RSA 的核心原理

RSA 的数学原理本质是三大数学基石 ：质数分解难题 、欧拉定理 、模逆元。

下面用「公式 + 步骤 + 例子」的方式，一步步拆解，全程不跳关键逻辑，保证你能看懂。

一、先明确 3 个核心数学概念（必须懂）

在讲 RSA 之前，先搞懂这 3 个基础，否则后面会懵：

质数（素数） ：只能被 1 和自身整除的数，比如 2,3,5,7,11...。
欧拉函数 φ(n) ：
- 定义：小于 n 且与 n 互质（最大公约数为 1）的正整数的个数。
- 关键性质：若 n = p×q（p、q 是不相等的质数），则 φ(n) = (p-1)×(q-1)。例：p=3, q=5 → n=15 → φ(15)=(3-1)×(5-1)=8（验证：1,2,4,7,8,11,13,14 共 8 个）。
模逆元：
- 定义：对于整数 a 和 m，如果存在整数 b，使得 (a×b) mod m = 1，则 b 是 a 的模 m 逆元。
- 存在条件：a 和 m 互质。例：a=3, m=10 → 3×7=21 → 21 mod 10=1 → 7 是 3 的模 10 逆元。

二、RSA 密钥生成的 5 个步骤（核心）

RSA 的密钥对（公钥 + 私钥）就是通过这 5 步算出来的，我们用小质数举例（实际用几百位的大质数）。

步骤 1：选两个不相等的大质数 `p` 和 `q`

为了方便计算，我们选小质数：p = 61，q = 53（实际场景中 p 和 q 是几百位的质数，相乘后的 n 是几百位的大数）

步骤 2：计算 `n = p × q`（公钥的核心参数）

n = 61 × 53 = 3233

n 的作用：作为模，公钥和私钥都需要它，是公开的。
安全性关键：破解 RSA 必须从 n 反推出 p 和 q，但大数分解极难。

步骤 3：计算欧拉函数 `φ(n) = (p-1) × (q-1)`

φ(3233) = (61-1) × (53-1) = 60 × 52 = 3120

φ(n) 是私有的，绝对不能公开。

步骤 4：选一个整数 `e`，满足两个条件

1 < e < φ(n)
e 和 φ(n) 互质（最大公约数为 1）

我们选 e = 17（行业常用 e=65537，是固定值）验证：gcd(17, 3120) = 1（互质，符合条件）

e 是公钥的另一个核心参数 ，和 n 一起组成公钥 (e, n)。

步骤 5：计算 `e` 的模 `φ(n)` 逆元 `d`（私钥核心参数）

找一个整数 d，满足 (e × d) mod φ(n) = 1代入数值：(17 × d) mod 3120 = 1通过计算可得 d = 2753（验证：17×2753=46801 → 46801 mod 3120 = 1，符合条件）

d 是私钥的核心参数 ，和 n 一起组成私钥 (d, n)，绝对保密。

最终密钥对

公钥 (e, n) = (17, 3233) → 公开给所有人
私钥 (d, n) = (2753, 3233) → 自己保管，绝不泄露

三、RSA 加密和解密的数学公式

RSA 的加密和解密都是模幂运算，公式非常简洁：

明文：m（要加密的数据，必须 m < n）
密文：c（加密后的数据）

1. 加密（用公钥 `(e, n)`）

c = m^e mod n

任何人都能用公钥加密，但只有私钥能解密。

2. 解密（用私钥 `(d, n)`）

m = c^d mod n

只有持有私钥的人，才能算出明文。

四、实际举例：加密解密全过程

我们用上面的密钥对，加密明文 m = 65（比如 65 对应字母 'A'）

步骤 1：加密（公钥 `(17, 3233)`）

c = 65^17 mod 3233计算结果：c = 2790

密文就是 2790，可以公开传输。

步骤 2：解密（私钥 `(2753, 3233)`）

m = 2790^2753 mod 3233计算结果：m = 65

成功还原明文！

五、RSA 数字签名的数学原理（和 App 签名相关）

你之前做的 App 签名，本质是 RSA 签名，公式和加密相反：

签名：用私钥 (d, n) 加密明文的哈希值 h``s = h^d mod n → s 就是数字签名
验证：用公钥 (e, n) 解密签名，对比哈希值h' = s^e mod n → 如果 h' = h，说明签名合法

核心逻辑：只有私钥持有者能生成签名，任何人都能用公钥验证 ------ 这就是为什么 App 签名能防篡改、防伪造。

六、RSA 安全性的数学本质

RSA 之所以安全，核心是 **"大数分解难题" 的单向性 **：

正向计算容易 ：两个几百位的大质数 p 和 q，相乘得到 n 很简单；
反向计算极难 ：从几百位的 n 反推出 p 和 q，现有计算机需要几百万年才能算出来；
破解的唯一途径 ：必须知道 d，而 d 的计算依赖 φ(n)，φ(n) 又依赖 p 和 q------ 没有 p 和 q，就永远算不出 d。

七、补充：为什么实际 RSA 要结合哈希算法？

因为 RSA 只能加密小于 n 的数据 ，而 n 是几百位的数，直接加密大文件效率极低。所以实际流程是：

对大文件（如 APK）计算哈希值 h（如 SHA256）→ 得到短字符串；
用私钥加密 h → 生成数字签名；
验证时，先算文件哈希，再用公钥解密签名对比 ------ 既高效又安全。

总结

RSA 的数学原理可以浓缩为 3 句话：

密钥生成：基于质数分解和欧拉定理，算出公钥 (e,n) 和私钥 (d,n)；
加解密：公钥加密是 m^e mod n，私钥解密是 c^d mod n；
安全性：依赖大数分解的单向性，现有技术无法破解。

这个数学逻辑看似简单，却是互联网安全的基石 ------ 从 HTTPS 到 App 签名，都离不开它！

欧拉函数没懂？我详细讲下

欧拉函数（φ 函数）是理解 RSA 的核心门槛，咱们用「定义→性质→例子→实战计算」四步拆解，全程不用复杂公式，只讲本质和实用结论：

一、先把欧拉函数说人话：核心定义

欧拉函数 φ(n) 的唯一作用：计算 "小于等于 n 且和 n 互质的正整数的个数" 。

关键前置：什么是 "互质"？

两个数的 最大公约数（gcd）= 1，就说这两个数互质。比如：

5 和 8：gcd (5,8)=1 → 互质；
6 和 8：gcd (6,8)=2 → 不互质；
1 和任何数：gcd (1,x)=1 → 1 和所有数都互质（重要结论）。

欧拉函数的计算示例（从简单到复杂）

n 值	小于等于 n 的正整数	其中和 n 互质的数	φ(n) 结果	验证
1	[1]	[1]	1	只有 1 个
2	[1,2]	[1]	1	2 和 1 互质，和自己不互质
3	[1,2,3]	[1,2]	2	3 和 1、2 都互质
4	[1,2,3,4]	[1,3]	2	4 和 1、3 互质（和 2、4 不互质）
5	[1,2,3,4,5]	[1,2,3,4]	4	质数和所有小于它的数都互质
6	[1,2,3,4,5,6]	[1,5]	2	6 和 1、5 互质（和 2、3、4、6 不互质）

二、欧拉函数的核心性质（RSA 只用到这 2 条）

不用记所有性质，RSA 里只需要掌握以下 2 条，尤其是第 2 条：

性质 1：若 n 是质数，则 φ(n) = n-1

解释：质数的定义是 "只能被 1 和自身整除"，所以所有小于它的数都和它互质，个数就是 n-1。例子：

n=5（质数）→ φ(5)=5-1=4（和上面表格一致）；
n=61（RSA 例子里的质数）→ φ(61)=60。

性质 2：若 n = p×q（p、q 是不相等的质数），则 φ(n) = (p-1)×(q-1)

这是 RSA 中最核心的性质！解释：

p、q 是质数，所以 φ(p)=p-1，φ(q)=q-1；
当 p 和 q 不相等时，φ(p×q) = φ(p)×φ(q)（数论里的 "积性函数" 性质）；
因此 φ(n) = (p-1)×(q-1)。

实战计算（对应之前 RSA 的例子）

RSA 中我们选了 p=61，q=53（都是质数且不相等）：

φ(61) = 61-1 = 60；
φ(53) = 53-1 = 52；
φ(n) = φ(61×53) = 60×52 = 3120（和之前 RSA 步骤里的结果完全一致）。

为什么这个性质对 RSA 至关重要？

因为：

RSA 的私钥参数 d 必须通过 φ(n) 计算（d 是 e 的模 φ(n) 逆元）；
外人只知道 n（公开），但要算 φ(n) 必须先分解 n 得到 p 和 q；
当 n 是几百位的大数时，分解 n 成 p×q 是世界级数学难题 ------ 这就是 RSA 安全的核心。

三、再举 2 个例子巩固性质 2

例子 1：n=15=3×5（3、5 都是质数）

φ(15) = (3-1)×(5-1) = 2×4 = 8；
验证：小于 15 且和 15 互质的数是 [1,2,4,7,8,11,13,14] → 共 8 个，和计算结果一致。

例子 2：n=21=3×7（3、7 都是质数）

φ(21) = (3-1)×(7-1) = 2×6 = 12；
验证：小于 21 且和 21 互质的数是 [1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20] → 共 12 个，正确。

四、欧拉函数在 RSA 中的实际作用（终于绕回核心）

我们再串一遍 RSA 流程，看欧拉函数到底在哪发挥作用：

选 p=61、q=53 → n=3233；
算 φ(n)=3120（这一步是私钥的 "密码"）；
选 e=17（和 φ(n) 互质）；
算 d，满足 (e×d) mod φ(n)=1 → (17×2753) mod 3120=1；
加密：c = m^e mod n；解密：m = c^d mod n。

核心逻辑：

解密公式能成立，本质是基于 "欧拉定理"：若 m 和 n 互质，则 m^φ(n) ≡ 1 mod n；
推导下来就是 m^(e×d) ≡ m^(k×φ(n)+1) ≡ (m^φ(n))^k × m ≡ 1^k × m ≡ m mod n；
而 φ(n) 只有私钥持有者知道（因为只有他知道 p 和 q），外人就算拿到 e 和 n，也算不出 d。

五、总结：欧拉函数的核心 Takeaway

欧拉函数 φ(n) = 小于等于 n 且和 n 互质的正整数个数；
质数 p 的 φ(p)=p-1；
若 n=p×q（p、q 是不同质数），则 φ(n)=(p-1)×(q-1)（RSA 唯一需要记的）；
欧拉函数是 RSA 私钥计算的 "钥匙"，也是 RSA 安全性的核心 ------ 因为外人无法从 n 反推 φ(n)。

现在回头看 RSA 的密钥生成，是不是就懂了：欧拉函数是连接 "公开的 n" 和 "私密的 d" 的唯一桥梁，而这个桥梁的入口（p、q）被牢牢锁死。

φ这个符号啥意思，不懂啊

这个符号 φ 就是欧拉函数的专属 "名字" ，没啥复杂含义，就是一个数学记号。

一、`φ` 是什么？

读音：读作 fài（和 "派 π" 类似，都是希腊字母）。
作用：专门用来表示 "欧拉函数" 这个计算规则，就像用 f(x) 表示函数一样。
- 比如 φ(n)，翻译过来就是 "对正整数 n 计算欧拉函数的值" 。
- 你可以把它理解成一个 "计算指令"：输入一个数 n，输出 "小于等于 n 且和 n 互质的正整数个数"。

二、举个例子，秒懂用法

数学写法	中文翻译	计算结果
`φ(5)`	计算 5 的欧拉函数值	4（1、2、3、4 都和 5 互质）
`φ(6)`	计算 6 的欧拉函数值	2（1、5 和 6 互质）
`φ(15)`	计算 15 的欧拉函数值	8（1、2、4、7、8、11、13、14 和 15 互质）
`φ(p)`（p 是质数）	计算质数 p 的欧拉函数值	p-1（所有小于 p 的数都和 p 互质）

三、和 RSA 的关联：为啥要记这个符号？

在 RSA 里，你只需要记住 φ(n) = (p-1)×(q-1) 这个公式就行，这里的 φ(n) 就是 "对 n 计算欧拉函数" 的简写。

比如 RSA 例子里 n=61×53=3233，我们直接写 φ(3233) = (61-1)×(53-1)=3120，不用每次都写 "计算小于 3233 且和 3233 互质的数的个数"。

简单说：φ 就是个简写符号，用来让数学表达更简洁，不用反复写一长串文字定义。