数据结构: 权值线段树——线段树系列(提供模板)

前言：普通线段树 vs 权值线段树

在基础线段树中，我们处理的是数组下标上的区间操作 ------ 节点代表"位置区间"，如 [1, n]。

但如果我们的问题是：

"在动态插入/删除数字的过程中，如何快速查询：

数 x 的出现次数？

小于 x 的数有多少个？（即 x 的排名）

第 k 小的数是多少？"

这时，普通线段树就无能为力了，因为我们关心的不是"位置"，而是"数值本身"。

权值线段树 应运而生 ------ 它将数值范围 作为线段树的区间，每个叶子代表一个可能的数值 ，节点存储该数值范围内的出现次数（权值）。

其三大核心操作：单点修改（插入/删除）、前缀和查询（排名）、第 k 小查询。

什么是权值线段树？

核心思想：以"值域"为下标，以"频率"为权值

普通线段树 ：下标 = 数组索引（位置），值 = arr[i]
权值线段树 ：下标 = 数值本身（值域），值 = 该数值的出现次数

本质上，权值线段树就是对"值域"建立的普通线段树，只不过每个位置的"权值"是频率。

权值线段树支持的核心操作

1. 插入/删除一个数（单点修改）

操作：将数字 x 的频率 +1（插入）或 -1（删除）
实现：在线段树的叶子 x 处执行 sum += delta
复杂度 ：O(log M)，其中 M 是值域大小（如 1e5）

2. 查询排名（前缀和查询）

问题：小于 x 的数有多少个？ → 即 x 的排名（从 1 开始）
转换：求值域区间 [1, x-1] 的频率和
实现：调用区间查询 Ask(1, 1, x-1)(函数具体实现见下方模板)
排名 = Ask(1, 1, x-1) + 1

例如：x=4，Ask(1,1,3)=3 → 排名为 4（因为有 3 个数比它小）

3. 查询第 k 小的数（Kth 查询）

问题：集合中第 k 小的数是多少？
原理：利用线段树的二分性质
- 若左子树的 sum ≥ k，说明第 k 小在左半值域
- 否则，在右半值域，且找第 k - left.sum 小
实现：递归 Kth(p, k)(函数具体实现见下方模板)
复杂度：O(log M)

模板中 Kth(p, k) 正是此操作。

值域离散化：处理大范围数值

权值线段树的空间复杂度取决于值域大小 M 。若数值范围很大（如 1e9），但实际数字数量 n 很小（如 1e5），则需离散化（Coordinate Compression）：

收集所有可能用到的数字（插入值、查询值）
排序 + 去重，建立映射：原数值 → 排名（1~size）
在排名值域 [1, size] 上建权值线段树

离散化后，值域大小 M = n，空间 O(n)

模板

cpp 复制代码

template <int N>struct Segment_tree{  
	#define ls (p<<1)
	#define rs ((p<<1)|1)
    struct{  
        int l,r;  
        int sum;  
    }tr[4*N];  
    void push_up(int p){  
        tr[p].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;  
    }  
    void Build(int p,int lo,int ro){  //建树,值域为lo~ro
        tr[p].l=lo,tr[p].r=ro;  
        tr[p].sum=0;  
        if(lo==ro) return;  
        int mid=(lo+ro)>>1;  
        build(ls,lo,mid);  
        build(rs,mid+1,ro);  
        push_up(p);
    }  
    void Fix(int p,int x,int k){   //数x增加/减少k  
        if(tr[p].l==tr[p].r){  
            tr[p].sum+=k;  
            return;  
        }  
        int ndmid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;  
        if(x<=ndmid) Fix(ls,x,k);  
        else Fix(rs,x,k);  
        push_up(p);  
    }  
    int Ask(int p,int lo,int ro){  //查询范围内有多少个数,可查询x的排名:Ask(1,1,x-1)+1  
        if(lo<=tr[p].l && ro>=tr[p].r) return tr[p].sum;  
        int res=0,ndmid=(tr[p].l+tr[p].r)>>1;  
        if(lo<=ndmid) res+=Ask(ls,lo,ro);  
        if(ro>ndmid) res+=Ask(rs,lo,ro);  
        return res;  
    }  
    int Kth(int p,int k){  //查询第k小的数  
        if(tr[p].l==tr[p].r) return tr[p].l;  
        if(k<=tr[ls].sum) return Kth(ls,k);  
        else return Kth(rs,k-tr[ls].sum);    
    }  
};