前言：普通线段树 vs 权值线段树
在基础线段树中，我们处理的是数组下标上的区间操作 ------ 节点代表"位置区间"，如 [1, n]。
但如果我们的问题是：
"在动态插入/删除数字的过程中，如何快速查询：
- 数
x的出现次数？- 小于
x的数有多少个？（即x的排名）- 第
k小的数是多少？"
这时，普通线段树就无能为力了，因为我们关心的不是"位置"，而是"数值本身"。
权值线段树 应运而生 ------ 它将数值范围 作为线段树的区间，每个叶子代表一个可能的数值 ，节点存储该数值范围内的出现次数（权值）。
其三大核心操作：单点修改（插入/删除）、前缀和查询（排名）、第 k 小查询。
什么是权值线段树？
核心思想：以"值域"为下标，以"频率"为权值
- 普通线段树 ：下标 = 数组索引（位置），值 =
arr[i] - 权值线段树 ：下标 = 数值本身（值域），值 = 该数值的出现次数
本质上，权值线段树就是对"值域"建立的普通线段树，只不过每个位置的"权值"是频率。
权值线段树支持的核心操作
1. 插入/删除一个数（单点修改）
- 操作 ：将数字
x的频率+1（插入）或-1（删除） - 实现 ：在线段树的叶子
x处执行sum += delta - 复杂度 ：O(log M)，其中
M是值域大小（如1e5）
2. 查询排名（前缀和查询）
- 问题 ：小于
x的数有多少个？ → 即x的排名（从 1 开始） - 转换 ：求值域区间
[1, x-1]的频率和 - 实现 ：调用区间查询
Ask(1, 1, x-1)(函数具体实现见下方模板) - 排名 =
Ask(1, 1, x-1) + 1
例如：
x=4，Ask(1,1,3)=3→ 排名为 4（因为有 3 个数比它小）
3. 查询第 k 小的数（Kth 查询）
- 问题 ：集合中第
k小的数是多少？ - 原理 ：利用线段树的二分性质
- 若左子树的
sum ≥ k，说明第k小在左半值域 - 否则，在右半值域，且找第
k - left.sum小
- 若左子树的
- 实现 ：递归
Kth(p, k)(函数具体实现见下方模板) - 复杂度：O(log M)
模板中
Kth(p, k)正是此操作。
值域离散化：处理大范围数值
权值线段树的空间复杂度取决于值域大小 M 。若数值范围很大（如 1e9），但实际数字数量 n 很小（如 1e5），则需离散化（Coordinate Compression）：
- 收集所有可能用到的数字（插入值、查询值）
- 排序 + 去重，建立映射：
原数值 → 排名（1~size） - 在排名值域
[1, size]上建权值线段树
离散化后，值域大小
M = n，空间O(n)
模板
cpp
template <int N>struct Segment_tree{
#define ls (p<<1)
#define rs ((p<<1)|1)
struct{
int l,r;
int sum;
}tr[4*N];
void push_up(int p){
tr[p].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;
}
void Build(int p,int lo,int ro){ //建树,值域为lo~ro
tr[p].l=lo,tr[p].r=ro;
tr[p].sum=0;
if(lo==ro) return;
int mid=(lo+ro)>>1;
build(ls,lo,mid);
build(rs,mid+1,ro);
push_up(p);
}
void Fix(int p,int x,int k){ //数x增加/减少k
if(tr[p].l==tr[p].r){
tr[p].sum+=k;
return;
}
int ndmid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
if(x<=ndmid) Fix(ls,x,k);
else Fix(rs,x,k);
push_up(p);
}
int Ask(int p,int lo,int ro){ //查询范围内有多少个数,可查询x的排名:Ask(1,1,x-1)+1
if(lo<=tr[p].l && ro>=tr[p].r) return tr[p].sum;
int res=0,ndmid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;
if(lo<=ndmid) res+=Ask(ls,lo,ro);
if(ro>ndmid) res+=Ask(rs,lo,ro);
return res;
}
int Kth(int p,int k){ //查询第k小的数
if(tr[p].l==tr[p].r) return tr[p].l;
if(k<=tr[ls].sum) return Kth(ls,k);
else return Kth(rs,k-tr[ls].sum);
}
};