线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.2 矩阵的逆(1)

2.2

练习题

应用行列式判断以下矩阵是否可逆：
a. [3−926]\begin{bmatrix} 3 & -9 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}[32−96]
b. [4−905]\begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}[40−95]
c. [6−9−46]\begin{bmatrix} 6 & -9 \\ -4 & 6 \end{bmatrix}[6−4−96]

解答：

a. 计算行列式：
det⁡[3−926]=3×6−(−9)×2=18+18=36 \det\begin{bmatrix} 3 & -9 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} = 3 \times 6 - (-9) \times 2 = 18 + 18 = 36 det[32−96]=3×6−(−9)×2=18+18=36
行列式不等于零，故矩阵可逆。

b. 计算行列式：
det⁡[4−905]=4×5−(−9)×0=20−0=20 \det\begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = 4 \times 5 - (-9) \times 0 = 20 - 0 = 20 det[40−95]=4×5−(−9)×0=20−0=20

行列式不等于零，故矩阵可逆。

c. 计算行列式：
det⁡[6−9−46]=6×6−(−9)×(−4)=36−36=0 \det\begin{bmatrix} 6 & -9 \\ -4 & 6 \end{bmatrix} = 6 \times 6 - (-9) \times (-4) = 36 - 36 = 0 det[6−4−96]=6×6−(−9)×(−4)=36−36=0
行列式等于零，故矩阵不可逆。

结论：

a. 可逆；b. 可逆；c. 不可逆

求 A=[1−2−1−1565−45]A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & 5 & 6 \\ 5 & -4 & 5 \end{bmatrix}A= 1−15−25−4−165 的逆矩阵，假如它存在。

解答：

构造增广矩阵 [A∣I][A \mid I][A∣I]：

1−2−1100−1560105−45001\] \\left\[\\begin{array}{ccc\|ccc} 1 \& -2 \& -1 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ -1 \& 5 \& 6 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 5 \& -4 \& 5 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{array}\\right\] 1−15−25−4−165100010001 行变换过程： 1. R2←R2+R1R_2 \\leftarrow R_2 + R_1R2←R2+R1： \[1−2−11000351105−45001\] \\left\[\\begin{array}{ccc\|ccc} 1 \& -2 \& -1 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 3 \& 5 \& 1 \& 1 \& 0 \\\\ 5 \& -4 \& 5 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{array}\\right\] 105−23−4−155110010001 2. R3←R3−5R1R_3 \\leftarrow R_3 - 5R_1R3←R3−5R1： \[1−2−11000351100610−501\] \\left\[\\begin{array}{ccc\|ccc} 1 \& -2 \& -1 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 3 \& 5 \& 1 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 6 \& 10 \& -5 \& 0 \& 1 \\end{array}\\right\] 100−236−151011−5010001 3. R3←R3−2R2R_3 \\leftarrow R_3 - 2R_2R3←R3−2R2： \[1−2−1100035110000−7−21\] \\left\[\\begin{array}{ccc\|ccc} 1 \& -2 \& -1 \& 1 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 3 \& 5 \& 1 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& -7 \& -2 \& 1 \\end{array}\\right\] 100−230−15011−701−2001 左半部分出现全零行，无法化为单位矩阵。 **结论** ： 矩阵 AAA 不可逆，逆矩阵不存在。 *** ** * ** *** > 3. 若 AAA 是可逆矩阵，证明 5A5A5A 是可逆矩阵。 **解答**： 1. 由 AAA 可逆，存在矩阵 CCC 使得 AC=CA=IAC = CA = IAC=CA=I。 2. 设 D=15CD = \\frac{1}{5}CD=51C，验证： (5A)D=(5A)(15C)=5⋅15⋅(AC)=1⋅I=I, (5A)D = (5A)\\left(\\frac{1}{5}C\\right) = 5 \\cdot \\frac{1}{5} \\cdot (AC) = 1 \\cdot I = I, (5A)D=(5A)(51C)=5⋅51⋅(AC)=1⋅I=I, D(5A)=(15C)(5A)=15⋅5⋅(CA)=1⋅I=I. D(5A) = \\left(\\frac{1}{5}C\\right)(5A) = \\frac{1}{5} \\cdot 5 \\cdot (CA) = 1 \\cdot I = I. D(5A)=(51C)(5A)=51⋅5⋅(CA)=1⋅I=I. 3. 满足逆矩阵定义，故 DDD 是 5A5A5A 的逆矩阵。 **结论** ： 5A5A5A 是可逆矩阵，其逆矩阵为 15A−1\\frac{1}{5}A\^{-1}51A−1。 #### 习题2.2 > 1. 求 \[8654\]\\begin{bmatrix} 8 \& 6 \\\\ 5 \& 4 \\end{bmatrix}\[8564\] 的逆 **解答** ： 计算行列式： det⁡A=8×4−6×5=32−30=2 \\det A = 8 \\times 4 - 6 \\times 5 = 32 - 30 = 2 detA=8×4−6×5=32−30=2 应用**逆矩阵公式 A−1=1det⁡A\[d−b−ca\]A\^{-1} = \\frac{1}{\\det A} \\begin{bmatrix} d \& -b \\\\ -c \& a \\end{bmatrix}A−1=detA1\[d−c−ba\]** ： A−1=12\[4−6−58\]=\[2−3−5/24\] A\^{-1} = \\frac{1}{2} \\begin{bmatrix} 4 \& -6 \\\\ -5 \& 8 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 \& -3 \\\\ -5/2 \& 4 \\end{bmatrix} A−1=21\[4−5−68\]=\[2−5/2−34

结论：

2−3−5/24\]\\begin{bmatrix} 2 \& -3 \\\\ -5/2 \& 4 \\end{bmatrix}\[2−5/2−34

求 [3274]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}[3724] 的逆

解答：

计算行列式：
det⁡A=3×4−2×7=12−14=−2 \det A = 3 \times 4 - 2 \times 7 = 12 - 14 = -2 detA=3×4−2×7=12−14=−2

应用逆矩阵公式：
A−1=1−2[4−2−73]=[−217/2−3/2] A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 7/2 & -3/2 \end{bmatrix} A−1=−21[4−7−23]=[−27/21−3/2]

结论：

−217/2−3/2\]\\begin{bmatrix} -2 \& 1 \\\\ 7/2 \& -3/2 \\end{bmatrix}\[−27/21−3/2

求 [85−7−5]\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -7 & -5 \end{bmatrix}[8−75−5] 的逆

解答：

计算行列式：
det⁡A=8×(−5)−5×(−7)=−40+35=−5 \det A = 8 \times (-5) - 5 \times (-7) = -40 + 35 = -5 detA=8×(−5)−5×(−7)=−40+35=−5

应用逆矩阵公式：
A−1=1−5[−5−578]=[11−7/5−8/5]或[11−1.4−1.6] A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -5 & -5 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -7/5 & -8/5 \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1.4 & -1.6 \end{bmatrix} A−1=−51[−57−58]=[1−7/51−8/5]或[1−1.41−1.6]

结论：

11−7/5−8/5\]\\begin{bmatrix} 1 \& 1 \\\\ -7/5 \& -8/5 \\end{bmatrix}\[1−7/51−8/5

求 [3−47−8]\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 7 & -8 \end{bmatrix}[37−4−8] 的逆

解答：

计算行列式：
det⁡A=3×(−8)−(−4)×7=−24+28=4 \det A = 3 \times (-8) - (-4) \times 7 = -24 + 28 = 4 detA=3×(−8)−(−4)×7=−24+28=4

应用逆矩阵公式：
A−1=14[−84−73]=[−21−7/43/4]或[−21−1.750.75] A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -8 & 4 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -7/4 & 3/4 \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ -1.75 & 0.75 \end{bmatrix} A−1=41[−8−743]=[−2−7/413/4]或[−2−1.7510.75]

结论：

−21−7/43/4\]\\begin{bmatrix} -2 \& 1 \\\\ -7/4 \& 3/4 \\end{bmatrix}\[−2−7/413/4

用习题 1 求出的逆矩阵解下列方程组：
8x1+6x2=28x_1 + 6x_2 = 28x1+6x2=2
5x1+4x2=−15x_1 + 4x_2 = -15x1+4x2=−1

解答：

方程组等价于 Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b，其中 A=[8654]A = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}A=[8564]，b=[2−1]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}b=[2−1]。

由习题 1 知 A−1=[2−3−5/24]A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -5/2 & 4 \end{bmatrix}A−1=[2−5/2−34]，解为：
x=A−1b=[2−3−5/24][2−1]=[2⋅2+(−3)⋅(−1)(−5/2)⋅2+4⋅(−1)]=[4+3−5−4]=[7−9] \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -5/2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) \\ (-5/2) \cdot 2 + 4 \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 + 3 \\ -5 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -9 \end{bmatrix} x=A−1b=[2−5/2−34][2−1]=[2⋅2+(−3)⋅(−1)(−5/2)⋅2+4⋅(−1)]=[4+3−5−4]=[7−9]

结论：
x1=7x_1 = 7x1=7，x2=−9x_2 = -9x2=−9

用习题 3 求出的逆矩阵解下列方程组：
8x1+5x2=−98x_1 + 5x_2 = -98x1+5x2=−9
−7x1−5x2=11-7x_1 -5x_2 = 11−7x1−5x2=11

解答：

方程组等价于 Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b，其中 A=[85−7−5]A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -7 & -5 \end{bmatrix}A=[8−75−5]，b=[−911]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -9 \\ 11 \end{bmatrix}b=[−911]。

由习题 3 知 A−1=[11−7/5−8/5]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -7/5 & -8/5 \end{bmatrix}A−1=[1−7/51−8/5]，解为：
x=A−1b=[11−7/5−8/5][−911]=[1⋅(−9)+1⋅11(−7/5)⋅(−9)+(−8/5)⋅11]=[−9+1163/5−88/5]=[2−25/5]=[2−5] \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -7/5 & -8/5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -9 \\ 11 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} 1 \cdot (-9) + 1 \cdot 11 \\ (-7/5) \cdot (-9) + (-8/5) \cdot 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 + 11 \\ 63/5 - 88/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -25/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \end{bmatrix} x=A−1b=[1−7/51−8/5][−911]=[1⋅(−9)+1⋅11(−7/5)⋅(−9)+(−8/5)⋅11]=[−9+1163/5−88/5]=[2−25/5]=[2−5]

结论：
x1=2x_1 = 2x1=2，x2=−5x_2 = -5x2=−5

设 A=[12512]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 12 \end{bmatrix}A=[15212]，b1=[−13]\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}b1=[−13]，b2=[1−5]\mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}b2=[1−5]，b3=[26]\mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix}b3=[26]，b4=[35]\mathbf{b}_4 = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}b4=[35]。
a. 求 A−1A^{-1}A−1 且用它解下列四个方程组：Ax=b1A \mathbf{x} = \mathbf{b}_1Ax=b1，Ax=b2A \mathbf{x} = \mathbf{b}_2Ax=b2，Ax=b3A \mathbf{x} = \mathbf{b}_3Ax=b3，Ax=b4A \mathbf{x} = \mathbf{b}_4Ax=b4
b. 利用对增广矩阵 [A∣b1∣b2∣b3∣b4][A \mid \mathbf{b}_1 \mid \mathbf{b}_2 \mid \mathbf{b}_3 \mid \mathbf{b}_4][A∣b1∣b2∣b3∣b4] 做行化简的方法解 (a) 中的四个方程

解答：
a.

计算 A−1A^{-1}A−1：
det⁡A=1×12−2×5=12−10=2,A−1=12[12−2−51]=[6−1−5/21/2]或[6−1−2.50.5] \det A = 1 \times 12 - 2 \times 5 = 12 - 10 = 2, \quad \\ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 12 & -2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ -5/2 & 1/2 \end{bmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ -2.5 & 0.5 \end{bmatrix} detA=1×12−2×5=12−10=2,A−1=21[12−5−21]=[6−5/2−11/2]或[6−2.5−10.5]

解方程组：

Ax=b1A \mathbf{x} = \mathbf{b}_1Ax=b1：
x=A−1b1=[6−1−5/21/2][−13]=[6⋅(−1)+(−1)⋅3(−5/2)⋅(−1)+(1/2)⋅3]=[−6−35/2+3/2]=[−94] \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ -5/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} 6 \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 \\ (-5/2) \cdot (-1) + (1/2) \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 - 3 \\ 5/2 + 3/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 \\ 4 \end{bmatrix} x=A−1b1=[6−5/2−11/2][−13]=[6⋅(−1)+(−1)⋅3(−5/2)⋅(−1)+(1/2)⋅3]=[−6−35/2+3/2]=[−94]
Ax=b2A \mathbf{x} = \mathbf{b}_2Ax=b2：
x=A−1b2=[6−1−5/21/2][1−5]=[6⋅1+(−1)⋅(−5)(−5/2)⋅1+(1/2)⋅(−5)]=[6+5−5/2−5/2]=[11−5] \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ -5/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} 6 \cdot 1 + (-1) \cdot (-5) \\ (-5/2) \cdot 1 + (1/2) \cdot (-5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 + 5 \\ -5/2 - 5/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix} x=A−1b2=[6−5/2−11/2][1−5]=[6⋅1+(−1)⋅(−5)(−5/2)⋅1+(1/2)⋅(−5)]=[6+5−5/2−5/2]=[11−5]
Ax=b3A \mathbf{x} = \mathbf{b}_3Ax=b3：
x=A−1b3=[6−1−5/21/2][26]=[6⋅2+(−1)⋅6(−5/2)⋅2+(1/2)⋅6]=[12−6−5+3]=[6−2] \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ -5/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix}\\ = \begin{bmatrix} 6 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 \\ (-5/2) \cdot 2 + (1/2) \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 6 \\ -5 + 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} x=A−1b3=[6−5/2−11/2][26]=[6⋅2+(−1)⋅6(−5/2)⋅2+(1/2)⋅6]=[12−6−5+3]=[6−2]
Ax=b4A \mathbf{x} = \mathbf{b}_4Ax=b4：
x=A−1b4=[6−1−5/21/2][35]=[6⋅3+(−1)⋅5(−5/2)⋅3+(1/2)⋅5]=[18−5−15/2+5/2]=[13−5] \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}_4 = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ -5/2 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} 6 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 \\ (-5/2) \cdot 3 + (1/2) \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 - 5 \\ -15/2 + 5/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ -5 \end{bmatrix} x=A−1b4=[6−5/2−11/2][35]=[6⋅3+(−1)⋅5(−5/2)⋅3+(1/2)⋅5]=[18−5−15/2+5/2]=[13−5]

构造增广矩阵 [A∣b1∣b2∣b3∣b4][A \mid \mathbf{b}_1 \mid \mathbf{b}_2 \mid \mathbf{b}_3 \mid \mathbf{b}_4][A∣b1∣b2∣b3∣b4]：

12−11235123−565\] \\left\[\\begin{array}{cc\|cccc} 1 \& 2 \& -1 \& 1 \& 2 \& 3 \\\\ 5 \& 12 \& 3 \& -5 \& 6 \& 5 \\end{array}\\right\] \[15212−131−52635

行变换过程：

R2←R2−5R1R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1R2←R2−5R1：
$12−1123028−10−4−10\] \\left\[\\begin{array}{cc\|cccc} 1 \& 2 \& -1 \& 1 \& 2 \& 3 \\\\ 0 \& 2 \& 8 \& -10 \& -4 \& -10 \\end{array}\\right\] \[1022−181−102−43−10$
R2←12R2R_2 \leftarrow \frac{1}{2} R_2R2←21R2：
$12−1123014−5−2−5\] \\left\[\\begin{array}{cc\|cccc} 1 \& 2 \& -1 \& 1 \& 2 \& 3 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \& -5 \& -2 \& -5 \\end{array}\\right\] \[1021−141−52−23−5$
R1←R1−2R2R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2R1←R1−2R2：

10−911613014−5−2−5\] \\left\[\\begin{array}{cc\|cccc} 1 \& 0 \& -9 \& 11 \& 6 \& 13 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \& -5 \& -2 \& -5 \\end{array}\\right\] \[1001−9411−56−213−5
右半部分直接给出解：
- b1\mathbf{b}_1b1 对应解：[−94]\begin{bmatrix} -9 \\ 4 \end{bmatrix}[−94]
- b2\mathbf{b}_2b2 对应解：[11−5]\begin{bmatrix} 11 \\ -5 \end{bmatrix}[11−5]
- b3\mathbf{b}_3b3 对应解：[6−2]\begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix}[6−2]
- b4\mathbf{b}_4b4 对应解：[13−5]\begin{bmatrix} 13 \\ -5 \end{bmatrix}[13−5]

利用矩阵代数证明：若 AAA 是可逆矩阵，且矩阵 DDD 满足 AD=IAD = IAD=I，则 D=A−1D = A^{-1}D=A−1。

解答：

由 AAA 可逆，存在 A−1A^{-1}A−1 使得 A−1A=IA^{-1}A = IA−1A=I。
在等式 AD=IAD = IAD=I 两边左乘 A−1A^{-1}A−1：
A−1(AD)=A−1I A^{-1}(AD) = A^{-1}I A−1(AD)=A−1I
应用矩阵乘法结合律：
(A−1A)D=A−1 (A^{-1}A)D = A^{-1} (A−1A)D=A−1
代入 A−1A=IA^{-1}A = IA−1A=I：
ID=A−1 ID = A^{-1} ID=A−1
由单位矩阵性质 ID=DID = DID=D，得：
D=A−1 D = A^{-1} D=A−1

结论：
D=A−1D = A^{-1}D=A−1

判断下列陈述的真假：
a. 为了使矩阵 BBB 为 AAA 的逆，AB=IAB = IAB=I 及 BA=IBA = IBA=I 都必须为真。
b. 若 A,BA,BA,B 是可逆 n×nn \times nn×n 矩阵，则 A−1B−1A^{-1}B^{-1}A−1B−1 是 ABABAB 的逆。
c. 若 A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}A=[acbd] 且 ab−cd≠0ab - cd \neq 0ab−cd=0，则 AAA 可逆。
d. 若 AAA 是可逆 n×nn \times nn×n 矩阵，则方程 Ax=bAx = bAx=b 对 Rn\mathbb{R}^nRn 中任意 bbb 相容。
e. 每个初等矩阵都可逆。

解答：

a. 矩阵可逆的定义要求 AB=IAB = IAB=I 和 BA=IBA = IBA=I 同时成立，故为真。

b. 由定理 6(b)，(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1 ，而非 A−1B−1A^{-1}B^{-1}A−1B−1，故为假。

c. 反例：A=[1100]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}A=[1010] 时 ab−cd=1−0=1≠0ab - cd = 1 - 0 = 1 \neq 0ab−cd=1−0=1=0，但 det⁡A=ad−bc=0\det A = ad - bc = 0detA=ad−bc=0，故不可逆，为假。

d. 由定理 5，AAA 可逆时 Ax=bAx = bAx=b 对任意 bbb 有唯一解，故相容，为真。

e. 初等矩阵对应初等行变换，其逆矩阵存在（对应逆变换），故为真。

结论：

a. 真；b. 假；c. 假；d. 真；e. 真

判断下列陈述的真假：
a. 若干个可逆 n×nn \times nn×n 矩阵之积可逆，且其逆为这些矩阵的逆按相同顺序的乘积。
b. 若 AAA 可逆，则 A−1A^{-1}A−1 的逆就是 AAA 本身。
c. 若 A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}A=[acbd] 且 ad=bcad = bcad=bc，则 AAA 不可逆。
d. 若 AAA 可行化简为单位矩阵，则 AAA 必可逆。
e. 若 AAA 可逆，则把 AAA 化简为单位矩阵 InI_nIn 的行变换也将 A−1A^{-1}A−1 化简为 InI_nIn。

解答：

a. 矩阵乘积的逆满足 (A1A2⋯Ak)−1=Ak−1⋯A2−1A1−1(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}(A1A2⋯Ak)−1=Ak−1⋯A2−1A1−1，顺序相反，故为假。

b. 由定理 6(a)，(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A，故为真。

c. 由定理 4，2×22 \times 22×2 矩阵 AAA 可逆当且仅当 det⁡A=ad−bc≠0\det A = ad - bc \neq 0detA=ad−bc=0，若 ad=bcad = bcad=bc 则 det⁡A=0\det A = 0detA=0，故不可逆，为真。

d. 由定理 7，AAA 行等价于 InI_nIn 当且仅当 AAA 可逆，故为真。

e. 将 AAA 化为 InI_nIn 的行变换对应左乘初等矩阵 Ek⋯E1E_k \cdots E_1Ek⋯E1，使得 Ek⋯E1A=InE_k \cdots E_1 A = I_nEk⋯E1A=In，则 A−1=Ek⋯E1A^{-1} = E_k \cdots E_1A−1=Ek⋯E1。对 A−1A^{-1}A−1 应用相同变换得 Ek⋯E1A−1=A−1A−1≠InE_k \cdots E_1 A^{-1} = A^{-1} A^{-1} \neq I_nEk⋯E1A−1=A−1A−1=In，故为假。

结论：

a. 假；b. 真；c. 真；d. 真；e. 假

设 AAA 为可逆 n×nn \times nn×n 矩阵，BBB 为 n×pn \times pn×p 矩阵，证明方程 AX=BAX=BAX=B 有唯一解 A−1BA^{-1}BA−1B.

解答：

因为 AAA 可逆，所以 A−1A^{-1}A−1 存在。

验证 X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B 是解：
A(A−1B)=(AA−1)B=IB=B A(A^{-1}B) = (AA^{-1})B = IB = B A(A−1B)=(AA−1)B=IB=B
为证唯一性 ，设 XXX 是任意解，即 AX=BAX = BAX=B。两边左乘 A−1A^{-1}A−1：
A−1(AX)=A−1B ⟹ (A−1A)X=A−1B ⟹ IX=A−1B ⟹ X=A−1B A^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)X = A^{-1}B \implies IX = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B A−1(AX)=A−1B⟹(A−1A)X=A−1B⟹IX=A−1B⟹X=A−1B

结论：

方程 AX=BAX=BAX=B 有唯一解 X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B

设 AAA 为可逆 n×nn \times nn×n 矩阵，BBB 为 n×pn \times pn×p 矩阵，解释为什么 A−1BA^{-1}BA−1B 可由行化简求得：若 [A∣B]∼⋯∼[I∣X][A \mid B] \sim \cdots \sim [I \mid X][A∣B]∼⋯∼[I∣X]，则 X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B。若 AAA 是大于 2×22 \times 22×2 的矩阵，则 [A∣B][A \mid B][A∣B] 的行化简比计算 A−1A^{-1}A−1 和 A−1BA^{-1}BA−1B 要快得多。

解答：

将 BBB 和 XXX 按列分块：B=[b1⋯bp]B = [\mathbf{b}_1 \cdots \mathbf{b}_p]B=[b1⋯bp]，X=[u1⋯up]X = [\mathbf{u}_1 \cdots \mathbf{u}_p]X=[u1⋯up]。

AX=BAX = BAX=B 等价于 ppp 个方程组 Auj=bjA\mathbf{u}_j = \mathbf{b}_jAuj=bj (j=1,...,pj=1,\ldots,pj=1,...,p)。
由于 AAA 可逆，每个方程组有唯一解。同时求解时，对增广矩阵 [A∣B][A \mid B][A∣B] 行化简。
因 AAA 可逆，[A∣B][A \mid B][A∣B] 可化为 [I∣X][I \mid X][I∣X]，其中 XXX 的列是 uj\mathbf{u}_juj。
由习题 11，X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B。
行化简 [A∣B][A \mid B][A∣B] 直接得到 XXX，避免了显式计算 A−1A^{-1}A−1 和矩阵乘法，当 AAA 较大时效率更高。

结论：
X=A−1BX = A^{-1}BX=A−1B 由行化简 [A∣B][A \mid B][A∣B] 得到，且比先求 A−1A^{-1}A−1 再乘 BBB 更高效。

设 AB=ACAB = ACAB=AC，其中 BBB 与 CCC 为 n×pn \times pn×p 矩阵，AAA 可逆。证明 B=CB = CB=C。若 AAA 不可逆，是否仍有 B=CB = CB=C？

解答：

当 AAA 可逆时：

左乘 A−1A^{-1}A−1：
A−1(AB)=A−1(AC) ⟹ (A−1A)B=(A−1A)C ⟹ IB=IC ⟹ B=C A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC) \implies (A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C \implies IB = IC \implies B = C A−1(AB)=A−1(AC)⟹(A−1A)B=(A−1A)C⟹IB=IC⟹B=C
当 AAA 不可逆时：

结论不一定成立。反例：
A=[1000],B=[0001],C=[0000] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} A=[1000],B=[0001],C=[0000]

则 AB=AC=[0000]AB = AC = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}AB=AC=[0000]，但 B≠CB \neq CB=C。

结论：

当 AAA 可逆时，B=CB = CB=C；当 AAA 不可逆时，BBB 与 CCC 不一定相等。

设 (B−C)D=0(B - C)D = 0(B−C)D=0，其中 BBB 与 CCC 为 m×nm \times nm×n 矩阵，DDD 可逆。证明 B=CB = CB=C。

解答：

因为 DDD 可逆，右乘 D−1D^{-1}D−1：
(B−C)D⋅D−1=0⋅D−1 ⟹ (B−C)(DD−1)=0 ⟹ (B−C)I=0 ⟹ B−C=0 (B - C)D \cdot D^{-1} = 0 \cdot D^{-1} \implies (B - C)(DD^{-1}) = 0 \implies (B - C)I = 0 \implies B - C = 0 (B−C)D⋅D−1=0⋅D−1⟹(B−C)(DD−1)=0⟹(B−C)I=0⟹B−C=0

故 B=CB = CB=C。

结论：
B=CB = CB=C

设 A,B,CA,B,CA,B,C 为可逆 n×nn \times nn×n 矩阵，找一个矩阵 DDD 满足 (ABC)D=I(ABC)D = I(ABC)D=I 及 D(ABC)=ID(ABC) = ID(ABC)=I 从而证明 ABCABCABC 也可逆。

解答：

取 D=C−1B−1A−1D = C^{-1}B^{-1}A^{-1}D=C−1B−1A−1，验证：

(ABC)D=ABC(C−1B−1A−1)=AB(CC−1)B−1A−1=A(BB−1)A−1=AA−1=I(ABC)D = ABC(C^{-1}B^{-1}A^{-1}) = AB(CC^{-1})B^{-1}A^{-1} = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I(ABC)D=ABC(C−1B−1A−1)=AB(CC−1)B−1A−1=A(BB−1)A−1=AA−1=I
D(ABC)=(C−1B−1A−1)ABC=C−1B−1(A−1A)BC=C−1(B−1B)C=C−1C=ID(ABC) = (C^{-1}B^{-1}A^{-1})ABC = C^{-1}B^{-1}(A^{-1}A)BC = C^{-1}(B^{-1}B)C = C^{-1}C = ID(ABC)=(C−1B−1A−1)ABC=C−1B−1(A−1A)BC=C−1(B−1B)C=C−1C=I
故 DDD 是 ABCABCABC 的逆矩阵。

结论：
ABCABCABC 可逆，其逆为 C−1B−1A−1C^{-1}B^{-1}A^{-1}C−1B−1A−1

设 A,BA,BA,B 是 n×nn \times nn×n 矩阵，BBB 可逆，ABABAB 也可逆。证明 AAA 可逆。（提示：令 C=ABC = ABC=AB，从此式求出 AAA。）

解答：

令 C=ABC = ABC=AB，则 CCC 可逆（已知）。由 C=ABC = ABC=AB 解得：
A=CB−1 A = CB^{-1} A=CB−1

因为 CCC 和 B−1B^{-1}B−1 均可逆（BBB 可逆），其乘积 AAA 也可逆（可逆矩阵乘积仍可逆）。

结论：
AAA 可逆

设 A,B,CA,B,CA,B,C 是方阵，BBB 可逆，解方程 AB=BCAB = BCAB=BC 求 AAA。

解答：

由 AB=BCAB = BCAB=BC，右乘 B−1B^{-1}B−1：
AB⋅B−1=BC⋅B−1 ⟹ A⋅I=B⋅C⋅B−1 ⟹ A=BCB−1 AB \cdot B^{-1} = BC \cdot B^{-1} \implies A \cdot I = B \cdot C \cdot B^{-1} \implies A = BCB^{-1} AB⋅B−1=BC⋅B−1⟹A⋅I=B⋅C⋅B−1⟹A=BCB−1

结论：
A=BCB−1A = BCB^{-1}A=BCB−1

设 PPP 可逆，A=PBP−1A = PBP^{-1}A=PBP−1，用 AAA 表示 BBB。

解答：

由 A=PBP−1A = PBP^{-1}A=PBP−1：

左乘 P−1P^{-1}P−1：P−1A=P−1PBP−1=BP−1P^{-1}A = P^{-1}PBP^{-1} = B P^{-1}P−1A=P−1PBP−1=BP−1
右乘 PPP：P−1AP=BP−1P=B⋅IP^{-1}AP = B P^{-1}P = B \cdot IP−1AP=BP−1P=B⋅I
故 B=P−1APB = P^{-1}APB=P−1AP。

结论：
B=P−1APB = P^{-1}APB=P−1AP

设 A,B,CA,B,CA,B,C 是 n×nn \times nn×n 可逆矩阵，方程 C−1(A+X)B−1=InC^{-1}(A + X)B^{-1} = I_nC−1(A+X)B−1=In 是否有解 XXX？若有，求解。

解答：

假设解存在，对方程变形：

左乘 CCC：C⋅C−1(A+X)B−1=C⋅I ⟹ (A+X)B−1=CC \cdot C^{-1}(A + X)B^{-1} = C \cdot I \implies (A + X)B^{-1} = CC⋅C−1(A+X)B−1=C⋅I⟹(A+X)B−1=C
右乘 BBB：(A+X)B−1⋅B=C⋅B ⟹ A+X=CB(A + X)B^{-1} \cdot B = C \cdot B \implies A + X = CB(A+X)B−1⋅B=C⋅B⟹A+X=CB
解得：X=CB−AX = CB - AX=CB−A
验证：代入 X=CB−AX = CB - AX=CB−A：

C−1(A+(CB−A))B−1=C−1(CB)B−1=(C−1C)(BB−1)=I⋅I=I C^{-1}(A + (CB - A))B^{-1} = C^{-1}(CB)B^{-1} = (C^{-1}C)(BB^{-1}) = I \cdot I = I C−1(A+(CB−A))B−1=C−1(CB)B−1=(C−1C)(BB−1)=I⋅I=I

成立。

结论：

有解，X=CB−AX = CB - AX=CB−A

设 A,B,XA,B,XA,B,X 是 n×nn \times nn×n 矩阵，A,X,A−AXA, X, A - AXA,X,A−AX 可逆，假设
(A−AX)−1=X−1B(3)(A - AX)^{-1} = X^{-1}B \quad (3)(A−AX)−1=X−1B(3)
a. 说明为什么 BBB 是可逆的。
b. 由 (3) 式求 XXX。如果需要对矩阵求逆，请说明为什么该矩阵是可逆的。

解答：
a. 由 (3) 式左乘 XXX：
X⋅(A−AX)−1=X⋅X−1B ⟹ X(A−AX)−1=B X \cdot (A - AX)^{-1} = X \cdot X^{-1}B \implies X(A - AX)^{-1} = B X⋅(A−AX)−1=X⋅X−1B⟹X(A−AX)−1=B

因为 XXX 和 (A−AX)−1(A - AX)^{-1}(A−AX)−1 均可逆，其乘积 BBB 也可逆（可逆矩阵乘积仍可逆）。
b. 对 (3) 式取逆：
(A−AX)=(X−1B)−1=B−1(X−1)−1=B−1X (A - AX) = (X^{-1}B)^{-1} = B^{-1}(X^{-1})^{-1} = B^{-1}X (A−AX)=(X−1B)−1=B−1(X−1)−1=B−1X

整理得：
A=AX+B−1X=(A+B−1)X A = AX + B^{-1}X = (A + B^{-1})X A=AX+B−1X=(A+B−1)X

由 a 知 BBB 可逆，故 B−1B^{-1}B−1 存在。
AAA 可逆，且 XXX 可逆，所以 A+B−1=AX−1A + B^{-1} = A X^{-1}A+B−1=AX−1 可逆（可逆矩阵乘积）。
因此 X=(A+B−1)−1AX = (A + B^{-1})^{-1}AX=(A+B−1)−1A。

结论：

a. BBB 可逆，因为它是可逆矩阵 XXX 与 (A−AX)−1(A - AX)^{-1}(A−AX)−1 的乘积。

b. X=(A+B−1)−1AX = (A + B^{-1})^{-1}AX=(A+B−1)−1A，其中 A+B−1A + B^{-1}A+B−1 可逆（因 A+B−1=AX−1A + B^{-1} = A X^{-1}A+B−1=AX−1 且 A,XA, XA,X 可逆）。

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章 矩阵代数 2.2 矩阵的逆(1)

2.2

练习题

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.2 矩阵的逆(1)