算法设计与分析

题源1 斐波那契数列应用

重点考察：递归方法实现时的递归方程的书写！

如果只有一级台阶，则 f(1)= ++1++

如果有两级台阶，则 f(2)= ++2++

给出其递归表达式，f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n) = f(n-1)+f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2)

题源2 背包问题

聚焦0-1背包问题，关注填表法！

动态规划过程：

（1)定义状态

设DP $i$ $j$ DP $i$ $j$ DP $i$ $j$ 表示在前iii个物品中，当前背包容量为jjj时，能够装入背包的物品的最大价值。

（2）状态转移方程

对于每个物品，有两种选择：放入背包或不放入背包。因此DP $i$ $j$ DP $i$ $j$ DP $i$ $j$ 的值取决于两种情况的最大值：

●不放入第iii个物品，则DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ （即前i−1i-1i−1个物品在容量为j的背包中的最大价值）。

●放入第iii个物品，但前提是背包的剩余容量要大于等于该物品的重量，即j>=wt $i$ j>=wt $i$ j>=wt $i$ ，此时DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j−wt\[i$ +val $i$ DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j-wt\[i$ +val $i$ DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j−wt\[i$ +val $i$ （即前i−1i-1i−1个物品在容量为j−wt $i$ j-wt $i$ j−wt $i$ 的背包中的最大价值加上第iii个物品的价值）。

综合两种情况，得到状态转移方程：
{DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j−wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ );(j≥wt $i$ )DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ (j<wt $i$ ) \begin{cases}\mathrm{DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j-wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ );}&\mathrm{(j\geq wt $i$ )}\\\mathrm{DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ }&\mathrm{(j<wt $i$ )}&\end{cases} {DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j−wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ );DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ (j≥wt $i$ )(j<wt $i$ )

（3）边界条件

①DP $0$ $j$ =0DP $0$ $j$ =0DP $0$ $j$ =0对于所有jjj，因为没有物品可选时，无论背包容量多大，总价值都是0。

②DP $i$ $0$ =0DP $i$ $0$ =0DP $i$ $0$ =0对于所有i，因为背包容量为0时，无法装入任何物品，总价值为0。

(4)）目标

最终目标是找到DP $n$ $w$ DP $n$ $w$ DP $n$ $w$ ，其中nnn是物品的总数，www是背包的最大承重，这表示在所有物品和背包容量限制下，能够装入背包的物品的最大价值。

例题：

当解决0-1背包问题时，动态规划常用的方法是通过填表的方式来求解。下面将通过示例详细展示填表的过程，并解释每一步的计算过程。假设有如下物品重量、物品价值和背包所能承受的参数，

物品重量： $2, 3, 6, 5$
物品价值： $6, 3, 5, 4$
背包所能承受的质量（容量）：9

填表过程：

（1）创建二维表格DP，并进行表格初始化：行数据表示物品的选择，列数据表示背包的容量j容量j容量j。


物品i		1	2	3	4	5	6	7	8	9
i=0		0	0	0	0	0	0	0	0	0
i=1	w=2, v=6	0	0	0	0	0	0	0	0	0
i=2	w=3, v=3	0	0	0	0	0	0	0	0	0
i=3	w=6, v=5	0	0	0	0	0	0	0	0	0
i=4	w=5, v=4	0	0	0	0	0	0	0	0	0

（2）填表

依据状态转移方程，逐行更新表格数据。
{DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j−wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ );(j≥wt $i$ )DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ (j<wt $i$ ) \begin{cases}\mathrm{DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j-wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ );}&\mathrm{(j\geq wt $i$ )}\\\mathrm{DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ }&\mathrm{(j<wt $i$ )}&\end{cases} {DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j−wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ );DP $i$ $j$ =DP $i-1$ $j$ (j≥wt $i$ )(j<wt $i$ )


物品i		1	2	3	4	5	6	7	8	9
i=0		0	0	0	0	0	0	0	0	0
i=1	w=2, v=6	0	6	6	6	6	6	6	6	6
i=2	w=3, v=3	0	6	6	6	9	9	9	9	9
i=3	w=6, v=5	0	6	6	6	9	9	9	11	11
i=4	w=5, v=4	0	6	6	6	9	9	10	11	11

更新DP $1$ $2$ DP $1$ $2$ DP $1$ $2$ ：因为(j≥wt $i$ )即(2≥wt $1$ )\mathrm{(j\geq wt $i$ )} 即 \mathrm{(2\geq wt $1$ )}(j≥wt $i$ )即(2≥wt $1$ ) 满足状态转移的第一种情况，所以 DP $i$ $j$ =max(DP $i-1$ $j-wt\[i$ ]+val $i$ ,DP $i-1$ $j$ )

即DP $1$ $2$ =max(DP $1-1$ $2−wt\[1$ ]+val $1$ ,DP $1-1$ $2$ )即 DP $1$ $2$ =max(DP $1-1$ $2-wt\[1$ ]+val $1$ ,DP $1-1$ $2$ )即DP $1$ $2$ =max(DP $1-1$ $2−wt\[1$ ]+val $1$ ,DP $1-1$ $2$ )

=max(DP $0$ $2-2$ +val $1$ ,DP $1-1$ $2$ )=max(DP $0$ $2-2$ +val $1$ ,DP $1-1$ $2$ )=max(DP $0$ $2-2$ +val $1$ ,DP $1-1$ $2$ )

=max(0+6],0)=6=max(0+6],0) = 6=max(0+6],0)=6

同理更新DP $2$ $3$ DP $2$ $3$ DP $2$ $3$ ：因为(j≥wt $i$ )即(3≥wt $2$ )\mathrm{(j\geq wt $i$ )} 即 \mathrm{(3\geq wt $2$ )}(j≥wt $i$ )即(3≥wt $2$ ) 满足状态转移的第一种情况

DP $2$ $3$ =max(DP $2-1$ $3−wt\[2$ ]+val $2$ ,DP $2-1$ $3$ )DP $2$ $3$ =max(DP $2-1$ $3-wt\[2$ ]+val $2$ ,DP $2-1$ $3$ )DP $2$ $3$ =max(DP $2-1$ $3−wt\[2$ ]+val $2$ ,DP $2-1$ $3$ )

=max(DP $1$ $3-3$ +val $2$ ,DP $2-1$ $3$ )=max(DP $1$ $3-3$ +val $2$ ,DP $2-1$ $3$ )=max(DP $1$ $3-3$ +val $2$ ,DP $2-1$ $3$ )

=max(0+3],6)=6=max(0+3],6) = 6=max(0+3],6)=6

DP $2$ $5$ =max(DP $2-1$ $5−wt\[2$ ]+val $2$ ,DP $2-1$ $5$ )DP $2$ $5$ =max(DP $2-1$ $5-wt\[2$ ]+val $2$ ,DP $2-1$ $5$ )DP $2$ $5$ =max(DP $2-1$ $5−wt\[2$ ]+val $2$ ,DP $2-1$ $5$ )

=max(DP $1$ $5-3$ +val $2$ ,DP $2-1$ $5$ )=max(DP $1$ $5-3$ +val $2$ ,DP $2-1$ $5$ )=max(DP $1$ $5-3$ +val $2$ ,DP $2-1$ $5$ )

=max(6+3],6)=9=max(6+3],6) = 9=max(6+3],6)=9

通过不断填表更新，最终得到的右下角的值即为问题的最优解，即DP $4$ $9$ DP $4$ $9$ DP $4$ $9$ 。若想知道具体的物品选择方案，需要进行倒退：

需要倒过来观察：

DP $4$ $9$ =max(DP $3$ $4$ +4,DP $3$ $9$ )=DP $3$ $9$ DP $4$ $9$ =max(DP $3$ $4$ +4,DP $3$ $9$ )=DP $3$ $9$ DP $4$ $9$ =max(DP $3$ $4$ +4,DP $3$ $9$ )=DP $3$ $9$ ，说明没有装物品4，i4=0i_4 =0i4=0；

DP $3$ $9$ =max(DP $2$ $3$ +5,DP $2$ $9$ )=DP $2$ $3$ +5=11DP $3$ $9$ =max(DP $2$ $3$ +5,DP $2$ $9$ )=DP $2$ $3$ +5=11DP $3$ $9$ =max(DP $2$ $3$ +5,DP $2$ $9$ )=DP $2$ $3$ +5=11，说明装了物品3，i3=1i_3 =1i3=1；

DP $2$ $3$ =max(DP $1$ $0$ +3,DP $1$ $3$ )=DP $1$ $3$ DP $2$ $3$ =max(DP $1$ $0$ +3,DP $1$ $3$ )=DP $1$ $3$ DP $2$ $3$ =max(DP $1$ $0$ +3,DP $1$ $3$ )=DP $1$ $3$ ，说明没有装物品2，i2=0i_2 =0i2=0；

DP $1$ $3$ =max(DP $0$ $1$ +6,DP $0$ $3$ )=DP $0$ $1$ +6=6DP $1$ $3$ =max(DP $0$ $1$ +6,DP $0$ $3$ )=DP $0$ $1$ +6=6DP $1$ $3$ =max(DP $0$ $1$ +6,DP $0$ $3$ )=DP $0$ $1$ +6=6，说明装了物品1，i1=1i_1 =1i1=1。

题源3 最短路径之Dijkstra算法求解

要求：能够写出最终输出的结果

DijkstraDijkstraDijkstra 算法也称为最短路径算法，是一种寻找图中单源最短路径 的算法，适用于非负权重的所有情况。

是贪心策略的经典例子，从一个起始点开始，逐步扩展到图中的所有其他节点，每次选择未访问的最近节点，并更新其临近节点的距离。用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。

v1到其他顶点的距离如下：

	v2	v3	v4	v5	v6
最短距离	5	12	9	4	3
具体路径	v1-v6-v2	v1-v6-v2-v3	v1-v6-v4	v1-v6-v5	v1-v6

	B	C	D	E	F
最短距离	1	3	4	4	7
具体路径	A-B	A-B-C	A-B-D	A-B-D-E	A-B-D-F

题源4 高精度加法

简答题考察点 ①字符串的模拟 ②如何处理进位

用字符串和数组来表示高精度数值，每个字符或数组元素代表数值的一个数字或一组数字；采用分治策略解决高精度相加问题，其基本思想是将高精度的加法分解为更小的加法操作，然后将这些结果合并起来得到最终结果。

具体实现：

（1）分解：将高精度分解为更小的数位。

（2）递归计算：对分解后的每个数位进行递归的加法计算。如果数位相加的结果超过了数据类型所能表示的范围，需要进行进位处理。

（3）合并：将递归计算得到的结果按顺序合并起来，形成最终的高精度加法结果。

（4）处理进位：在合并过程中，如果高位相加结果超过数据类型所能表示的范围，需要特别处理进位。

题源6 最小路径和

考察形式：填表

题源7 删数问题

考察删数的规则，能够写出每一步应该删除的数字！

贪心策略 ：每次删除一个数字时，优先删除对当前序列字典序列影响最大的数字。找到系列中第一个满足D $j$ >D $j+1$ D $j$ >D $j+1$ D $j$ >D $j+1$ 的数字D $j$ D $j$ D $j$ ，并将其删除。如果整个序列是非递减的，则删除最后一个数字。

题源8 n皇后问题

共有几种解法，能够手工画出来所有的方案----> 原理思想

回溯算法的试错思维：

采用深度优先搜索策略遍历问题的解空间，在探索过程中逐步构建候选解，并在发现当前路径无法构成有效解时立即回退到上一步状态。

适合解决需要枚举所有可能组合或排列的决策类问题，通过维护动态的"当前解"状态，在满足特定条件时记录有效解，不满足时则撤销最近的选择并尝试其他可能性。

解决N皇后问题的核心思路是通过回溯法来逐行地尝试放置皇后，并在每一步检查是否合法。合法的放置方式会继续递归到下一行，不合法的放置方式会回溯到上一步进行调整。回溯法的基本思想是递归地尝试每一种可能的放置，并在发现冲突时回溯，换一个位置继续尝试。

当n=1时，只有一种解决方案。

当n=2时，无解。

当n=3时，无解。

当n=4时，有2种解决方案。

当n=5时，有10种解决方案。

当n=6时，有4种解决方案。

当n=7时，共有40种解。

当n=8时，共有92种解。

可能题源9 A∗A^{*}A∗算法

1、A∗A^{*}A∗算法在最短路径中的应用

改进传统的DijkstraDijkstraDijkstra算法，使其在保证最优性的同时大幅度减少计算量。关键在于引入了启发式函数h(n)h(n)h(n)，预估当前节点到终点的代价，优先扩展最有希望的路径。

启发：从某个位置开始找路的时候，利用一些已知信息估算每种选择的代价，然后选择代价最小 的方向。估算代价的函数如下：
f(n)=g(n)+h(n) f(n) = g(n) + h(n) f(n)=g(n)+h(n)
g(n)g(n)g(n)节点nnn距离起点的代价；h(n)h(n)h(n)节点nnn距离终点的预计代价。

若h(n)=0h(n)=0h(n)=0，退化为DijkstraDijkstraDijkstra算法；

若h(n)h(n)h(n)始终小于等于节点nnn到终点的代价，则A∗A^{*}A∗算法一定能找到最短路径；

若h(n)h(n)h(n)的值比节点nnn到终点的代价要大，则A∗A^{*}A∗算法不能保证找到最短路径，但很很快结束。

数如下：
f(n)=g(n)+h(n) f(n) = g(n) + h(n) f(n)=g(n)+h(n)
g(n)g(n)g(n)节点nnn距离起点的代价；h(n)h(n)h(n)节点nnn距离终点的预计代价。

若h(n)=0h(n)=0h(n)=0，退化为DijkstraDijkstraDijkstra算法；

若h(n)h(n)h(n)始终小于等于节点nnn到终点的代价，则A∗A^{*}A∗算法一定能找到最短路径；

若h(n)h(n)h(n)的值比节点nnn到终点的代价要大，则A∗A^{*}A∗算法不能保证找到最短路径，但很很快结束。

算法设计与分析