【计算几何】P12144 [蓝桥杯 2025 省 A] 地雷阵|普及+

闻缺陷则喜何志丹2025-12-12 12:49

本文涉及知识点

数学

P12144 [蓝桥杯 2025 省 A] 地雷阵

题目描述

小蓝正在平面直角坐标系中的第一象限里玩一个逃生小游戏。在第一象限中埋有 n n n 颗地雷，第 i i i 颗地雷的坐标为 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi)，触发范围为以 ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi,yi) 为圆心，半径为 r i r_i ri 的圆。一旦小蓝走进了圆内就会触发地雷导致游戏失败。小蓝初始在原点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0) 上，他需要在第一象限内选择一个方向一直往前走，如果能不触发任何地雷即可成功通关游戏。他想知道在 [ 0 , π 2 ] [0, \frac{\pi}{2}] [0,2π] 中均匀随机选择一个方向，即在 0 ∘ 0^\circ 0∘（朝向 x x x 轴正方向）至 9 0 ∘ 90^\circ 90∘（朝向 y y y 轴正方向）之间随机选择一个方向，通关游戏的概率是多少？

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 n n n。

接下来 n n n 行，每行包含三个正整数 x i , y i , r i x_i, y_i, r_i xi,yi,ri，相邻整数之间使用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个实数，四舍五入保留三位小数，表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
1
2 2 1

输出 #1

复制代码 
0.540

输入输出样例 #2

输入 #2

复制代码 
2
1 3 1
3 1 1

输出 #2

复制代码 
0.181

说明/提示

评测用例规模与约定

  • 对于 20 % 20\% 20% 的评测用例， 1 ≤ n ≤ 100 1 \leq n \leq 100 1≤n≤100；
  • 对于所有评测用例， 1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \leq n \leq 10^5 1≤n≤105， 1 ≤ x i , y i ≤ 1 0 4 1 \leq x_i, y_i \leq 10^4 1≤xi,yi≤104， r i < min ⁡ ( x i , y i ) r_i < \min(x_i, y_i) ri<min(xi,yi)。

计算几何

分别处理各炸弹，令坐标原点是O，炸弹中心是O1，半径R。经过O做圆的切线，切点分别是P1, P2。则OP1和P1O1垂直。

a1= OO1和x轴正方向的弧度， sin(a2=O1OP1)= r / |OO1|，根据反正弦求a2。

则引爆此炸弹的范围是[max(0, a1 - a2), min(a1 + a2， π / 2 \pi / 2 π/2)]。

多个炸弹范围进行区间合并：left升序排序，如果当前left <=前一个元素的right，合并。

答案： 1 − 区间长度和 × 2 π 1 - \frac{区间长度和 \times 2}{\pi} 1−π区间长度和×2

代码

核心代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class Solution {
		public:
			double Ans(vector<tuple<int,int,int>>& xyr) {
				const double PI2 = asin(1);
				vector<pair<double, double>> rang;
				auto Dis = [&](double x, double y) {
					return sqrt(x * x + y * y);
				};
				for (const auto& [x, y, r] : xyr) {
					const  double a = atan((0==y)?0:(double)y / x);
					const double b = asin((double)r/Dis(x,y));
					rang.emplace_back(max(0.0, a - b), min(PI2, a + b));
				}
				sort(rang.begin(), rang.end());
				vector<pair<double, double>> tmp;
				for (const auto& [left, r] : rang) {
					if (tmp.size() && (left <= tmp.back().second )) {
						tmp.back().second = max(tmp.back().second,r);
					}
					else {
						tmp.emplace_back(left, r);
					}
				}
				double ans = 0;
				for (const auto& [left, r] : tmp) {
					ans += (r - left);
				}
				return 1 - ans/PI2;
			}
		};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	auto xyr = Read<tuple<int, int, int>>();
#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d,K=%d", N,K);
		//Out(W, ",W=");
		//Out(edge, ",edge=");
		//Out(xyzw, ",xyzw=");
		//Out(a, ",a=");
		Out(xyr, ",xyr=");
	 //  //Out(ab, ",ab=");
	 //  //Out(par, "par=");
	 //  //Out(que, "que=");
	 //  //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(xyr);
		printf("%.3lf", res);
	return 0;
};

单元测试

cpp 复制代码 
vector<tuple<int, int, int>> xyr;
		TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			xyr = { {2,2,1} };
			auto res = Solution().Ans(xyr);
			AssertEx(0.540, res,0.001);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			xyr = { {1,3,1},{3,1,1} };
			auto res = Solution().Ans(xyr);
			AssertEx(0.181, res, 0.001);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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