20251201换根DP总结

scx201310042025-12-25 12:21

引子

说白了就是两次 DFS，第一次 DFS 预处理深度，点权和之类的信息，第二次 DFS 开始运行换根动态规划，题目比较简单的都很板。

P3478 [POI 2008] STA-Station

换根DP模板。

"换根"过程参考图。

原图
1
2
3
4
5
6

假设现在dfs到了1，枚举儿子时找到了2，那么预处理得知dp[1]=11，换根之后示意图。
2
1
3
4
5
6

改变了什么？显然目前根结点在原图上的向上子树距离目前根节点的距离+1，其余结点距离目前根节点的距离-1，那么动态转移方程为dp[v]=dp[x]-sz[v]+(n-sz[v])，也可以写成dp[v]=dp[x]-sz[v]*2+n

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> E[1000005];
long long n,dp[1000005],dep[1000005],sz[1000005];
//    结点数 DP数组        深度        子树结点数
void dfs(int x,int fa){
    dp[1]+=dep[x];//先求出根节点为1的答案
    sz[x]=1;//自己算一个
    for(int i=0;i<E[x].size();i++){
        int v=E[x][i];
        if(v==fa)continue;
        dep[v]=dep[x]+1;//直接求
        dfs(v,x);
        sz[x]+=sz[v];//加上儿子的
    }
}
void dfs1(int x,int fa){
    for(int i=0;i<E[x].size();i++){
        int v=E[x][i];//儿子节点
        if(v==fa)continue;
        dp[v]=dp[x]-sz[v]+(n-sz[v]);//核心代码，其余全是预处理
        //计算儿子结点的DP
        dfs1(v,x);
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        E[u].push_back(v);
        E[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    dfs1(1,0);
    long long mn=0,m;//看题
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dp[i]>mn){
            mn=dp[i];
            m=i;
        }
    }
    cout<<m;
    return 0;
}