xtuoj 矩阵

题目

思路

要解决这道题，核心是找到操作的本质规律------ 先分析 "相邻元素加减" 操作对矩阵的影响，再推导判断条件。

步骤 1：理解操作的本质

题目中 "相邻元素加减" 的操作（比如对 a[i][j] 和 a[i][j+1]，同时 + 1 或 - 1），其实等价于：对矩阵中任意两个相邻元素，同时增加 / 减少同一个数。

观察这个操作对矩阵的影响：假设对元素 x 和 y 同时加 k，那么整个矩阵的元素总和变化量 是 k + k = 2k（即总和的变化是偶数）。

但更关键的是：矩阵中所有元素的 "奇偶性组合" 具有特定的不变性。

步骤 2：推导不变性（关键结论）

我们给矩阵的元素按 "棋盘格" 方式染色：

• 把 A[i][j] 分为两类：(i+j) 是偶数的元素（记为 "黑格"），(i+j) 是奇数的元素（记为 "白格"）。

此时，"相邻元素加减" 操作的对象，必然是一个黑格和一个白格 （因为相邻元素的 i+j 奇偶性不同）。

对这两个元素同时加 / 减 k，会导致：

• 黑格的总和变化 ±k；
• 白格的总和变化 ±k；
• 因此，黑格总和 与 白格总和的差值 不变 （因为 (黑+Δk) - (白+Δk) = 黑-白）。

步骤 3：判断条件

要将矩阵 A 转化为 B，需要满足：对 A 和 B 分别计算 黑格总和 - 白格总和，这两个差值必须相等。

验证题目中的示例

以题目中的 A 和 B 为例：

• A 的黑格（i+j 偶）：A[0][0]=1、A[0][2]（无）、A[1][1]=4 → 黑总和 = 1+4=5；白格（i+j 奇）：A[0][1]=2、A[1][0]=3 → 白总和 = 2+3=5；差值：5-5=0。

• B 的所有元素都是 0 → 黑总和 = 0，白总和 = 0 → 差值 = 0-0=0。

两者差值相等，所以可以转化（与题目示例结果一致）。

解题步骤

对每个测试用例：

1. 分别计算矩阵 A 的 黑格总和 - 白格总和 （记为 diffA）；
2. 分别计算矩阵 B 的 黑格总和 - 白格总和 （记为 diffB）；
3. 若 diffA == diffB，输出 Yes；否则输出 No。

代码

#include <stdio.h>

int main() {
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		int n, m;
		scanf("%d%d", &n, &m);
		
		// 计算矩阵A的diff
		long long diffA = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < m; j++) {
				long long x;
				scanf("%lld", &x);
				if ((i + j) % 2 == 0) {
					diffA += x;
				} else {
					diffA -= x;
				}
			}
		}
		
		// 计算矩阵B的diff
		long long diffB = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < m; j++) {
				long long x;
				scanf("%lld", &x);
				if ((i + j) % 2 == 0) {
					diffB += x;
				} else {
					diffB -= x;
				}
			}
		}
		
		// 判断
		if (diffA == diffB) {
			printf("Yes\n");
		} else {
			printf("No\n");
		}
	}
	return 0;
}