_1x2=x1 作对称变换。

解答：

  1. 关于 x1x_1x1 轴的对称变换：

    • e1=(1,0)e_1 = (1,0)e1=(1,0) 变为 (1,0)(1,0)(1,0)
    • e2=(0,1)e_2 = (0,1)e2=(0,1) 变为 (0,−1)(0,-1)(0,−1)

  2. 关于直线 x2=x1x_2 = x_1x2=x1 的对称变换：

    • 将点 (x1,x2)(x_1, x_2)(x1,x2) 映射为 (x2,x1)(x_2, x_1)(x2,x1)
    • (1,0)(1,0)(1,0) 变为 (0,1)(0,1)(0,1)
    • (0,−1)(0,-1)(0,−1) 变为 (−1,0)(-1,0)(−1,0)

因此，T(e1)=01T(e_1) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}T(e1)=01，T(e2)=−10T(e_2) = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}T(e2)=−10。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=0−110A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A=01−10

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 先作水平剪切变换，将 e2e_2e2 映为 e2−2e1e_2-2e_1e2−2e1 而保持向量 e1e_1e1 不变，再关于直线 x2=−x1x_2 = -x_1x2=−x1 作对称变换。

解答：

  1. 水平剪切变换：

    • e1=(1,0)e_1 = (1,0)e1=(1,0) 保持不变，即 (1,0)(1,0)(1,0)
    • e2=(0,1)e_2 = (0,1)e2=(0,1) 变为 (−2,1)(-2,1)(−2,1)

  2. 关于直线 x2=−x1x_2 = -x_1x2=−x1 的对称变换：

    • 将点 (x1,x2)(x_1, x_2)(x1,x2) 映射为 (−x2,−x1)(-x_2, -x_1)(−x2,−x1)
    • (1,0)(1,0)(1,0) 变为 (0,−1)(0,-1)(0,−1)
    • (−2,1)(-2,1)(−2,1) 变为 (−1,2)(-1,2)(−1,2)

因此，T(e1)=0−1T(e_1) = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}T(e1)=0−1，T(e2)=−12T(e_2) = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}T(e2)=−12。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=0−1−12A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}A=0−1−12

  1. T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 先关于水平 x2x_2x2 轴作对称变换，再绕原点顺时针旋转 π/2\pi/2π/2 弧度。

解答：

  1. 关于 x2x_2x2 轴的对称变换：

    • e1=(1,0)e_1 = (1,0)e1=(1,0) 变为 (−1,0)(-1,0)(−1,0)
    • e2=(0,1)e_2 = (0,1)e2=(0,1) 保持不变，即 (0,1)(0,1)(0,1)

  2. 顺时针旋转 π/2\pi/2π/2 弧度（等同于逆时针旋转 3π/23\pi/23π/2 弧度）：

    • 旋转矩阵为 01−10\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}0−110
    • (−1,0)(-1,0)(−1,0) 变为 (0,1)(0,1)(0,1)
    • (0,1)(0,1)(0,1) 变为 (1,0)(1,0)(1,0)

因此，T(e1)=01T(e_1) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}T(e1)=01，T(e2)=10T(e_2) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}T(e2)=10。

标准矩阵 A=T(e1) T(e2)A = T(e_1) \\ T(e_2)A=T(e1) T(e2)。

结论 ：
A=0110A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A=0110

!CAUTION

绕原点逆时针旋转 θ\thetaθ 弧度的变换矩阵为 cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}cosθsinθ−sinθcosθ。

绕原点顺时针旋转 θ\thetaθ 弧度的变换矩阵为 cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}cosθ−sinθsinθcosθ
11. 线性变换 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 先关于 x1x_1x1 轴作对称变换，再关于 x2x_2x2 轴作对称变换。证明 TTT 也可被描述为一个绕原点旋转的线性变换。旋转的角度是多少？

解答：

  1. 关于 x1x_1x1 轴的对称变换矩阵为 A1=100−1A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}A1=100−1
  2. 关于 x2x_2x2 轴的对称变换矩阵为 A2=−1001A_2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}A2=−1001
  3. 复合变换 TTT 的标准矩阵为 A=A2A1=−1001100−1=−100−1A = A_2A_1 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}A=A2A1=−1001100−1=−100−1

旋转矩阵的一般形式为 cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}cosθsinθ−sinθcosθ。

当 θ=π\theta = \piθ=π 时，cos⁡π=−1\cos\pi = -1cosπ=−1，sin⁡π=0\sin\pi = 0sinπ=0，得到 −100−1\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}−100−1，与 AAA 完全一致。

结论 ：
TTT 是一个绕原点旋转 π\piπ 弧度（180°）的线性变换。

  1. 证明：习题 8 中的变换只不过是一个绕原点的旋转。旋转的角度是多少？

解答 ：

习题 8 中的变换是先关于水平 x1x_1x1 轴作对称变换，再关于直线 x2=x1x_2 = x_1x2=x1 作对称变换。

  1. 关于 x1x_1x1 轴的对称变换矩阵为 A1=100−1A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}A1=100−1
  2. 关于直线 x2=x1x_2 = x_1x2=x1 的对称变换矩阵为 A2=0110A_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A2=0110
  3. 复合变换 TTT 的标准矩阵为 A=A2A1=0110100−1=0−110A = A_2A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A=A2A1=0110100−1=01−10

旋转矩阵的一般形式为 cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}cosθsinθ−sinθcosθ。

当 θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}θ=2π 时，cos⁡π2=0\cos\frac{\pi}{2} = 0cos2π=0，sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2} = 1sin2π=1，得到 0−110\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}01−10，与 AAA 完全一致。

结论 ：

习题 8 中的变换是一个绕原点旋转 π2\frac{\pi}{2}2π 弧度（90°）的线性变换。

  1. 填上矩阵中未写出的元素，假设方程对变量的所有值都成立。
    ?????????x1x2x3=3x1−2x34x1x1−x2+x3\begin{bmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x_1 - 2x_3 \\ 4x_1 \\ x_1 - x_2 + x_3 \end{bmatrix} ????????? x1x2x3 = 3x1−2x34x1x1−x2+x3

解答：

  1. 右边第一行 3x1−2x33x_1 - 2x_33x1−2x3 对应矩阵第一行：3,0,−23, 0, -23,0,−2
  2. 右边第二行 4x14x_14x1 对应矩阵第二行：4,0,04, 0, 04,0,0
  3. 右边第三行 x1−x2+x3x_1 - x_2 + x_3x1−x2+x3 对应矩阵第三行：1,−1,11, -1, 11,−1,1

结论 ：

矩阵为 30−24001−11\begin{bmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 4 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} 34100−1−201

  1. 填上矩阵中未写出的元素，假设方程对变量的所有值都成立。
    ??????x1x2=x1−x2−2x1+x2x1\begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 - x_2 \\ -2x_1 + x_2 \\ x_1 \end{bmatrix} ?????? x1x2= x1−x2−2x1+x2x1

解答：

  1. 右边第一行 x1−x2x_1 - x_2x1−x2 对应矩阵第一行：1,−11, -11,−1
  2. 右边第二行 −2x1+x2-2x_1 + x_2−2x1+x2 对应矩阵第二行：−2,1-2, 1−2,1
  3. 右边第三行 x1x_1x1 对应矩阵第三行：1,01, 01,0

结论 ：

矩阵为 1−1−2110\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 1−21−110

  1. T(x1,x2,x3,x4)=(0,x1+x2,x2+x3,x3+x4)T(x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, x_1 + x_2, x_2 + x_3, x_3 + x_4)T(x1,x2,x3,x4)=(0,x1+x2,x2+x3,x3+x4)

解答 ：

设 x=(x1,x2,x3,x4)x = (x_1, x_2, x_3, x_4)x=(x1,x2,x3,x4)，y=(y1,y2,y3,y4)y = (y_1, y_2, y_3, y_4)y=(y1,y2,y3,y4) 为 R4\mathbb{R}^4R4 中的向量，c,dc, dc,d 为标量。

计算 T(cx+dy)T(cx + dy)T(cx+dy)：
T(cx+dy)=T(cx1+dy1,cx2+dy2,cx3+dy3,cx4+dy4) T(cx + dy) = T(cx_1 + dy_1, cx_2 + dy_2, cx_3 + dy_3, cx_4 + dy_4) T(cx+dy)=T(cx1+dy1,cx2+dy2,cx3+dy3,cx4+dy4)

=(0,(cx1+dy1)+(cx2+dy2),(cx2+dy2)+(cx3+dy3),(cx3+dy3)+(cx4+dy4)) = (0, (cx_1 + dy_1) + (cx_2 + dy_2), (cx_2 + dy_2) + (cx_3 + dy_3), (cx_3 + dy_3) + (cx_4 + dy_4)) =(0,(cx1+dy1)+(cx2+dy2),(cx2+dy2)+(cx3+dy3),(cx3+dy3)+(cx4+dy4))

=(0,c(x1+x2)+d(y1+y2),c(x2+x3)+d(y2+y3),c(x3+x4)+d(y3+y4)) = (0, c(x_1 + x_2) + d(y_1 + y_2), c(x_2 + x_3) + d(y_2 + y_3), c(x_3 + x_4) + d(y_3 + y_4)) =(0,c(x1+x2)+d(y1+y2),c(x2+x3)+d(y2+y3),c(x3+x4)+d(y3+y4))

=c(0,x1+x2,x2+x3,x3+x4)+d(0,y1+y2,y2+y3,y3+y4) = c(0, x_1 + x_2, x_2 + x_3, x_3 + x_4) + d(0, y_1 + y_2, y_2 + y_3, y_3 + y_4) =c(0,x1+x2,x2+x3,x3+x4)+d(0,y1+y2,y2+y3,y3+y4)

=cT(x)+dT(y) = cT(x) + dT(y) =cT(x)+dT(y)

结论 ：
TTT 是线性变换。

  1. T(x1,x2)=(2x2−3x1,x1−4x2,0,x2)T(x_1, x_2) = (2x_2 - 3x_1, x_1 - 4x_2, 0, x_2)T(x1,x2)=(2x2−3x1,x1−4x2,0,x2)

解答 ：

设 x=(x1,x2)x = (x_1, x_2)x=(x1,x2)，y=(y1,y2)y = (y_1, y_2)y=(y1,y2) 为 R2\mathbb{R}^2R2 中的向量，c,dc, dc,d 为标量。

计算 T(cx+dy)T(cx + dy)T(cx+dy)：
T(cx+dy)=T(cx1+dy1,cx2+dy2) T(cx + dy) = T(cx_1 + dy_1, cx_2 + dy_2) T(cx+dy)=T(cx1+dy1,cx2+dy2)

=(2(cx2+dy2)−3(cx1+dy1),(cx1+dy1)−4(cx2+dy2),0,cx2+dy2) = (2(cx_2 + dy_2) - 3(cx_1 + dy_1), (cx_1 + dy_1) - 4(cx_2 + dy_2), 0, cx_2 + dy_2) =(2(cx2+dy2)−3(cx1+dy1),(cx1+dy1)−4(cx2+dy2),0,cx2+dy2)

=(c(2x2−3x1)+d(2y2−3y1),c(x1−4x2)+d(y1−4y2),0,cx2+dy2) = (c(2x_2 - 3x_1) + d(2y_2 - 3y_1), c(x_1 - 4x_2) + d(y_1 - 4y_2), 0, cx_2 + dy_2) =(c(2x2−3x1)+d(2y2−3y1),c(x1−4x2)+d(y1−4y2),0,cx2+dy2)

=c(2x2−3x1,x1−4x2,0,x2)+d(2y2−3y1,y1−4y2,0,y2) = c(2x_2 - 3x_1, x_1 - 4x_2, 0, x_2) + d(2y_2 - 3y_1, y_1 - 4y_2, 0, y_2) =c(2x2−3x1,x1−4x2,0,x2)+d(2y2−3y1,y1−4y2,0,y2)

=cT(x)+dT(y) = cT(x) + dT(y) =cT(x)+dT(y)

结论 ：
TTT 是线性变换。

  1. T(x1,x2,x3)=(x1−5x2+4x3,x2−6x3)T(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - 5x_2 + 4x_3, x_2 - 6x_3)T(x1,x2,x3)=(x1−5x2+4x3,x2−6x3)

解答 ：

设 x=(x1,x2,x3)x = (x_1, x_2, x_3)x=(x1,x2,x3)，y=(y1,y2,y3)y = (y_1, y_2, y_3)y=(y1,y2,y3) 为 R3\mathbb{R}^3R3 中的向量，c,dc, dc,d 为标量。

计算 T(cx+dy)T(cx + dy)T(cx+dy)：
T(cx+dy)=T(cx1+dy1,cx2+dy2,cx3+dy3) T(cx + dy) = T(cx_1 + dy_1, cx_2 + dy_2, cx_3 + dy_3) T(cx+dy)=T(cx1+dy1,cx2+dy2,cx3+dy3)

=((cx1+dy1)−5(cx2+dy2)+4(cx3+dy3),(cx2+dy2)−6(cx3+dy3)) = ((cx_1 + dy_1) - 5(cx_2 + dy_2) + 4(cx_3 + dy_3), (cx_2 + dy_2) - 6(cx_3 + dy_3)) =((cx1+dy1)−5(cx2+dy2)+4(cx3+dy3),(cx2+dy2)−6(cx3+dy3))

=(c(x1−5x2+4x3)+d(y1−5y2+4y3),c(x2−6x3)+d(y2−6y3)) = (c(x_1 - 5x_2 + 4x_3) + d(y_1 - 5y_2 + 4y_3), c(x_2 - 6x_3) + d(y_2 - 6y_3)) =(c(x1−5x2+4x3)+d(y1−5y2+4y3),c(x2−6x3)+d(y2−6y3))

=c(x1−5x2+4x3,x2−6x3)+d(y1−5y2+4y3,y2−6y3) = c(x_1 - 5x_2 + 4x_3, x_2 - 6x_3) + d(y_1 - 5y_2 + 4y_3, y_2 - 6y_3) =c(x1−5x2+4x3,x2−6x3)+d(y1−5y2+4y3,y2−6y3)

=cT(x)+dT(y) = cT(x) + dT(y) =cT(x)+dT(y)

结论 ：
TTT 是线性变换。

  1. T(x1,x2,x3,x4)=2x1+3x3−4x4T(x_1, x_2, x_3, x_4) = 2x_1 + 3x_3 - 4x_4T(x1,x2,x3,x4)=2x1+3x3−4x4 （T:R4→RT: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}T:R4→R）

解答 ：

设 x=(x1,x2,x3,x4)x = (x_1, x_2, x_3, x_4)x=(x1,x2,x3,x4)，y=(y1,y2,y3,y4)y = (y_1, y_2, y_3, y_4)y=(y1,y2,y3,y4) 为 R4\mathbb{R}^4R4 中的向量，c,dc, dc,d 为标量。

计算 T(cx+dy)T(cx + dy)T(cx+dy)：
T(cx+dy)=2(cx1+dy1)+3(cx3+dy3)−4(cx4+dy4) T(cx + dy) = 2(cx_1 + dy_1) + 3(cx_3 + dy_3) - 4(cx_4 + dy_4) T(cx+dy)=2(cx1+dy1)+3(cx3+dy3)−4(cx4+dy4)

=c(2x1+3x3−4x4)+d(2y1+3y3−4y4) = c(2x_1 + 3x_3 - 4x_4) + d(2y_1 + 3y_3 - 4y_4) =c(2x1+3x3−4x4)+d(2y1+3y3−4y4)

=cT(x)+dT(y) = cT(x) + dT(y) =cT(x)+dT(y)

结论 ：
TTT 是线性变换。

  1. 设 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 为使 T(x1,x2)=(x1+x2,4x1+5x2)T(x_1, x_2) = (x_1 + x_2, 4x_1 + 5x_2)T(x1,x2)=(x1+x2,4x1+5x2) 的线性变换，求出 xxx，使 T(x)=(3,8)T(x) = (3,8)T(x)=(3,8)。

解答 ：

需要解方程组：
{x1+x2=34x1+5x2=8 \begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ 4x_1 + 5x_2 = 8 \end{cases} {x1+x2=34x1+5x2=8

增广矩阵为：

113458\] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 3 \\\\ 4 \& 5 \& 8 \\end{bmatrix} \[141538

行变换过程：

  1. R2←R2−4R1R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1R2←R2−4R1：11301−4\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}10113−4
  2. R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2R1←R1−R2：10701−4\begin{bmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & -4 \end{bmatrix}10017−4

结论 ：
x=7−4x = \begin{bmatrix} 7 \\ -4 \end{bmatrix}x=7−4

  1. 设 T:R2→R3T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3T:R2→R3 为线性变换，T(x1,x2)=(x1−2x2,−x1+3x2,3x1−2x2)T(x_1, x_2) = (x_1 - 2x_2, -x_1 + 3x_2, 3x_1 - 2x_2)T(x1,x2)=(x1−2x2,−x1+3x2,3x1−2x2)，求出 xxx，使 T(x)=(−1,4,9)T(x) = (-1,4,9)T(x)=(−1,4,9)。

解答 ：

需要解方程组：
{x1−2x2=−1−x1+3x2=43x1−2x2=9 \begin{cases} x_1 - 2x_2 = -1 \\ -x_1 + 3x_2 = 4 \\ 3x_1 - 2x_2 = 9 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1−2x2=−1−x1+3x2=43x1−2x2=9

增广矩阵为：
1−2−1−1343−29 \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 4 \\ 3 & -2 & 9 \end{bmatrix} 1−13−23−2−149

行变换过程：

  1. R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1R2←R2+R1，R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1：1−2−10130412\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 12 \end{bmatrix} 100−214−1312
  2. R3←R3−4R2R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2R3←R3−4R2：1−2−1013000\begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100−210−130
  3. R1←R1+2R2R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2R1←R1+2R2：105013000\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100010530

结论 ：
x=53x = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}x=53

  1. a. 线性变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 完全由它对 n×nn \times nn×n 单位矩阵 InI_nIn 的作用确定。
    b. 若 T:R2→R2T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2T:R2→R2 把向量绕原点旋转一角度 φ\varphiφ，则 TTT 是线性变换。
    c. 两个线性变换的复合不一定是线性变换。
    d. 映射 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm 是把 Rn\mathbb{R}^nRn 映射到 Rm\mathbb{R}^mRm 的，若 Rn\mathbb{R}^nRn 中每个向量 xxx 映上到 Rm\mathbb{R}^mRm 中的某个向量。
    e. 若 AAA 是 3×23 \times 23×2 矩阵，则变换 x↦Axx \mapsto Axx↦Ax 不是一对一的。

解答 ：

a. 线性变换由它对标准基向量的作用完全确定，而标准基向量正是单位矩阵的列。

b. 旋转变换满足线性变换的定义：T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)。

c. 两个线性变换的复合仍然是线性变换 ，因为 (S∘T)(cu+dv)=S(T(cu+dv))=S(cT(u)+dT(v))=cS(T(u))+dS(T(v))=c(S∘T)(u)+d(S∘T)(v)(S \circ T)(cu + dv) = S(T(cu + dv)) = S(cT(u) + dT(v)) = cS(T(u)) + dS(T(v)) = c(S \circ T)(u) + d(S \circ T)(v)(S∘T)(cu+dv)=S(T(cu+dv))=S(cT(u)+dT(v))=cS(T(u))+dS(T(v))=c(S∘T)(u)+d(S∘T)(v)。

d. "映上"要求 Rn\mathbb{R}^nRn 中每个向量 xxx 映射到 Rm\mathbb{R}^mRm 中的每个向量，而非"某个向量"。

e. AAA 是 3×23 \times 23×2 矩阵，若列线性无关，则变换是一对一的；若列线性相关，则不是一对一的。

结论 ：

a. True

b. True

c. False

d. False

e. False

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