20251222强连通分量总结

强连通分量

一张有向图，如果该图任意两点之间连通，则称该图强连通。

有向图的子图中的任意点相互连通叫做强连通子图，而如果该子图不能再大了也就是已达到最大，那么该子图叫做极大强连通子图，也就是强连通分量。
1
2
3
4
5
6
7

那么该图有三个强连通分量，分别是{1,2,3}、{4,5,6}、{7}。

实现

cpp 复制代码

void dfs(int x){
	dfn[x]=low[x]=++cnt;//dfn序
	s.push(x);//推入栈
	for(int i=0;i<E[x].size();i++){
		int v=E[x][i];
		if(dfn[v]==0){//如果没来过
			dfs(v);
			low[x]=min(low[x],low[v]);//更新
		}else if(gp[v]==0){//不然看他有没有被分过组
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);//更新
		}
	}
	if(low[x]==dfn[x]){//如果他没被其他点更新过
		gp[x]=++id;//分组
		while(s.top()!=x){//如果栈顶不是x
			gp[s.top()]=id;
			s.pop();
		}
		s.pop();
	}
}

缩点

就是找到强连通分量后将整个强连通分量缩成一个点，按上图作样例。
1* 1,2,3
2* 4,5,6
3* 7

打星号的是强连通分量的编号。

实现

cpp 复制代码

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=0;j<E[i].size();j++){
		int v=E[i][j];
		if(gp[i]!=gp[v]){//如果两点属于的组不一样
			e[gp[i]].push_back(gp[v]);//新图连边
		}
	}
}

边双连通分量

把强连通分量中的有向边替换成无向边，就是一个边双连通分量，所以求边双连通分量更求强连通分量差不多，只需多判一个重边就行了。

cpp 复制代码

void dfs(int x,int fa){
	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	s.push(x);
	bool cc=0;
	for(int i=0;i<E[x].size();i++){
		int v=E[x][i];
		if(v==fa){//发现跑了回来
		    if(!cc){//如果还没出现过
		        cc=1;
		    }else{
		        low[x]=min(low[x],dfn[v]);//否则更新
		    }
		    continue;
		}
		if(dfn[v]==0){
			dfs(v,x);
			low[x]=min(low[x],low[v]);
		}else if(gp[v]==0){
			low[x]=min(low[x],dfn[v]);
		}
	}
	if(low[x]==dfn[x]){
		gp[x]=++id;
		while(s.top()!=x){
			gp[s.top()]=id;
			s.pop();
		}
		s.pop();
	}
}