瑞瑞的木板（洛谷P1334 ）

题目背景

瑞瑞想要亲自修复在他的一个小牧场周围的围栏。

题目描述

他测量栅栏并发现他需要 n 根木板，每根的长度为整数 li​。于是，他买了一根足够长的木板，长度为所需的 n 根木板的长度的总和，他决定将这根木板切成所需的 n 根木板（瑞瑞在切割木板时不会产生木屑，不需考虑切割时损耗的长度)。

瑞瑞切割木板时使用的是一种特殊的方式，这种方式在将一根长度为 x 的木板切为两根时，需要消耗 x 个单位的能量。瑞瑞拥有无尽的能量，但现在提倡节约能量，所以作为榜样，他决定尽可能节约能量。显然，总共需要切割 (n−1) 次，问题是，每次应该怎么切呢？请编程计算最少需要消耗的能量总和。

输入格式

输入的第一行是整数，表示所需木板的数量 n。

第 2 到第 (n+1) 行，每行一个整数，第 (i+1) 行的整数 li​ 代表第 i 根木板的长度 li​。

输出格式

一个整数，表示最少需要消耗的能量总和。

输入输出样例

输入 #1复制运行

3
8
5
8

输出 #1复制运行

34

说明/提示

输入输出样例 1 解释

将长度为 21 的木板，第一次切割为长度为 8 和长度为 13 的，消耗 21 个单位的能量，第二次将长度为 13 的木板切割为长度为 5 和 8 的，消耗 13 个单位的能量，共消耗 34 个单位的能量，是消耗能量最小的方案。

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数据规模与约定

• 对于 100% 的数据，保证 1≤n≤2×104，1≤li≤5×104。

1. 题目简介

本题是一个经典的"合并果子"或"哈夫曼编码"类型的变种问题。

题目要求将一根长木板切割成若干块给定长度的小木板，每次切割的代价是当前木板的长度。我们需要求出完成所有切割所需的最小总代价。

逆向思维 ：切割过程极其复杂，我们可以将其逆向思考 为"合并"过程------将N块小木板每次两两合并，最终还原成一根长木板。每次合并的代价就是两块木板长度之和。问题转化为：如何通过合并策略，使得总消耗能量最小。

2. 解题思路

核心策略：贪心

为了让总代价最小，我们需要让长度长（权重很大）的木板尽可能少参与合并运算，而长度短的木板可以多次参与运算。

因此，我们的贪心策略是：每次都从当前所有木板中，取出长度最小的两块进行合并。

数据结构选择

由于每次合并后会产生一个新的木板长度，这个新长度需要放回集合中，并且可能会改变集合的大小顺序。

• 如果使用数组排序：每次合并后都要重新排序，时间复杂度会达到O(N^2)，容易超时。

• 最佳选择 ：使用 优先队列 (最小堆)。

  • priority_queue 可以以 O(log N) 的复杂度自动维护数据的有序性。

  • 取最小值、插入新值都非常高效。

算法流程

1. 特判：如果只有 1 块木板，不需要切割，输出 0。

2. 初始化 ：建立一个greater类型的优先队列（小根堆），将所有初始木板长度入队。

3. 循环合并：当队列中元素大于 1 个时：

   • 取出堆顶（最小）元素a，弹出。

   • 再次取出堆顶（次小）元素b，弹出。

   • 计算代价 sum+=a+b。

   • 将合并后的新长度a+b 重新推入堆中。

4. 输出 ：最终的 sum 即为答案。

3. 核心总结

• 算法本质 ：这就是经典的哈夫曼树构造过程。通过贪心策略，保证权值越小的节点离根越远（参与运算次数越多），权值越大的节点离根越近，从而使带权路径长度（WPL）最小。

• 复杂度分析：

  • 时间复杂度 ：每一轮合并涉及两次 pop 和一次 push，操作次数为N-1次，堆操作复杂度为 O(log N)，总时间复杂度为 O(N log N)。

  • 空间复杂度 ：需要存储N个元素，为O(N)。

• 避坑指南：

  1. 数据类型 ：累加的代价 sum 可能会超过 int 范围，必须使用 long long。

  2. 边界条件：注意N=1的情况，此时不需要消耗能量。

  3. 堆的定义 ：STL 默认是大根堆，记得加上 vector<long long>, greater<long long> 定义为小根堆。

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解题总结：

遇到"合并代价最小"类问题，直接用小根堆 ，每次取俩最小、合二为一、扔回堆里 ，直到只剩一个，记得观察数据范围开 long long。

//分割本质倒过来就是合并，这道题本质上是一道哈夫曼树，要让大数参与合并的次数尽可能少
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
priority_queue<long long,vector<long long>,greater<long long>> q;//最小堆
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    if(n==1){//如果只有一根木板 不需要切
        cout<<0;
        return 0;
    }
    long long sum=0;//消耗的总能量
    for(int i=1;i<=n;i++){//把所有要切出来的木板长度入队
        int tmp;
        cin>>tmp;
        q.push(tmp);
    }
    while(q.size()!=1){//当已经所有木板合并成一根木板就不要合并了
        long long a=q.top();//每次合并里面最小的两根木板，这样越大木板参与合并的次数就会越少，那总能量消耗就会小
        q.pop();
        long long b=q.top();
        q.pop();
        q.push(a+b);
        sum=sum+a+b;
    }
    cout<<sum;
    return 0;
}