使用直接节点积分法进行无网格法2D悬臂梁计算

思路与程序

实现无网格法分析一般包括"节点离散 → 形函数构造 → 数值积分 → 方程求解"几个核心步骤。针对你的需求，核心是在"数值积分"这一步采用直接节点积分法（Direct Nodal Integration）。

MATLAB实现步骤

基于无单元伽辽金法（EFG）和直接节点积分的简化流程。

问题域离散与参数设置

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% 1. 定义悬臂梁几何和材料参数
L = 10.0;   % 梁长度
D = 1.0;    % 梁高度
E = 1e7;    % 弹性模量
nu = 0.3;   % 泊松比
% 2. 在矩形区域[0, L] x [-D/2, D/2]内均匀或随机布置节点
nx = 31; ny = 9;
[x_coords, y_coords] = meshgrid(linspace(0, L, nx), linspace(-D/2, D/2, ny));
nodes = [x_coords(:), y_coords(:)];
numNodes = size(nodes, 1);

构造形函数及其导数
- 使用移动最小二乘法（MLS） 为每个节点构建形函数 Φ_i(x)。
- 这个过程涉及在每个计算点（积分点）求解一个线性小系统，得到形函数值和其对空间坐标的导数。

实施直接节点积分组装系统矩阵

核心思想 ：直接将每个节点本身作为积分点。
组装全局刚度矩阵 K 的伪代码逻辑：

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K = sparse(2*numNodes, 2*numNodes); % 初始化全局刚度矩阵
for i = 1:numNodes % 遍历所有节点（积分点）
    xi = nodes(i, :); % 第i个积分点的坐标
    % 获取在xi处所有节点的形函数值Ni和导数dNi
    [Ni, dNi] = MLS_ShapeFunction(xi, nodes, ...); 
    % 计算在xi处的应变位移矩阵Bi
    Bi = ...; % 利用dNi构造
    % 获取该节点代表的"积分域"体积（面积）Vi
    Vi = ...; % 可通过Voronoi图或简单平均分配计算
    % 计算弹性矩阵D (平面应力或平面应变)
    Dmat = ...;
    % 组装贡献到全局刚度矩阵
    K = K + Bi' * Dmat * Bi * Vi;
end

在直接节点积分中，Vi的确定是关键。一种简单方法是根据节点的Voronoi图或直接按节点密度平均分配整体面积。

施加边界条件与求解
- 在悬臂梁固定端（如 x=0）的所有节点上施加位移约束（u=0, v=0）。
- 在自由端（x=L）施加集中力或切向面力。
- 求解线性方程组 K * U = F 得到所有节点的位移 U。

参考代码无网格法2D悬臂梁算例 www.youwenfan.com/contentcso/97229.html