【2.2】采样率偏差的基本数学原理概述与MATLAB模拟仿真

1.理想采样过程

2.采样率偏差的物理本质

3.采样率偏差对信号的影响

[3.1 时域影响](#3.1 时域影响)

[3.2 频域影响](#3.2 频域影响)

4.如何通过MATLAB来模拟信号的采样率偏差

[4.1 整数偏移](#4.1 整数偏移)

[4.2 小数偏移](#4.2 小数偏移)

[4.3 MATLAB模拟采样率偏差](#4.3 MATLAB模拟采样率偏差)

1.理想采样过程

根据奈奎斯特采样定理，对一个最高频率为fm的连续时间信号x(t)，理想采样率fsideal 需满足fsideal≥2*fm。

在离散域，理想采样信号的序列为：

2.采样率偏差的物理本质

通信系统中，发射端和接收端的采样时钟由独立晶振驱动，晶振的频率误差会导致双方采样频率不一致，若发射采样率Fs,tx≠接收采样率Fs,rx，接收端会对发射信号产生"采样点拉伸/压缩"，即采样率偏差。

而实际采样率fsactual(fsactual=Fs,rx)与理想采样率fsideal(fsideal=Fs,tx)存在偏差，定义：

α为采样率偏差系数， α>0 表示实际采样率高于理想值(采样周期偏小)， α<0表示实际采样率低于理想值(采样周期偏大)。

采样率绝对偏差定义为：

对应的实际采样周期为：

当∣α∣≪1时，可通过泰勒展开近似，该近似在绝大多数工程场景中成立。

3.采样率偏差对信号的影响

采样率偏差的本质是离散时间序列的时域尺度变换，具体影响分为时域和频域两个维度：

3.1 时域影响

3.2 频域影响

从上面的公式可知，实际采样序列的频谱是理想频谱的线性缩放，等效于信号的载波频率或基带信号频率发生偏移，这种偏移在通信系统中会导致载波同步误差，在数据采集中会导致频谱失真。若采样率偏差过大，还会破坏奈奎斯特条件，导致频谱混叠，即高频分量折叠到基带，无法通过滤波恢复原始信号。

4.如何通过MATLAB来模拟信号的采样率偏差

由于采样率偏差通过累积效应，最终表现为时间偏移(时偏)，二者的耦合关系是通信位同步的核心理论，采样率Fs与采样周期Tsamp满足倒数关系：

若存在采样率偏差ΔFs，则采样周期偏差为ΔTsamp，满足：

对其积分(偏差累积)，得到时间偏移随符号数的变化关系：

假设err是采样率偏差系数，将上述物理定律简化为工程可实现的耦合公式，即：

结合模运算归一化到单个符号周期：

然后我们以一个符号4倍采样为例，介绍如何通过MATLAB来模拟采样率偏差

4.1 整数偏移

以单个采样点的时长为最小单位的偏移，偏移量为采样点个数，取值为整数，记作noff。

noff∈{0,1,2,3}

也就说，我们可以通过1个符号的4个采样点，发生循环移位(整体偏移1/2/3个采样点)；

select = mod(datano, nsamp)

上述公式的结果直接决定整数时偏大小，我们通过分别设置0个偏差，1个偏差，2个偏差，3个偏差来模拟对应的始终情况的整数时偏。即：

select=0（无整数时偏）：采样点按"1→2→3→4"顺序赋值；

select=1（偏移1个采样点）：采样点按"4→1→2→3"循环赋值；

select=2（偏移2个采样点）：采样点按"3→4→1→2"循环赋值；

select=3（偏移3个采样点）：采样点按"2→3→4→1"循环赋值。

4.2 小数偏移

偏移量小于单个采样点的时长，是采样点内部的精细偏移，取值为0~Ts之间的小数。小数时偏则可以通过如下的公式来表示：

上述公式中：

**(i−4)：**有效符号索引，表示当前处理的是第几个基带符号，为时偏的累积效应；

**err：**时偏系数，即单位符号的时偏量，是用户自定义的偏差强度；

**Ts：**符号周期，是时偏的归一化上限；

**mod(⋅,Ts)：**模运算核心作用，强制小数时偏始终落在[0,Ts)区间内，保证偏移仅存在于单个符号周期内部，符合时偏的物理约束。

4.3 MATLAB模拟采样率偏差

根据上述的原理，我们编写如下的MATLAB程序：

复制代码

clc;
clear;
close all;
warning off;
addpath(genpath(pwd));
rng('default');

len         = 10000;              %符号数
Freq_Data   = 8e6;                 %符号速率
nsamp       = 4;                   %采样倍数
Freq_Sample = Freq_Data * nsamp;   %采样频率
Ts          = 1 / Freq_Sample;     %采样周期
T           = nsamp * Ts;          %符号周期
 
%信号加载的时偏   
SNR_DBs     = [20];
err1        = 0; 
err2        = 1e-2; 
err3        = 1e-1; 
SNR_DB      = SNR_DBs;
   

I_Data = double(rand(len,1)>=0.5)*2-1;
 
%经过根升余弦滤波器
I_D1  = u_rrcsend(I_Data,len,nsamp,err1,Ts);
I_D2  = u_rrcsend(I_Data,len,nsamp,err2,Ts);
I_D3  = u_rrcsend(I_Data,len,nsamp,err3,Ts);

%系统最后输出数据与原始数据比对
figure;
subplot(411);
stem(I_Data(3:end));
grid on;
xlim([0,60]);
legend('原始信号');

subplot(412);
stem(I_D1(1:nsamp:end));
grid on;
xlim([0,60]);
legend('时偏=0');

subplot(413);
stem(I_D2(1:nsamp:end));
grid on;
xlim([0,60]);
legend('时偏=1e-2');

subplot(414);
stem(I_D3(1:nsamp:end));
grid on;
xlim([0,60]);
legend('时偏=1e-1');


%系统最后输出数据与原始数据比对
figure;
subplot(411);
stem(I_Data(3:end));
grid on;
xlim([470,530]);
legend('原始信号');

subplot(412);
stem(I_D1(1:nsamp:end));
grid on;
xlim([470,530]);
legend('时偏=0');

subplot(413);
stem(I_D2(1:nsamp:end));
grid on;
xlim([470,530]);
legend('时偏=1e-2');

subplot(414);
stem(I_D3(1:nsamp:end));
grid on;
xlim([470,530]);
legend('时偏=1e-1');

上述程序中，子函数u_rrcsend.m会在下一个小节课程中给出完整程序。

运行上述程序，我们可以得到如下的仿真结果：

如上图所示，当数据在起始阶段，不同时钟偏差影响下，数据的采样点符号基本和初始的数据符号一致。

随着时间的推移，采样点改变如下：

当时偏=0时，没有采样率偏差，此时，数据采样点和原数据一致，没有偏差。

当时偏=1e-2时，由于接收时钟比发射时钟快，因此采样点比原数据提前了1个采样点。

当时偏=1e-1时，由于接收时钟比发射时钟快，因此采样点比原数据提前了11个采样点。

可以看到，时偏=1e-1的采样点偏差，刚好为时偏=1e-2的采样点偏差的十倍，符合实际采样点偏差情况。