[PA 2017] Iloczyn 题解

题意

给定一组质数，且有一个正整数集合，该集合中的所有数不超过 n n n ，且其中每个数的质因子分解仅包含这些给定的质数。求该集合中的最大的数为多少。

思路

考虑深搜。依次枚举质数集中的每一个数，若与当前乘积相乘后依然不大于 n n n 就继续搜索。注意每个数可以乘多次，代码如下：

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void dfs(int x,ll z){
	ans=max(ans,z);
	if(x>k)return;
	for(ll tmp=z;n/tmp>=p[x];)
		tmp*=p[x],dfs(x+1,tmp);
	dfs(x+1,z);
}

但光是这样会 TLE ，所以要考虑优化：

优化1：排序

不难发现，只要将这些质数降序排列，就可以在前期得到较大解。

优化2：剪枝

加上这么一行代码，就能让你的代码变快很多：

cpp 复制代码

if(ans/z==n/z)return;

为什么呢？假设当前乘积为 z z z ，当 ⌊ n / z ⌋ = ⌊ a n s / z ⌋ \left \lfloor n/z \right \rfloor=\left \lfloor ans/z\right \rfloor ⌊n/z⌋=⌊ans/z⌋ 时，根据整数除法的性质：

存在整数 k k k 使得： k = ⌊ n / z ⌋ = ⌊ a n s / z ⌋ k =\left \lfloor n/ z\right \rfloor =\left \lfloor ans/ z\right \rfloor k=⌊n/z⌋=⌊ans/z⌋ ；
这意味着： k z ≤ n < ( k + 1 ) z kz \le n < (k+1)z kz≤n<(k+1)z 且 k z ≤ a n s < ( k + 1 ) z kz \le ans < (k+1)z kz≤ans<(k+1)z ！

由于两者除以 z z z 的商相等，说明当前乘积 z z z 已经达到了一个临界点：在 z z z 的基础上，无论再怎么乘（使用剩余的质数），得到的结果除以 z z z 的商最多只能是 k k k 。

完整代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll unsigned long long
const int N=30;
int k,p[N];
ll n,ans=1;
void dfs(int x,ll z){
	ans=max(ans,z);
	if(x>k)return;
	if(ans/z==n/z)return;
	for(ll tmp=z;n/tmp>=p[x];)
		tmp*=p[x],dfs(x+1,tmp);
	dfs(x+1,z);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>k>>n;
	for(int i=1;i<=k;i++)cin>>p[i];
	sort(p+1,p+k+1,greater<int>());
	dfs(1,1),cout<<ans;
	return 0;
}

AC记录