LeetCode 62/64/5/1143多维动态规划核心题型总结

长安er2025-12-23 16:23

目录

一、题型总览

[二、题 1：不同路径（LeetCode 62）](#二、题 1：不同路径（LeetCode 62）)

[1. 题目描述](#1. 题目描述)

[2. 核心理论](#2. 核心理论)

[3. 基础解法：二维 DP](#3. 基础解法：二维 DP)

[4. 优化解法 1：一维 DP（空间 O (n)）](#4. 优化解法 1：一维 DP（空间 O (n)）)

[5. 优化解法 2：数学公式（O (1) 空间）](#5. 优化解法 2：数学公式（O (1) 空间）)

[三、题 2：最小路径和（LeetCode 64）](#三、题 2：最小路径和（LeetCode 64）)

[1. 题目描述](#1. 题目描述)

[2. 核心理论](#2. 核心理论)

[3. 基础解法：二维 DP](#3. 基础解法：二维 DP)

[4. 优化解法：原地修改（空间 O (1)）](#4. 优化解法：原地修改（空间 O (1)）)

[四、题 3：最长回文子串（LeetCode 5）](#四、题 3：最长回文子串（LeetCode 5）)

[1. 题目描述](#1. 题目描述)

[2. 核心理论](#2. 核心理论)

[3. 基础解法：二维 DP](#3. 基础解法：二维 DP)

[4. 优化解法：中心扩展法（空间 O (1)）](#4. 优化解法：中心扩展法（空间 O (1)）)

[五、题 4：最长公共子序列（LeetCode 1143）](#五、题 4：最长公共子序列（LeetCode 1143）)

[1. 题目描述](#1. 题目描述)

[2. 核心理论](#2. 核心理论)

[3. 基础解法：二维 DP](#3. 基础解法：二维 DP)

[4. 优化解法：一维 DP（空间 O (n)）](#4. 优化解法：一维 DP（空间 O (n)）)

[六、题 5：编辑距离（LeetCode 72）](#六、题 5：编辑距离（LeetCode 72）)

[1. 题目描述](#1. 题目描述)

[2. 核心理论](#2. 核心理论)

[3. 基础解法：二维 DP](#3. 基础解法：二维 DP)

[4. 优化解法：一维 DP（空间 O (n)）](#4. 优化解法：一维 DP（空间 O (n)）)

七、整体总结

[1. 多维 DP 的核心共性](#1. 多维 DP 的核心共性)

[2. 解题技巧](#2. 解题技巧)

本次总结覆盖 5 道多维 DP 经典中等题，涵盖「路径问题、子串 / 子序列问题」，每道题提供基础解法 + 优化解法，拆解核心逻辑与难点：

一、题型总览

题目 核心场景 基础解法（时间 / 空间） 优化解法（时间 / 空间） 核心难点
不同路径 网格路径计数 二维 DP（O (mn)/O (mn)） 一维 DP / 数学公式（O (mn)/O (n)） 边界初始化 + 路径方向约束
最小路径和 网格路径最优值 二维 DP（O (mn)/O (mn)） 原地修改（O (mn)/O (1)） 左 / 上方向的最小和递推
最长回文子串 连续子串匹配 二维 DP（O (n²)/O (n²)） 中心扩展法（O (n²)/O (1)） 回文的嵌套 + 对称特性
最长公共子序列 非连续子序列 二维 DP（O (mn)/O (mn)） 一维 DP（O (mn)/O (n)） 子序列的非连续匹配
编辑距离 字符串转换代价 二维 DP（O (mn)/O (mn)） 一维 DP（O (mn)/O (n)） 三种编辑操作的状态映射

二、题 1：不同路径（LeetCode 62）

1. 题目描述

m×n 网格，从左上角到右下角，每次只能向右 / 向下 移动，求不同路径数。示例：m=3, n=7 → 输出 28。

2. 核心理论

状态定义：dp[p][q] = 到达(p,q)的不同路径数。状态转移：dp[p][q] = dp[p-1][q] + dp[p][q-1]（来自上方 / 左方的路径数之和）。

3. 基础解法：二维 DP

java 复制代码 
public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] dp = new int[m][n];
    // 第一行：只能从左到右，路径数恒为1
    for (int q = 0; q < n; q++) dp[0][q] = 1;
    // 第一列：只能从上到下，路径数恒为1
    for (int p = 0; p < m; p++) dp[p][0] = 1;
    // 非边界
    for (int p = 1; p < m; p++) {
        for (int q = 1; q < n; q++) {
            dp[p][q] = dp[p-1][q] + dp[p][q-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

4. 优化解法 1：一维 DP（空间 O (n)）

观察到dp[p][q]仅依赖上一行的 q 列 和当前行的 q-1 列，用一维数组滚动更新：

java 复制代码 
public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[] dp = new int[n];
    Arrays.fill(dp, 1); // 第一行初始为1
    for (int p = 1; p < m; p++) {
        for (int q = 1; q < n; q++) {
            dp[q] += dp[q-1]; // 等价于 dp[p][q] = dp[p-1][q] + dp[p][q-1]
        }
    }
    return dp[n-1];
}

5. 优化解法 2：数学公式（O (1) 空间）

本质是组合问题 ：从(m-1)+(n-1)步中选m-1步向下（或n-1步向右），公式为：路径数=Cm+n−2m−1​=(m−1)!(n−1)!(m+n−2)!​

java 复制代码 
public int uniquePaths(int m, int n) {
    long res = 1;
    // 计算组合数 C(m+n-2, min(m-1,n-1))
    int k = Math.min(m-1, n-1);
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        res = res * (m + n - 2 - i + 1) / i;
    }
    return (int) res;
}

三、题 2：最小路径和（LeetCode 64）

1. 题目描述

m×n 网格，求从左上角到右下角的最小路径和 （每次只能向右 / 向下）。示例：grid=[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] → 输出 7。

2. 核心理论

状态定义：dp[p][q] = 到达(p,q)的最小路径和。状态转移：dp[p][q] = min(dp[p-1][q], dp[p][q-1]) + grid[p][q]。

3. 基础解法：二维 DP

java 复制代码 
public int minPathSum(int[][] grid) {
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    int[][] dp = new int[m][n];
    dp[0][0] = grid[0][0];
    // 第一行
    for (int q = 1; q < n; q++) dp[0][q] = dp[0][q-1] + grid[0][q];
    // 第一列
    for (int p = 1; p < m; p++) dp[p][0] = dp[p-1][0] + grid[p][0];
    // 非边界
    for (int p = 1; p < m; p++) {
        for (int q = 1; q < n; q++) {
            dp[p][q] = Math.min(dp[p-1][q], dp[p][q-1]) + grid[p][q];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}

4. 优化解法：原地修改（空间 O (1)）

直接在原数组上更新，无需额外空间：

java 复制代码 
public int minPathSum(int[][] grid) {
    int m = grid.length, n = grid[0].length;
    // 第一行
    for (int q = 1; q < n; q++) grid[0][q] += grid[0][q-1];
    // 第一列
    for (int p = 1; p < m; p++) grid[p][0] += grid[p-1][0];
    // 非边界
    for (int p = 1; p < m; p++) {
        for (int q = 1; q < n; q++) {
            grid[p][q] += Math.min(grid[p-1][q], grid[p][q-1]);
        }
    }
    return grid[m-1][n-1];
}

四、题 3：最长回文子串（LeetCode 5）

1. 题目描述

求字符串中最长的连续回文子串 。示例：s="babad" → 输出"bab"或"aba"。

2. 核心理论

状态定义：dp[left][right] = 子串s[left..right]是否为回文。状态转移：

  • 若s[left] == s[right]，则dp[left][right] = dp[left+1][right-1]（长度 > 2）或true（长度≤2）。

3. 基础解法：二维 DP

java 复制代码 
public String longestPalindrome(String s) {
    int n = s.length();
    boolean[][] dp = new boolean[n][n];
    int start = 0, maxLen = 1;
    // 长度为1的子串
    for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][i] = true;
    // 长度为2的子串
    for (int i = 0; i < n-1; i++) {
        if (s.charAt(i) == s.charAt(i+1)) {
            dp[i][i+1] = true;
            start = i;
            maxLen = 2;
        }
    }
    // 长度≥3的子串
    for (int len = 3; len <= n; len++) {
        for (int left = 0; left <= n - len; left++) {
            int right = left + len - 1;
            if (s.charAt(left) == s.charAt(right) && dp[left+1][right-1]) {
                dp[left][right] = true;
                start = left;
                maxLen = len;
            }
        }
    }
    return s.substring(start, start + maxLen);
}

4. 优化解法：中心扩展法（空间 O (1)）

所有回文有一个 "中心"，从中心向两边扩展：

java 复制代码 
public String longestPalindrome(String s) {
    int n = s.length();
    int start = 0, maxLen = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 奇数长度中心（单个字符）
        int len1 = expand(s, i, i);
        // 偶数长度中心（两个字符）
        int len2 = expand(s, i, i+1);
        int len = Math.max(len1, len2);
        if (len > maxLen) {
            start = i - (len - 1) / 2;
            maxLen = len;
        }
    }
    return s.substring(start, start + maxLen);
}

private int expand(String s, int left, int right) {
    while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
        left--;
        right++;
    }
    return right - left - 1;
}

五、题 4：最长公共子序列（LeetCode 1143）

1. 题目描述

求两个字符串的最长公共子序列 长度（子序列非连续）。示例：text1="abcde", text2="ace" → 输出 3。

2. 核心理论

状态定义：dp[p][q] = text1前p个字符与text2前q个字符的最长公共子序列长度。状态转移：

  • 若text1[p-1] == text2[q-1]，则dp[p][q] = dp[p-1][q-1] + 1；
  • 否则dp[p][q] = max(dp[p-1][q], dp[p][q-1])。

3. 基础解法：二维 DP

java 复制代码 
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    int m = text1.length(), n = text2.length();
    int[][] dp = new int[m+1][n+1];
    for (int p = 1; p <= m; p++) {
        for (int q = 1; q <= n; q++) {
            if (text1.charAt(p-1) == text2.charAt(q-1)) {
                dp[p][q] = dp[p-1][q-1] + 1;
            } else {
                dp[p][q] = Math.max(dp[p-1][q], dp[p][q-1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

4. 优化解法：一维 DP（空间 O (n)）

观察到dp[p][q]仅依赖上一行的 q 列 和当前行的 q-1 列，用一维数组：

java 复制代码 
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    int m = text1.length(), n = text2.length();
    int[] dp = new int[n+1];
    for (int p = 1; p <= m; p++) {
        int prev = dp[0]; // 保存dp[p-1][q-1]
        for (int q = 1; q <= n; q++) {
            int temp = dp[q]; // 临时保存当前dp[q]（即dp[p-1][q]）
            if (text1.charAt(p-1) == text2.charAt(q-1)) {
                dp[q] = prev + 1;
            } else {
                dp[q] = Math.max(dp[q], dp[q-1]);
            }
            prev = temp;
        }
    }
    return dp[n];
}

六、题 5：编辑距离（LeetCode 72）

1. 题目描述

求将word1转换为word2的最少操作数 （操作：插入、删除、替换）。示例：word1="horse", word2="ros" → 输出 3。

2. 核心理论

状态定义：dp[p][q] = 将word1前p个字符转为word2前q个字符的最少操作数。状态转移：

  • 若word1[p-1] == word2[q-1]，则dp[p][q] = dp[p-1][q-1]；
  • 否则dp[p][q] = min(dp[p-1][q], dp[p][q-1], dp[p-1][q-1]) + 1（删除、插入、替换）。

3. 基础解法：二维 DP

java 复制代码 
public int minDistance(String word1, String word2) {
    int m = word1.length(), n = word2.length();
    int[][] dp = new int[m+1][n+1];
    // 初始化：空串转成word2前q个字符（插入q次）
    for (int q = 0; q <= n; q++) dp[0][q] = q;
    // 初始化：word1前p个字符转成空串（删除p次）
    for (int p = 0; p <= m; p++) dp[p][0] = p;
    // 递推
    for (int p = 1; p <= m; p++) {
        for (int q = 1; q <= n; q++) {
            if (word1.charAt(p-1) == word2.charAt(q-1)) {
                dp[p][q] = dp[p-1][q-1];
            } else {
                dp[p][q] = Math.min(Math.min(dp[p-1][q], dp[p][q-1]), dp[p-1][q-1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

4. 优化解法：一维 DP（空间 O (n)）

用一维数组滚动更新，保存上一行状态：

java 复制代码 
public int minDistance(String word1, String word2) {
    int m = word1.length(), n = word2.length();
    int[] dp = new int[n+1];
    // 初始化
    for (int q = 0; q <= n; q++) dp[q] = q;
    for (int p = 1; p <= m; p++) {
        int prev = dp[0]; // 保存dp[p-1][0]
        dp[0] = p; // 当前行的dp[0]（删除p次）
        for (int q = 1; q <= n; q++) {
            int temp = dp[q]; // 保存dp[p-1][q]
            if (word1.charAt(p-1) == word2.charAt(q-1)) {
                dp[q] = prev;
            } else {
                dp[q] = Math.min(Math.min(dp[q], dp[q-1]), prev) + 1;
            }
            prev = temp;
        }
    }
    return dp[n];
}

七、整体总结

1. 多维 DP 的核心共性

  • 状态定义：多以 "前 p 个 / 前 q 个""到达 (p,q) 位置" 为核心，拆分问题规模；
  • 状态转移：依赖 "更小的子问题"（如左 / 上位置、前 p-1/q-1 个字符）；
  • 优化方向：通过 "滚动数组" 或 "原地修改" 将空间复杂度从 O (mn) 降到 O (n) 或 O (1)。

2. 解题技巧

  • 路径问题：关注移动方向，边界初始化（第一行 / 列）；
  • 子串 / 子序列问题：区分 "连续（子串）" 与 "非连续（子序列）"，子串需绑定 "左右边界"，子序列需绑定 "前 p/q 个"；
  • 字符串问题：编辑距离、最长公共子序列等，状态定义多为 "前 p 个字符转前 q 个字符"。
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