计算机组成原理（10）：逻辑门电路
（友情提示，本文为数字电路基础补充，有基础的可以跳过）
开篇：你以为你在写 if (a && b)，其实你是在操控电流！
大家好！想问大家一个小问题------在 CPU 的硅片里，那些"0"和"1"到底是怎么被"算"出来的呢。
有人知道吗？当你写下这行 C 代码：
c
if (x > 0 && y < 100) { ... }编译器会把它翻译成一条条机器指令，而最终，这些逻辑判断会变成数以亿计的晶体管开关动作 。而连接这些晶体管的，正是我们今天要讲的主角------逻辑门电路 。
逻辑门电路是用于处理二进制的逻辑运算的，基本的逻辑运算包括与、或、非这样的三种。
而由这三种逻辑运算，可以组合形成更复杂的复合逻辑运算。比如说、与非、或非，异或和同或。当然，还有其他更复杂的复合逻辑运算，
希望大家别被"数字电路"吓到！本文将用最直观的方式 ，带你从"与或非"三大基本门出发，一路构建出异或门、同或门，甚至告诉你：为什么现代芯片能塞下上百亿个晶体管？
准备好了吗？Let's go！
一、逻辑运算 vs 算术运算：两种世界的对话
1.1 算术运算：处理"连续"的世界
我们熟悉的加减乘除，操作对象是实数 （如 3.14、-5、1000）。比如：
x 3 = x × x × x x^3 = x \times x \times x x3=x×x×x
幂运算是复合算术运算，由多个乘法组合而成。
1.2 逻辑运算：处理"离散"的世界
而计算机的世界只有两个值：真（1）和假（0）。所有逻辑判断，最终都归结为对这两个值的操作。
💡 关键类比：
- 算术的基本运算是 +、−、×、÷
- 逻辑的基本运算是 与（AND）、或（OR）、非（NOT）
而且，就像 x 3 x^3 x3 可由乘法构建一样，所有复杂逻辑（如异或、同或）都可由 AND、OR、NOT 组合而成 ！
二、三大基本逻辑门：数字世界的"原子"
2.1 与门（AND Gate）------ "全都要，才给过"
逻辑表达式 ：
Y = A ⋅ B 或简写为 Y = A B Y = A \cdot B \quad \text{或简写为} \quad Y = AB Y=A⋅B或简写为Y=AB
真值表：
| A | B | Y = A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
✅ 规则 ：只有 A 和 B 同时为 1 ，输出才为 1。
🔁 C 语言类比 ：
if (a && b)------ 两个条件都为真，才执行。
电路符号：
- 国标：矩形带"&"
- 国际通用 ：输入端为直线 ，输出端为尖角
``
图示说明 ：左侧为国标画法（矩形内写"&"），右侧为国际标准（DIN/IEEE）画法，输入为直线，输出为锥形。重点记忆：与门 = 直线输入。
2.2 或门（OR Gate）------ "有一个就行"
逻辑表达式 ：
Y = A + B （注意：这里的"+"读作"或"，不是加法！） Y = A + B \quad \text{（注意：这里的"+"读作"或"，不是加法！）} Y=A+B（注意：这里的"+"读作"或"，不是加法！）
真值表：
| A | B | Y = A+B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
✅ 规则 ：只要 A 或 B 有一个为 1 ，输出就是 1。
🔁 C 语言类比 ：
if (a || b)
电路符号：
- 输入端为弧线（像微笑的嘴巴 😊）
- 输出端形状可变（圆、尖、平），但输入弧线是识别关键
``
图示说明 ：或门输入端呈明显弧形，与与门的直线形成鲜明对比。记住口诀："或弯与直"。
2.3 非门（NOT Gate）------ "唱反调专家"
逻辑表达式 ：
Y = A ‾ Y = \overline{A} Y=A
真值表：
| A | Y = A ‾ \overline{A} A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
规则 ：输入 0 → 输出 1；输入 1 → 输出 0。取反！
电路符号：
- 一个三角形 + 输出端的小圆圈（●）
- 小圆圈也可出现在输入端（表示"低电平有效"）
``
图示说明：非门由一个放大器符号（三角形）加输出端小圆圈构成。小圆圈 = "取反"标志，是所有"非"操作的视觉锚点。
博主提示 ：
在考试中，经常要求你根据符号判断门类型。记住三句话：
- 输入直线 → 与门
- 输入弧线 → 或门
- 有小圆圈 → 带"非"操作
三、复合逻辑门
有了 AND、OR、NOT，我们就能搭出更复杂的逻辑。
3.1 与非门（NAND）
表达式为y=ā·b，先与后⾮
逻辑表达式 ：
Y = A ⋅ B ‾ Y = \overline{A \cdot B} Y=A⋅B
实现方式 ：AND + NOT
简化符号：与门 + 输出小圆圈
真值表（与 AND 完全相反）：
| A | B | Y = A B ‾ \overline{AB} AB |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
 |
神奇事实 ：仅用 NAND 门，就能构建任何逻辑电路！ （包括 CPU！）
这就是为什么 NAND 是芯片制造中最基础的单元之一。
3.2 或非门（NOR）
表达式为y=a+b，先或后⾮
逻辑表达式 ：
Y = A + B ‾ Y = \overline{A + B} Y=A+B
实现方式 ：OR + NOT
简化符号：或门 + 输出小圆圈
真值表：
| A | B | Y = A + B ‾ \overline{A+B} A+B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
 |
规则 ：只有 A 和 B 都为 0，输出才是 1。
3.3 异或门（XOR）
表达式为y=a⊕b，输⼊相异时输出1
逻辑表达式 ：
Y = A ⊕ B Y = A \oplus B Y=A⊕B
运算规则：
- A ≠ B → Y = 1
- A = B → Y = 0
真值表：
| A | B | Y = A⊕B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
如何用基本门实现 XOR？
核心思想："A=0,B=1" 或 "A=1,B=0"
Y = ( A ‾ ⋅ B ) + ( A ⋅ B ‾ ) Y = (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B}) Y=(A⋅B)+(A⋅B)
电路实现：
- 用两个 NOT 门得到 A ‾ \overline{A} A 和 B ‾ \overline{B} B
- 用两个 AND 门计算 A ‾ B \overline{A}B AB 和 A B ‾ A\overline{B} AB
- 用一个 OR 门合并结果
``
图示说明 ：上侧展示由 2 个 NOT、2 个 AND、1 个 OR 构成的完整 XOR 电路；下侧为封装后的 XOR 门符号------或门输入端加一层"双眼皮"弧线，极具辨识度。
多比特异或的奇偶特性
对 n n n 个比特进行连续异或：
Y = b 1 ⊕ b 2 ⊕ ⋯ ⊕ b n Y = b_1 \oplus b_2 \oplus \cdots \oplus b_n Y=b1⊕b2⊕⋯⊕bn
- 若 1 的个数为奇数 → Y = 1 Y = 1 Y=1
- 若 1 的个数为偶数 → Y = 0 Y = 0 Y=0
应用：
- 奇偶校验：检测数据传输错误
- 二进制加法：半加器的核心（不考虑进位时，和 = A ⊕ B）
验证：
c// 4 个 1（偶数）→ 结果为 0 int r1 = 1 ^ 0 ^ 0 ^ 1 ^ 1 ^ 0 ^ 1; // = 0 // 5 个 1（奇数）→ 结果为 1 int r2 = 1 ^ 0 ^ 1 ^ 0 ^ 1 ^ 1 ^ 1; // = 1
3.4 同或门（XNOR）
同或运算（NOR）是异或运算的逆运算，其符号为⼀个圆圈中间加⼀个点。实现同或运算的逻辑⻔电路需在异或⻔输出端接⼀个⾮⻔，封装后图形表现为异或⻔输出端加⼩圆圈。
同或⻔与异或⻔逻辑相反：当输⼊值相同时输出为1，相异时输出为0。部分教材将同或⻔称为异或非门，但主流仍采⽤同或门命名。
逻辑表达式 ：
Y = A ⊙ B = A ⊕ B ‾ Y = A \odot B = \overline{A \oplus B} Y=A⊙B=A⊕B
规则：A = B → Y = 1；A ≠ B → Y = 0
实现方式 ：XOR + NOT
符号 ：XOR 门 + 输出小圆圈
💬 别名：也叫"异或非门"，但主流教材称"同或"。
四、逻辑表达式的优先级与化简
4.1 运算优先级
非（NOT） > 与（AND） > 或（OR） \text{非（NOT）} > \text{与（AND）} > \text{或（OR）} 非（NOT）>与（AND）>或（OR）
类比算术：非 ≈ 幂，与 ≈ 乘，或 ≈ 加
示例分析：
c
// 逻辑表达式：Y = A·B + C·D
// 先算 A·B 和 C·D（与），再或
c
// Y = A·(B + C)·D
// 括号优先：先算 B+C，再与 A、D 相与
c
// Y = \overline{A·B} + C
// 先算 A·B，再取非，最后 + C踩坑指南 ：
当非运算的横线覆盖多个变量（如 A B ‾ \overline{AB} AB），相当于对整个子表达式取反 ，等价于 ( A ⋅ B ) ‾ \overline{(A \cdot B)} (A⋅B)。不要误以为只对 B 取反！
4.2 逻辑公式
（1）分配律（节省门电路！）
A ⋅ ( C + D ) = A ⋅ C + A ⋅ D A \cdot (C + D) = A \cdot C + A \cdot D A⋅(C+D)=A⋅C+A⋅D
电路优化案例：
- 原始设计：需要 2 个 AND + 1 个 OR
- 优化后：1 个 OR + 1 个 AND
省下一个 AND 门 = 省下成千上万个晶体管 = 省下百万美元制造成本！
（2）结合律
A ⋅ B ⋅ C = ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) A \cdot B \cdot C = (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) A⋅B⋅C=(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
A + B + C = ( A + B ) + C = A + ( B + C ) A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)
（3）德摩根律（De Morgan's Laws）
A ⋅ B ‾ = A ‾ + B ‾ \overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B} A⋅B=A+B
A + B ‾ = A ‾ ⋅ B ‾ \overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B} A+B=A⋅B
口诀 ："打破横线，符号翻转"
应用：将 NAND 转换为 OR+NOT，便于电路布局。
高频考点 ：
"如何用 NAND 门实现 NOT、AND、OR？"
答案：
- NOT A = NAND(A, A)
- A AND B = NOT(NAND(A, B)) = NAND(NAND(A,B), NAND(A,B))
- A OR B = NAND(NOT A, NOT B) = NAND(NAND(A,A), NAND(B,B))
五、从门电路到芯片
5.1 门电路如何实现？
每个逻辑门，最终都由晶体管（Transistor）构成。例如：
- CMOS 与非门：用 2 个 PMOS + 2 个 NMOS 晶体管
- CMOS 或非门：用 2 个 PMOS + 2 个 NMOS（不同连接方式）
5.2 芯片制程：
- 芯片制程 （如 10nm、7nm、3nm）：指晶体管栅极宽度
- 人类头发直径 ≈ 0.1 mm = 100,000 纳米
- 10nm 晶体管宽度 = 头发丝的 1/10,000
现实意义：
- 制程越小 → 晶体管越小 → 单位面积晶体管越多
- 苹果 M3 芯片：200 亿个晶体管集成在指甲盖大小的硅片上！
5.3 光刻机：
- EUV 光刻机（Extreme Ultraviolet）：使用 13.5nm 波长的极紫外光
- 全球唯一供应商：荷兰 ASML 公司
- 一台 EUV 光刻机重达 180 吨，售价超 1.5 亿美元
结语：
逻辑门看似简单，却是整个数字世界的基石。从 if 判断到 AI 大模型，背后都是 AND、OR、NOT 的无限组合。
本篇文章是为了帮助大家温习一下数字电路的相关知识，帮助大家更好的理解，所以数字电路基础的知识点会占据几篇的篇幅。