【二分查找-开区间思维】

文章目录

红蓝染色法
- - [1\. 核心逻辑：`(-1, n)`](#1. 核心逻辑：(-1, n))
  - [2\. 代码模板](#2. 代码模板)
  - [3\. 为什么很多人喜欢这种写法？（优势）](#3. 为什么很多人喜欢这种写法？（优势）)
  - [4\. 劣势与注意事项](#4. 劣势与注意事项)
开区间和闭区间的区别
- - [1\. 为什么它是"闭区间"写法？](#1. 为什么它是“闭区间”写法？)
  - [2\. 这张图在解释哪段代码？](#2. 这张图在解释哪段代码？)
  - [3\. 和刚才说的"双开区间"有什么区别？](#3. 和刚才说的“双开区间”有什么区别？)
  - [4\. 总结：如何看懂这张图？](#4. 总结：如何看懂这张图？)
开区间表示的是边界的指针！里面的数是未被染色的数！
- - [1. 三个区域的定义](#1. 三个区域的定义)
  - [2. 动态过程演示](#2. 动态过程演示)
  - [3. 对比：闭区间 `[L, R]` 是什么意思？](#3. 对比：闭区间 [L, R] 是什么意思？)
  - 总结

红蓝染色法

这种写法的核心思想是：不维护搜索区间，而是维护两个"边界指针"。

1. 核心逻辑：`(-1, n)`

这种写法把数组想象成两种颜色（比如红色和蓝色）：

左指针 L：始终指向"红色"区域（不满足条件的区域）。
右指针 R：始终指向"蓝色"区域（满足条件的区域）。
目标：找到红蓝交界处。

初始化：

L = -1 （假想数组最左侧有一个不满足条件的哨兵）
R = n （假想数组最右侧有一个满足条件的哨兵）
这样就把所有实际元素 0 到 n-1 都包在 (L, R) 这个开区间里了。

循环条件：

while L + 1 != R: （或者 while L + 1 < R:）
解释： 当 L 和 R 紧挨着的时候（比如 L=2, R=3），说明中间没有元素了，边界找到了，循环结束。

更新逻辑：

永远不需要 +1 或 -1。
如果 mid 是红色的（不满足条件）：L = mid
如果 mid 是蓝色的（满足条件）：R = mid

2. 代码模板

假设我们要在一个有序数组 中找到第一个 >= target 的数（即 C++ 中的 lower_bound）：

python 复制代码

def binary_search_open_interval(nums, target):
    # 1. 初始化在数组范围之外
    left, right = -1, len(nums)
    
    # 2. 循环条件：当左右指针相邻时停止
    while left + 1 != right:
        mid = left + (right - left) // 2
        
        # 3. 染色判断
        if nums[mid] >= target:
            right = mid  # mid 是蓝色的（满足条件），右边界收缩到 mid
        else:
            left = mid   # mid 是红色的（太小了），左边界收缩到 mid
            
    # 4. 结果处理
    # 循环结束时，left 指向最后一个 < target 的数
    # right 指向第一个 >= target 的数
    if right == len(nums):
        return -1 # 没找到，所有数都比 target 小
    return right

3. 为什么很多人喜欢这种写法？（优势）

思维负担极低（无脑 mid）：

你再也不用纠结 mid + 1 还是 mid - 1，也不用担心因为漏了 +1 导致死循环。因为 L 和 R 总是直接赋值为 mid，且循环条件保证了 mid 永远不会等于 L 或 R（只要 R - L > 1）。
返回值清晰：
- 如果你要找第一个满足条件的数，答案永远是 R。
- 如果你要找最后一个不满足条件的数，答案永远是 L。
- 不需要在 return left 还是 return right 之间犹豫。
天然处理空数组：

如果数组是空的，left=-1, right=0，循环根本不会进入，直接返回正确结果，不需要特判。
始终不会越界：

虽然 L 和 R 初始在界外，但计算出的 mid 永远在 [0, n-1] 范围内（只要数组非空），所以 nums[mid] 是安全的。

4. 劣势与注意事项

初始化的理解： 必须要接受下标 -1 和 n 这种"虚拟节点"的概念。
死循环风险（微小）： 如果你错误地写成了 while left < right 且内部还是 left = mid，那就会死循环。必须严格遵守 while left + 1 != right。

总结：我该怎么选？

场景 A：单纯查找一个数（是否存在）

👉 闭区间 [0, n-1] 最简单直接。找到了就 return，找不到拉倒。
场景 B：查找边界（第一个 >= X，最后一个 < X，最大化最小值等）

👉 双开区间 (-1, n) 是无敌的。

你只需要定义好什么是"蓝"（满足条件），什么是"红"（不满足条件），最后返回 R 或 L 即可。

建议： 如果你觉得现在的闭区间写法处理"边界问题"经常出错（比如分不清是找左边界还是右边界），强烈建议尝试一下这个**双开区间（红蓝染色）**写法，它能统一所有复杂的二分问题。

这是一个非常棒的问题！这张图其实是在用 "红蓝染色"的思想 来解释 "闭区间写法" (while L <= R) 的原理。

简单来说：是的，这就是闭区间写法。

但是，它和我们刚才讨论的"双开区间（红蓝染色法）"在变量定义的细节上是不一样的。为了不让你晕，我来帮你拆解这张图的逻辑。

开区间和闭区间的区别

1. 为什么它是"闭区间"写法？

请看图中的两个关键细节：

最终状态是指针错位（Cross Over）：

图中 R R R 在左边（指向 7）， L L L 在右边（指向 8）。
- 这意味着 L > R L > R L>R（具体是 L = R + 1 L = R + 1 L=R+1）。
- 只有 闭区间 的循环条件 while L <= R 结束时，才会出现 L L L 跑到 R R R 右边的情况。
- 如果是 双开区间 (while L + 1 != R)，结束时 L L L 和 R R R 是紧挨着的，且 L L L 在左， R R R 在右。
循环不变量的定义（Loop Invariant）：

图中的文字写着：
- L − 1 L - 1 L−1 始终是红色 → \rightarrow → 这意味着 L 指针刚刚跨过了红色区域（Red），L 左边的全是红色。对应代码 left = mid + 1。
- R + 1 R + 1 R+1 始终是蓝色 → \rightarrow → 这意味着 R 指针刚刚跨过了蓝色区域（Blue），R 右边的全是蓝色。对应代码 right = mid - 1。

2. 这张图在解释哪段代码？

这张图对应的就是最经典的 寻找左侧边界（lower_bound） 的闭区间模板：

python 复制代码

# 闭区间写法
left, right = 0, n - 1

while left <= right:
    mid = left + (right - left) // 2
    if nums[mid] >= target:  # 遇到蓝色（满足条件）
        right = mid - 1      # 尝试往左找，R 变小，保证 R+1 及其右边全是蓝色
    else:                    # 遇到红色（太小了）
        left = mid + 1       # 必须跨过去，L 变大，保证 L-1 及其左边全是红色

# 循环结束时：
# right 指向红色区域的最后一个数 (图中指着 7)
# left  指向蓝色区域的第一个数   (图中指着 8)
return left

3. 和刚才说的"双开区间"有什么区别？

这是最容易混淆的地方，请注意对比：

特性	闭区间 (你发的图)	双开区间 (我刚才推荐的)
指针定义	`L`, `R` 是搜索范围的边界。	`L` 是红军代表，`R` 是蓝军代表。
更新逻辑	`mid` 被排除 (`+1` 或 `-1`)。	`mid` 被保留 (`L=mid` 或 `R=mid`)。
结束条件	`L > R` (错位)	`L + 1 == R` (相邻)
结束状态	R 在左 (红)，L 在右 (蓝)	L 在左 (红)，R 在右 (蓝)
答案	`return L` (因为 L 最后停在蓝色起点)	`return R` (R 本身就是蓝军代表)

4. 总结：如何看懂这张图？

这张图的作者其实是在教大家：

即使你写的是传统的 while left <= right，你也可以在脑子里用"红蓝染色"来理解它。

他把 "答案" 定义为蓝色。
循环结束时，left 指针会停在 "蓝色的第一个"。
right 指针会停在 "红色的最后一个"。
所以图中说：R + 1 是我们要找的答案（也就是 L）。

结论：

如果不喜欢双开区间的 -1, n 写法，这张图就是你理解闭区间二分（找边界）的最佳思维模型 。它完美解释了为什么最后 return left 而不是 return right。

开区间表示的是边界的指针！里面的数是未被染色的数！

在 双开区间 (L, R)（也就是红蓝染色法）的写法中：

开区间 (L, R) 里面的元素，就是当前"还未被染色"（也就是还没被检查/判断）的元素区域。

我们可以把整个数组想象成三个区域：

1. 三个区域的定义

[ 0 , L ] [0, L] [0,L]（闭区间）： 已知的红色区域。
- 这里面的每一个数，我们（或者初始逻辑）都已经确认过，它们是不满足条件的（或者说是"过小"的）。
- L 是红色区域的最前线哨兵。
[ R , n − 1 ] [R, n-1] [R,n−1]（闭区间）： 已知的蓝色区域。
- 这里面的每一个数，我们也已经确认过，它们是满足条件的（或者说是"足够大"的）。
- R 是蓝色区域的最前线哨兵。
( L , R ) (L, R) (L,R)（开区间）： 未知的白色/灰色区域。
- 这就是你说的"还没被判断"的区域。
- 我们的目标就是不断缩小这个"未知区域"，直到它消失。

2. 动态过程演示

假设数组是 [?, ?, ?, ?, ?]，长度为 5。

初始状态：
L = -1, R = 5。

此时开区间是 (-1, 5)。

也就是下标 0, 1, 2, 3, 4 全都在 L 和 R 之间。
含义： "全都没检查过，全是未知区域。"

第一次二分：
mid = 2。我们检查 nums[2]。

假设 nums[2] 满足条件（蓝色）。
我们将 R 移动到 mid，即 R = 2。
含义： "哦，我看了一眼中间，发现下标 2 是蓝色的。那么 2 右边的肯定也都是蓝色的（已知）。现在的未知区域变成了 (-1, 2)，也就是只剩 0, 1 没检查了。"

循环结束条件：
while L + 1 != R

当 L 和 R 紧挨着（比如 L=1, R=2）时，开区间 (1, 2) 里没有整数了 。
含义： "未知区域为空，所有元素都已被归类为红色或蓝色。任务完成。"

3. 对比：闭区间 `[L, R]` 是什么意思？

为了加深理解，我们对比一下闭区间写法：

开区间 (L, R)： L 和 R 是**"墙"（已确定的边界）。我们搜索的是墙中间的空间**。
闭区间 [L, R]： L 和 R 是**"待查嫌疑人"。我们搜索的是 包含 L 和 R 在内的整个嫌疑人名单**。

这也是为什么：

开区间 里，mid 检查完后，直接变成新的墙 (L=mid 或 R=mid)。
闭区间 里，mid 检查完后，必须被剔除 (L=mid+1 或 R=mid-1)，因为它已经不是嫌疑人了。

总结

你理解得完全到位：

开区间 (L, R) 就是那个"待探索的未知世界"。

随着算法进行，红蓝阵营（L 和 R）不断向中间挤压，直到把这个"未知世界"挤得一点不剩（L 和 R 相邻），二分查找就结束了。