A、装水
- 操作 1：手动加水（需最小化）；
- 操作 2：移动水（无次数限制，可跨空段移动）；
- 自动填充：若空单元格
i（2≤i≤n-1）左右都有水，会自动填满； - 关键推论：只要存在≥3 个连续的空单元格，仅需 2 次操作 1 就能填满所有空单元格（其余空单元格可通过 "自动填充 + 操作 2 移动水" 覆盖）；若不存在≥3 个连续空单元格，则每个空单元格都需手动加 1 次水。
cpp
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
while (n--) {
int m;
scanf("%d", &m);
char* str = (char*)malloc((m+5) * sizeof(char));
scanf("%s", str);
int w = 0, count = 0;
for (int i = 0; i < m-2; i++){
if (str[i] == '.' && str[i + 1] == '.' && str[i + 2] == '.') {
w = 1;
break;
}
}
for (int i = 0; i < m; i++) if (str[i] == '.')count++;
if (w == 1){
printf("2\n");
continue;
}
else printf("%d\n", count);
}
return 0;
}B、签到签到
这个问题的核心是双指针法（夹逼法），利用 "x²+y² 随 x 增大、y 减小的单调性"，在 O (√D) 时间复杂度内找到使 | x²+y²-D | 最小的非负整数对 (x,y)，避免暴力枚举所有可能的 x、y（暴力枚举会超时，因为 D 最大到 1e12，√D 约 1e6，双指针法效率极高）。
核心原理
对于非负整数 x、y：
- x²+y² 的取值范围：最小为 0（x=y=0），最大无界，但我们只需要找到最接近 D 的取值；
- 单调性：固定 x 时，y 越大，x²+y² 越大；固定 y 时，x 越大，x²+y² 越大；
- 双指针策略：
- 初始时，x 从 0 开始（最小），y 从√D 开始（最大的可能使 y²≤D 的数）；
- 通过调整 x 和 y 的大小，逐步逼近 "x²+y²=D" 的状态，过程中记录最小差值。
cpp
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main() {
long long D;
scanf("%lld", &D);
long long x = 0;
long long y = (long long)sqrt(D);
long long min_diff = D;
while (x <= y) {
long long cur = x * x + y * y;
long long diff = cur - D;
if (diff < 0) {
diff = -diff;
}
if (diff < min_diff) {
min_diff = diff;
}
if (cur > D) {
y--;
}
else {
x++;
}
}
printf("%lld\n", min_diff);
return 0;
}C、热爱物理的zwz
这个问题的核心是利用 "光的全反射对称原理" 推导激光的入射向量，再通过 "最大公约数（GCD）约分" 保证输出向量的最简形式（gcd (i,j,k)=1）。
物理反射原理（核心推导）
-
坐标系定义：
- zwz 位置为原点 (0,0,0)，水面是 z=h 的平面（zwz 在水下，距离水面高度为 h，因此水面的 z 坐标是 h）；
- 目标位置为 (x,y,z)，激光需先射到水面，经一次全反射后到达目标。
-
反射的 "镜像法"（关键！）：光的反射可等效为 "激光沿直线射向目标的镜像点"，镜像点的计算规则：
- 水面是 z=h，目标点 (x,y,z) 关于水面的镜像点 z 坐标为：
h + (h - z) = 2h - z（x、y 坐标不变）； - 因此，激光的入射向量就是从原点 (0,0,0) 指向镜像点 (x, y, 2h - z) 的向量，即初始向量为
(x, y, 2h - z)。
👉 样例验证：样例输入 h=5，目标 (3,3,2) → 镜像点 z 坐标 = 2*5 -2=8 → 初始向量为 (3,3,8)（与样例输出一致，且该向量 gcd=1，无需约分）。
- 水面是 z=h，目标点 (x,y,z) 关于水面的镜像点 z 坐标为：
cpp
#include<stdio.h>
int main()
{
int n, a,b,c;
scanf("%d", &n);
scanf("%d %d %d", &a,&b,&c);
int u, uu;
if (n != 0)
u = n - c + n;
else
u = c;
if (a < b) {
uu = a;
}
else {
uu = b;
}
if (uu > u) {
uu = u;
}
for (int i = uu; i >= 2; i--) {
if (a % i == 0 && b % i == 0 && u % i == 0) {
a = a / i;
b = b / i;
u = u / i;
i++;
}
}
printf("%d %d %d", a, b, u);
return 0;
}D、学的太少了，水题凑一下好了
cpp
#include<stdio.h>
int num(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
else return num(b, a % b);
}
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
int t = num(n, m);
printf("%d", t);
}E、奇怪的等式
这个问题的核心是通过数学公式构造满足条件的整数解 (x,y,z)，而非暴力枚举（暴力枚举会因 n 范围大而超时），同时对特殊值（n=0、n=1）直接判定无解。
关键数学推导（构造解的核心）
题目要求找到互不相同的整数 x,y,z，满足：x1+y1+z1=n2
步骤 1：简化问题，先固定两个变量
我们尝试构造一组通用解，选择x = n（第一个变量），代入等式：n1+y1+z1=n2化简得：y1+z1=n1
步骤 2：构造 y 和 z 的解
对 y1+z1=n1，我们需要找两个互不相同的整数 y、z，且与 x=n 也互不相同。经典的分数拆分技巧：令 y=n+1（第二个变量），代入得：z1=n1−n+11=n(n+1)(n+1)−n=n(n+1)1因此 z=n(n+1)（第三个变量）。
步骤 3：验证构造的解是否满足所有条件
构造的解为：
- x=n
- y=n+1
- z=n(n+1)
验证等式：n1+n+11+n(n+1)1=n(n+1)(n+1)+n+1=n(n+1)2n+2=n(n+1)2(n+1)=n2完全满足原式！
同时验证 "互不相同"：
- n ≥ 2 时，n <n+1 < n (n+1)（如 n=3 时，3 < 4？不，样例中 n=3 时 y=7？哦，样例是特殊构造，核心逻辑是 "存在通用构造解"，样例的解是另一组有效解，代码的构造解是更通用的）。
特殊值判断（n=0、n=1 无解）
- n=0：原式右边 02 无意义，直接判定无解；
- n=1：代入构造解得 x=1、y=2、z=2，z 与 y 重复（不满足 "互不相同"），且无其他有效解，判定无解；
- n≥2：构造的 x=n、y=n+1、z=n (n+1) 互不相同，且满足等式，因此有解。
cpp
#include <stdio.h>
int main ()
{
int n,x,y,z;
scanf("%d",&n);
x=n;
y=n+1;
z=(n+1)*n;
if(n==0||n==1)
{
printf("小王大王");
}else
{
printf("%d %d %d",x,y,z);
}
return 0 ;
}F、路径
这个问题的核心是动态规划（DP）求解网格最短路径数，结合 "只能向右 / 向下走（最短路径的唯一走法）" 的规则，通过状态转移方程递推所有路径数，最终对结果取模。
问题本质（最短路径的约束）
网格中从起点 (0,0) 到终点 (n-1,m-1) 的最短路径，只能由 "向右（→）" 和 "向下（↓）" 两种移动组成（任何向左 / 向上的移动都会增加路径长度）。
- 最短路径的总步数固定：需要走
(n-1)次向下 +(m-1)次向右 =n+m-2步； - 路径数等价于：在
n+m-2步中选择n-1步向下（或m-1步向右）的组合数，即 C(n+m−2,n−1)（组合数公式）。
cpp
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 2000
int a[N][N];
int main() {
int n, m, i, j;
scanf("%d%d", &n, &m);
for ( i = 0; i <N; i++)
{
a[i][0] = 1;
a[0][i] = 1;
}
for ( i = 0; i <n; i++)
{
for ( j = 0; j <= m; j++)
{
a[i + 1][j + 1] = (a[i][j + 1] + a[i + 1][j]) % 1000000007;
}
}
printf("%d", a[n-1][m-1]);
return 0;
}