本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 逆矩阵、列空间、秩与零空间 的学习笔记，通过线性变换了解 逆矩阵、列空间、秩与零空间的概念。
- 线性方程组
- 逆矩阵
- 列空间
- 秩
- 零空间
1、线性方程组
1.1 什么是线程方程组
一个线性方程组是由多个关于变量的一次方程组成的系统，如：
{ 2 x + 3 y = 7 4 x − y = 1 \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases} {2x+3y=74x−y=1
这个方程组包含两个方程、两个未知数（ x , y x, y x,y），目标是找到一组值 ( x , y ) (x, y) (x,y) 同时满足所有方程。
1.2 将线性方程组写成矩阵形式
线性方程组写为 矩阵乘法的形式：
A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b} Ax =b
其中：
- A A A 是系数矩阵
- x ⃗ \vec{x} x 是未知数向量
- b ⃗ \vec{b} b 是常数项向量
即：
A = 2 3 4 − 1 , x ⃗ = x y , b ⃗ = 7 1 A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix},\quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix} A=243−1,x =xy,b =71
2 3 4 − 1 \] \[ x y \] = \[ 7 1 \] \\begin{bmatrix} 2 \& 3 \\\\ 4 \& -1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}x \\\\ y \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} 7 \\\\ 1 \\end{bmatrix} \[243−1\]\[xy\]=\[71
考虑：
{ x + 2 y + 3 z = 6 2 x − z = 1 y + 4 z = 5 \begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x - z = 1 \\ y + 4z = 5 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+2y+3z=62x−z=1y+4z=5
再举一个三元方程组的例子，提取系数，得到矩阵形式：
1 2 3 2 0 − 1 0 1 4 x y z = 6 1 5 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix} 1202013−14 xyz = 615
1.3 矩阵表示的含义
一个矩阵代表一种对空间的线性变换。
比如 A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b} Ax =b 的意义是： 是否存在一个输入向量 x ⃗ \vec{x} x ，使得变换后正好等于 b ⃗ \vec{b} b
这也是 A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b} Ax =b 的几何意义。
2、逆矩阵
2.1 什么是逆矩阵
给定一个线性变换 A A A，如果存在另一个变换 A − 1 A^{-1} A−1，使得：
A − 1 A = I （单位矩阵） A^{-1}A = I \quad \text{（单位矩阵）} A−1A=I（单位矩阵）
那么 A − 1 A^{-1} A−1 就是 A A A 的逆矩阵 。从几何上看，这意味着：先对空间进行 A A A 变换，再进行 A − 1 A^{-1} A−1 变换，空间会回到原始状态。
2.2 逆矩阵存在的条件
逆变换存在，等价于变换 A A A 没有压缩空间。只有那些不把空间压缩到更低维度的变换，才可能有逆。
在二维中，若一个 2×2 矩阵压缩成一条直线或一个点，信息丢失，逆矩阵不存在。
因此，只有当变换保持空间维度不变时，才可能可逆。
2.3 不可逆的情况
当一个矩阵的行列式为0 时，表示该变换将空间压缩到了更低的维度。此时，矩阵没有逆矩阵 。
例如：
A = 1 2 2 4 A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} A=1224
两列线性相关，变换后所有向量都落在一条直线上 → 行列式为0 → 不可逆。
3、列空间
矩阵 A 对空间中所有可能的向量进行变换，得到的所有输出向量的集合，构成了一个非常重要的空间，称为 列空间。列空间就是矩阵的列向量所张成的空间
列空间是变换后能"到达"的所有点的集合。比如在二维中：
- 如果变换把二维空间压缩到一条通过原点的直线上，那么这条直线就是列空间。
- 如果变换保持了二维性，那么整个平面就是列空间
4、秩
4.1 秩的理解
矩阵的秩 是其列空间的维度。
- 秩 = 0：意味着变换将空间压缩到原点
- 秩 = 1：意味着变换将空间压缩到一条直线上
- 秩 = 2：意味着变换保持了一个二维平面
4.2 关于满秩
- 对于 n × n n\times n n×n 方阵，若秩为 n n n，称为满秩
- 满秩 ⇔ 行列式 ≠ 0 ⇔ 矩阵可逆
- 满秩是可逆性的代数判断标准
5、零空间
矩阵 A A A 的零空间 是所有满足：
A x ⃗ = 0 ⃗ A\vec{x} = \vec{0} Ax =0
的向量 x ⃗ \vec{x} x 构成的集合。
零空间中的向量，在经过变换 A A A 后，全部被映射到原点。
- 这些向量是"被压缩掉的信息"。
- 如果零空间中只有零向量，说明没有非零向量被压缩 → 变换是"保信息"的 → 可逆。
- 如果零空间包含非零向量，说明有多个输入映射到同一个输出 → 不可逆。
满秩变换 ：只有零向量自身变换后会落在原点。它的零空间只有一个点（零向量）
非满秩变换：例如一个将平面压缩到直线的变换。除了零向量，还有一整个方向上的所有向量，会被压缩到原点。
6、总结
| 概念 | 数学定义 | 几何意义 | 与可逆性的关系 |
|---|---|---|---|
| 逆矩阵 | A − 1 A = I A^{-1}A = I A−1A=I | 变换可"撤销" | 存在 ⇔ 满秩且为方阵 |
| 列空间 | Span ( cols of A ) \text{Span}(\text{cols of } A) Span(cols of A) | 所有可能的输出 A x ⃗ A\vec{x} Ax | 决定 A x ⃗ = b ⃗ A\vec{x} = \vec{b} Ax =b 是否有解 |
| 秩 | dim ( Col ( A ) ) \dim(\text{Col}(A)) dim(Col(A)) | 输出空间的维度 | 满秩 ⇔ 可逆 |
| 零空间 | { x ⃗ ∣ A x ⃗ = 0 } \{ \vec{x} \mid A\vec{x} = 0 \} {x ∣Ax =0} | 被压缩到原点的输入向量集合 | 零空间 = {0} ⇔ 解唯一 |