LeetCode 3652: 按策略买卖股票的最佳时机

题目理解

给定价格数组 prices 和策略数组 strategy，策略可以是：

-1: 买入
0: 持有
1: 卖出

利润 = Σ(strategy $i$ × prices $i$ )

我们可以进行最多一次修改：选择连续 k 个元素，前 k/2 个改为 0，后 k/2 个改为 1。

求最大可能利润。

解题思路

方法一：暴力枚举（朴素思路）

最直接的想法是枚举所有可能的修改位置：

不修改的情况
从索引 0, 1, 2, ..., n-k 开始修改

每次计算修改后的总利润，取最大值。

时间复杂度: O(n²) - 枚举 O(n) 个位置，每次重新计算总利润 O(n)

方法二：前缀和优化（推荐）

观察到暴力方法有大量重复计算。我们可以用前缀和优化。

核心思想

设原始利润为 base = Σ(strategy[i] × prices[i])

当我们修改从位置 i 开始的 k 个元素时：

复制代码

修改前: [i, i+1, ..., i+k/2-1, i+k/2, ..., i+k-1]
修改后: [     全部变成0      ][    全部变成1     ]

设：

p1 = i, p2 = i + k/2 - 1（前半部分，变成 0）
p3 = i + k/2, p4 = i + k - 1（后半部分，变成 1）

则：

原利润在 $p1, p2$ 区间: base1 = Σ(strategy[j] × prices[j])，修改后变为 0
原利润在 $p3, p4$ 区间: base2 = Σ(strategy[j] × prices[j])，修改后变为 Σprices[j]

关键公式：

复制代码

新利润 = base - base1 - base2 + Σprices[p3~p4]

即：

复制代码

profit_diff = Σprices[p3~p4] - base1 - base2

只有当 profit_diff > 0 时，修改才能提升利润。

前缀和预处理

使用两个前缀和数组：

prefixSums $i$ : prices 的前缀和，用于快速计算价格区间和
baseSums $i$ : strategy $j$ × prices $j$ 的前缀和，用于快速计算原利润

这样每次查询区间和的时间从 O(k) 降到 O(1)。

时间复杂度: O(n) - 预处理 O(n)，枚举 O(n) 个位置，每次 O(1) 计算

空间复杂度: O(n)

代码实现

go 复制代码

func maxProfit(prices []int, strategy []int, k int) int64 {
    n := len(prices)
    
    // 前缀和预处理
    prefixSums := make([]int64, n+1)  // prices 的前缀和
    baseSums := make([]int64, n+1)    // strategy[i]*prices[i] 的前缀和
    var base int64
    
    for i := 0; i < n; i++ {
        prefixSums[i+1] = prefixSums[i] + int64(prices[i])
        base += int64(strategy[i]) * int64(prices[i])
        baseSums[i+1] = baseSums[i] + int64(strategy[i])*int64(prices[i])
    }
    
    // 边界：k > n 时无法修改
    if k > n {
        return base
    }
    
    maxProfit := base
    
    // 枚举所有修改起点
    for i := 0; i <= n-k; i++ {
        p1 := i
        p2 := i + k/2 - 1
        p3 := i + k/2
        p4 := i + k - 1
        
        // 原利润中被修改部分的贡献
        base1 := baseSums[p2+1] - baseSums[p1]
        base2 := baseSums[p4+1] - baseSums[p3]
        
        // 修改后后半部分的贡献（全为1）
        priceSum := prefixSums[p4+1] - prefixSums[p3]
        
        // 新利润 = 原利润 - 被移除部分 + 新增部分
        profit := base - base1 - base2 + priceSum
        
        if profit > maxProfit {
            maxProfit = profit
        }
    }
    
    return maxProfit
}

示例演示

以 prices = [4,2,8], strategy = [-1,0,1], k = 2 为例：

预处理：

base = (-1)×4 + 0×2 + 1×8 = 4
prefixSums = $0, 4, 6, 14$
baseSums = $0, -4, -4, 4$

枚举修改位置：

i=0: 修改 $0,1$ → $0,1,1$
- base1 = baseSums $1$ - baseSums $0$ = -4
- base2 = 0 (p3=p4+1)
- priceSum = prefixSums $2$ - prefixSums $1$ = 2
- profit = 4 - (-4) - 0 + 2 = 10 ✓
i=1: 修改 $1,2$ → $-1,0,1$ (无变化)
- profit = 4

最大利润: 10

复杂度分析

时间复杂度: O(n)，其中 n 是数组长度
空间复杂度: O(n)，用于存储前缀和数组

总结

本题的关键是识别暴力枚举中的重复计算，通过前缀和实现 O(1) 的区间和查询，将时间复杂度从 O(n²) 优化到 O(n)。这是一个典型的「暴力→优化」的思维过程。