【每日算法】LeetCode 84. 柱状图中最大的矩形

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LeetCode 84. 柱状图中最大的矩形：从暴力到单调栈的优雅解法

1. 题目描述

LeetCode 84题"柱状图中最大的矩形"要求：给定一个整数数组 heights，表示柱状图中各个柱子的高度，每个柱子的宽度为1，且彼此相邻。需要找出该柱状图中能够勾勒出的最大矩形的面积。

示例：

输入：heights = [2,1,5,6,2,3]

输出：10

解释：最大矩形面积为10，对应高度为5的柱子，宽度为2（即从索引2到3的柱子，但实际计算以高度5向左右延伸）。

约束条件：

1 <= heights.length <= 10^5
0 <= heights[i] <= 10^4

2. 问题分析

该问题的核心在于：对于每个柱子，以其高度作为矩形高度时，矩形的最大宽度由其左右两侧第一个比它矮的柱子决定。因此，最大矩形面积可通过遍历每个柱子，计算以该柱子高度为高的最大矩形面积，并取全局最大值得到。

关键转换：

对于柱子 i，高度为 h[i]，向左找到第一个高度小于 h[i] 的索引 left，向右找到第一个高度小于 h[i] 的索引 right。
此时，矩形宽度为 right - left - 1，面积为 h[i] * (right - left - 1)。
遍历所有 i，计算最大面积。

这本质上是寻找每个柱子的"左右边界"，类似前端中计算元素在布局中的扩展范围。

3. 解题思路

3.1 暴力解法（朴素扩展）

对于每个柱子，向左右两侧扩展，直到遇到高度更小的柱子，计算面积。该方法直观但效率低。

时间复杂度：O(n²)，其中n为柱子数量。
空间复杂度：O(1)。
优点：简单易懂，适合小数据量。
缺点：在大数据量（如n=10⁵）时超时，不适合生产环境。

3.2 单调栈解法（最优）

利用单调递增栈（Monotonic Stack）在一次遍历中高效找到每个柱子的左右边界。栈中存储柱子索引，保持高度单调递增，当遇到更矮柱子时弹出栈顶并计算面积。

时间复杂度：O(n)，每个柱子入栈和出栈一次。
空间复杂度：O(n)，用于栈存储。
优点：高效，适用于大规模数据，是面试和工程中的标准解法。
缺点：代码逻辑稍复杂，需要理解栈的操作。

为什么单调栈有效 ：

维护递增栈确保栈中每个柱子的左边界是栈中前一个索引（或哨兵），右边界是当前遍历到的索引。通过添加哨兵（如高度0）处理边界情况，简化代码。

4. 代码实现

以下使用JavaScript实现，作为前端开发者熟悉的语言。

4.1 暴力解法代码

javascript 复制代码

function largestRectangleArea(heights) {
    let maxArea = 0;
    const n = heights.length;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        let left = i;
        // 向左扩展找到第一个比当前矮的柱子
        while (left >= 0 && heights[left] >= heights[i]) {
            left--;
        }
        let right = i;
        // 向右扩展找到第一个比当前矮的柱子
        while (right < n && heights[right] >= heights[i]) {
            right++;
        }
        const width = right - left - 1;
        maxArea = Math.max(maxArea, heights[i] * width);
    }
    return maxArea;
}

4.2 单调栈解法代码（最优）

javascript 复制代码

function largestRectangleArea(heights) {
    let maxArea = 0;
    const stack = []; // 单调递增栈，存储索引
    // 添加哨兵：开头和末尾添加高度0，简化边界处理
    heights = [0, ...heights, 0];
    for (let i = 0; i < heights.length; i++) {
        // 当当前高度小于栈顶高度时，弹出栈顶并计算面积
        while (stack.length && heights[stack[stack.length - 1]] > heights[i]) {
            const h = heights[stack.pop()]; // 弹出高度
            const left = stack[stack.length - 1]; // 左边界是栈中下一个索引
            const width = i - left - 1;
            maxArea = Math.max(maxArea, h * width);
        }
        stack.push(i); // 将当前索引入栈
    }
    return maxArea;
}

代码解释：

哨兵 0 确保栈能清空并计算所有可能矩形。
- 哨兵0在这里起到两个关键作用：
  - 左哨兵（开头的0）：
    - 保证栈永远不会为空
    - 为最左边的柱子提供左边界（索引0）
    - 高度为0确保不会影响最大面积计算
  - 右哨兵（结尾的0）：
    - 保证遍历结束后栈中所有柱子都会被弹出计算
    - 作为所有柱子的右边界
    - 高度为0确保一定会触发所有剩余柱子的面积计算
栈维护递增高度索引，弹出时计算以弹出高度为高的矩形面积。
此方法只需一次遍历，效率极高。

5. 各实现思路的复杂度、优缺点对比表格

方法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
暴力解法	O(n²)	O(1)	实现简单，易于理解；适合小规模数据或快速原型。	效率低，在数据量大时（如n=10⁵）会超时；不适用于生产环境。
单调栈解法	O(n)	O(n)	高效，一次遍历解决；适合大规模数据处理；是面试和工程中的标准解。	代码逻辑稍复杂；需要额外空间存储栈；但实际中空间可接受。

对比总结：单调栈在时间和空间上达到平衡，是解决此类边界查找问题的最佳实践。