力扣(LeetCode) 69: x 的平方根 - 解法思路

问题概述

给定一个非负整数 x，返回 x 的平方根，向下取整到最近的整数。返回的整数也应该是非负的。

不能使用任何内置的指数函数或运算符。

解法 1：二分搜索

工作原理

使用二分搜索找到平方小于或等于 x 的最大整数：

python 复制代码

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        if x < 2:
            return x
        
        left = 1
        right = x // 2
        
        while left <= right:
            mid = left + (right - left) // 2
            square = mid * mid
            
            if square == x:
                return mid
            elif square < x:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        
        return right

复杂度分析

时间复杂度: O(log x) - 每次迭代将搜索空间减半
空间复杂度: O(1) - 只使用常数额外空间

何时使用

推荐 - 标准方法，易于理解
保证 O(log x) 性能
处理所有边界情况

解法 2：牛顿法

工作原理

使用牛顿法迭代逼近平方根。公式为：x_{n+1} = (x_n + x / x_n) / 2。从 guess = x // 2 开始可以减少迭代次数：

python 复制代码

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        if x < 2:
            return x
        
        guess = x // 2
        
        while guess * guess > x:
            guess = (guess + x // guess) // 2
        
        return guess

复杂度分析

时间复杂度: O(log log x) - 牛顿法二次收敛
空间复杂度: O(1) - 只使用常数额外空间

何时使用

更快 - 对于大数收敛速度比二分搜索快
对于非常大的输入更高效
需要理解牛顿法

解法 3：内置函数（不推荐用于力扣）

工作原理

使用 Python 的内置 math.sqrt() 函数。注意：此解法在力扣题目中可能不被允许，因为题目通常要求不使用内置的指数函数。

python 复制代码

import math

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        return int(math.sqrt(x))

复杂度分析

时间复杂度: O(1) - 硬件操作
空间复杂度: O(1) - 只使用常数额外空间

何时使用

不推荐用于力扣 - 违反题目约束
Python 中最简单的解法
适用于参考或非竞赛编程场景

对比

方法	时间	空间	最佳适用
二分搜索	O(log x)	O(1)	大多数情况，易于理解
牛顿法	O(log log x)	O(1)	大数，最优性能
内置函数	O(1)	O(1)	仅作参考（力扣不允许）

总结

二分搜索是查找平方根的标准方法，搜索平方 ≤ x 的最大整数。牛顿法收敛更快（二次收敛），对于大数更高效，但二分搜索更简单直观。两种解法都实现了 O(1) 空间复杂度。