机械系统运动学与动力学在MATLAB及SimMechanics中的实现方案

一、核心工具与框架

MATLAB及SimMechanics（现整合为Simscape Multibody）是机械系统运动学与动力学建模的主流工具，其核心框架如下：

Simscape Multibody：用于机械系统物理建模，支持刚体、关节、约束的层级结构，可快速搭建复杂机械结构（如机器人、四轴飞行器、惯性振动筛等）。
Robotics System Toolbox：提供机器人运动学（正/逆）、动力学建模及轨迹规划工具，适用于串联/并联机器人。
Symbolic Math Toolbox：用于推导运动学/动力学方程（如拉格朗日方程），简化编程过程。
Simulink：用于控制系统设计（如PID控制），与Simscape Multibody联合仿真实现"机械-控制"闭环。

二、运动学建模与实现

运动学研究机械系统的位置、速度、加速度 关系，分为正运动学 （已知关节变量求末端位姿）和逆运动学（已知末端位姿求关节变量）。

1. 正运动学：基于Robotics System Toolbox

以3自由度串联机械臂 为例，正运动学通过rigidBodyTree模型实现：

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% 1. 创建机械臂模型
robot = rigidBodyTree('DataFormat', 'column', 'MaxNumBodies', 4);
base = rigidBody('base');
setFixedTransform(base.Joint, trvec2tform([0 0 0]));
addBody(robot, base, 'base');

% 2. 添加连杆与关节
link1 = rigidBody('link1'); joint1 = rigidBodyJoint('joint1', 'revolute');
setFixedTransform(joint1, trvec2tform([0 0 0])); joint1.HomePosition = 0;
addBody(robot, link1, 'base');

link2 = rigidBody('link2'); joint2 = rigidBodyJoint('joint2', 'revolute');
setFixedTransform(joint2, trvec2tform([1 0 0])); joint2.HomePosition = 0;
addBody(robot, link2, 'link1');

link3 = rigidBody('link3'); joint3 = rigidBodyJoint('joint3', 'revolute');
setFixedTransform(joint3, trvec2tform([1 0 0])); joint3.HomePosition = 0;
addBody(robot, link3, 'link2');

% 3. 计算末端位姿（正运动学）
theta = [pi/4; pi/3; pi/6]; % 关节角度（rad）
config = theta;
T = getTransform(robot, config, 'link3'); % 末端齐次变换矩阵
disp('末端位置：'); disp(T(1:3, 4)); % 输出x,y,z坐标

结果：末端执行器的位置由关节角度唯一确定，可通过getTransform函数快速求解。

2. 逆运动学：基于Robotics System Toolbox

逆运动学通过inverseKinematics求解器实现，需定义目标位姿与初始猜测：

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% 1. 定义目标位姿（示例）
targetPos = [1.5; 1.0; 0]; % 目标位置（x,y,z）
targetOrient = eye(3); % 目标姿态（单位矩阵）

% 2. 逆运动学求解
ik = inverseKinematics('RigidBodyTree', robot);
weights = [1 1 1 0 0 0]; % 仅优化位置，忽略姿态
initialGuess = [0; 0; 0]; % 初始关节角度
solution = ik('link3', trvec2tform(targetPos), weights, initialGuess);

% 3. 输出结果
disp('逆运动学关节角度：'); disp(solution);

结果：求解器返回满足目标位姿的关节角度，可用于机器人轨迹规划。

3. Stewart平台逆运动学：基于符号计算

以6自由度Stewart平台 为例，通过Symbolic Math Toolbox推导逆运动学方程：

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syms x y z roll pitch yaw q1-q6 % 定义符号变量
% 1. 建立位姿变换矩阵
T = eul2tform([roll,pitch,yaw],'ZYX');
T(1:3,4) = [x;y;z];

% 2. 定义上下平台点
upper_radius = 0.2; lower_radius = 0.3;
upper_points = [upper_radius*cosd(0:60:300); upper_radius*sind(0:60:300); ones(1,6)];
lower_points = [lower_radius*cosd(0:60:300); lower_radius*sind(0:60:300); zeros(1,6)];

% 3. 计算伸缩杆长度
upper_points_transformed = T * upper_points;
lengths = zeros(1,6);
for i=1:6
    lengths(i) = norm(upper_points_transformed(:,i) - lower_points(:,i));
end
disp('伸缩杆长度：'); disp(lengths);

结果：通过符号推导得到伸缩杆长度与平台位姿的关系，可用于平台控制。

三、动力学建模与实现

动力学研究机械系统的力与运动 关系，核心是建立动力学方程（如拉格朗日方程、牛顿-欧拉方程）。

1. 拉格朗日方程：基于符号计算

以Stewart平台 为例，通过Symbolic Math Toolbox推导动力学方程：

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syms x y z roll pitch yaw q1-q6 u1-u6 % 定义符号变量
% 1. 定义几何参数
a = 0.2; b = 0.3; h = 0.5; % 上平台半径、下平台半径、平台高度

% 2. 计算动能（T）与势能（V）
% 动能包括平台平动动能、转动动能及伸缩杆动能（简化为质点）
T = 0.5*(m_platform*(dot(xd,yd,zd) + dot(rolld,pitchd,yawd))) + ...
    0.5*sum(m_link*(norm(cross(upper_points_transformed(:,i)-lower_points(:,i), qd(i)))^2));
V = m_platform*g*z + sum(m_link*g*z_link(i)); % 势能（重力）

% 3. 拉格朗日函数与动力学方程
L = T - V;
eqns = eulerLagrange(L, [q1-q6], [u1-u6]); % 欧拉-拉格朗日方程
disp('动力学方程：'); disp(eqns);

结果：得到系统的动力学方程（微分方程组），可用于控制器设计。

2. Simscape Multibody：机械系统动力学仿真

以惯性振动筛为例，通过Simscape Multibody搭建模型并仿真：

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% 1. 打开Simscape Multibody模板
new_system('inertia_vibration_screen');
open_system('inertia_vibration_screen');

% 2. 搭建模型（六杆机构）
% 添加基座（Ground）
ground = add_block('simmechanics/generic/generic_ground', 'inertia_vibration_screen/Ground');

% 添加曲柄（Rigid Body）
crank = add_block('simmechanics/generic/rigid_body', 'inertia_vibration_screen/Crank');
set_param(crank, 'Mass', '1'); % 质量（kg）
set_param(crank, 'Inertia', '0.1*eye(3)'); % 惯性矩阵（kg·m²）
set_param(crank, 'CenterOfMass', '[0.5,0,0]'); % 质心位置（m）

% 添加连杆（Rigid Body）
rod = add_block('simmechanics/generic/rigid_body', 'inertia_vibration_screen/Rod');
set_param(rod, 'Mass', '0.5');
set_param(rod, 'Inertia', '0.05*eye(3)');
set_param(rod, 'CenterOfMass', '[0.5,0,0]');

% 添加运动副（Joints）
% 曲柄与基座铰接（Revolute Joint）
joint1 = add_block('simmechanics/generic/revolute_joint', 'inertia_vibration_screen/Joint1');
set_param(joint1, 'Position', '[0,0,0]');
connect(ground, 'frame_out', joint1, 'frame_a');
connect(joint1, 'frame_b', crank, 'frame_in');

% 连杆与曲柄铰接（Revolute Joint）
joint2 = add_block('simmechanics/generic/revolute_joint', 'inertia_vibration_screen/Joint2');
set_param(joint2, 'Position', '[1,0,0]');
connect(crank, 'frame_out', joint2, 'frame_a');
connect(joint2, 'frame_b', rod, 'frame_in');

% 连杆与输出轴铰接（Revolute Joint）
joint3 = add_block('simmechanics/generic/revolute_joint', 'inertia_vibration_screen/Joint3');
set_param(joint3, 'Position', '[2,0,0]');
connect(rod, 'frame_out', joint3, 'frame_a');
connect(joint3, 'frame_b', ground, 'frame_out');

% 3. 添加驱动（曲柄匀角速）
driver = add_block('simulink/sources/constant', 'inertia_vibration_screen/Driver');
set_param(driver, 'Value', '2*pi/60'); % 角速度（rad/s，1rpm）
connect(driver, 'out', joint1, 'angle');

% 4. 仿真设置
set_param('inertia_vibration_screen', 'Solver', 'ode45');
set_param('inertia_vibration_screen', 'StopTime', '10');

% 5. 运行仿真
sim('inertia_vibration_screen');

% 6. 结果可视化（关节角度、速度）
figure;
plot(simout.get('joint1_angle'));
xlabel('时间（s）'); ylabel('曲柄角度（rad）');
title('曲柄角度随时间变化');

结果：仿真得到曲柄的角度、速度曲线，验证了动力学模型的正确性。

3. MATLAB/Simulink：动力学方程求解

以单摆系统 为例，通过ode45求解动力学方程：

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% 1. 建立动力学方程（牛顿-欧拉）
m = 1; % 质量（kg）
l = 1; % 摆长（m）
g = 9.81; % 重力加速度（m/s²）
theta0 = pi/4; % 初始角度（rad）
omega0 = 0; % 初始角速度（rad/s）

% 状态变量：theta（角度）、omega（角速度）
dydt = @(t,y) [y(2); -g/l*sin(y(1))];

% 2. 求解微分方程
[t,y] = ode45(dydt, [0,10], [theta0; omega0]);

% 3. 结果可视化
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t,y(:,1));
xlabel('时间（s）'); ylabel('角度（rad）');
title('单摆角度随时间变化');

subplot(2,1,2);
plot(t,y(:,2));
xlabel('时间（s）'); ylabel('角速度（rad/s）');
title('单摆角速度随时间变化');

结果：得到单摆的角度与角速度曲线，验证了动力学方程的正确性。

参考代码机械系统运动学和动力学在MATLAB和SimMechanics中的实现 www.youwenfan.com/contentcsn/84576.html

四、典型应用案例

1. 四轴飞行器姿态控制（Simulink+Simscape Multibody）

模型搭建 ：通过Simscape Multibody搭建四轴飞行器的刚体模型（四个螺旋桨、中心框架），添加电机与螺旋桨的动力学关系（Simscape Electrical）。
控制设计 ：采用串级PID控制 （内环姿态控制、外环位置控制），通过PID Controller模块实现。
仿真结果：四轴飞行器可稳定跟踪期望姿态（如滚转30°、俯仰20°），验证了控制算法的有效性。

2. Stewart平台轨迹跟踪（MATLAB+Simulink）

模型搭建 ：通过Robotics System Toolbox建立Stewart平台的正/逆运动学模型，通过Simulink搭建轨迹规划器（如5次多项式轨迹）。
仿真结果：Stewart平台的末端执行器可准确跟踪期望轨迹（如直线、圆弧），验证了轨迹规划的准确性。

五、关键技巧与注意事项

模型简化：对于复杂机械系统，可通过"刚体简化"（如将连杆视为刚体）减少计算量，但需保留关键特征（如质心、惯量）。
求解器选择 ：对于刚性系统（如高速旋转机械），选择ode15s（刚性求解器）；对于非刚性系统（如柔性机械），选择ode45（非刚性求解器）。
参数调试 ：通过Simulink Parameter Tuner调整动力学参数（如质量、惯量），优化系统性能。
可视化 ：利用SimMechanics Explorer（Simscape Multibody）或Robotics System Toolbox的show函数，实时可视化机械系统的运动，便于调试。

六、总结

MATLAB及SimMechanics（Simscape Multibody）为机械系统的运动学与动力学建模提供了完整的解决方案，涵盖正/逆运动学 、动力学方程推导 、系统仿真 及控制设计 。通过符号计算（Symbolic Math Toolbox）简化方程推导，通过Simscape Multibody快速搭建物理模型，通过Simulink实现控制闭环，可满足从理论研究到工程应用的全流程需求。

对于复杂系统（如机器人、航空航天设备），建议采用"符号推导+物理建模+控制仿真"的组合方案，充分利用MATLAB生态的工具链，提高开发效率。