大家好，从今天开始，我将在这一个专辑当中陆续给大家分享算法竞赛当中的进阶算法，大家如果对算法竞赛有兴趣的化，可以关注我一下，相信一定会给大家带来收获。
这一期，我讲给大家分享的是++树的 dfs 序++ ，一个比较简单的算法知识，但是简单归简单，它是后续较难算法的奠基石，后面很多较难的算法知识都会用到树的 dfs 序，所以是很重要的。
那么废话不多说，我们直接开始：
一：树的 dfs 序
树的 dfs 序，顾名思义，就是对一棵树进行 dfs 所得到的序列。
树的创建方式是不唯一的，树的遍历方式也是不唯一的，那么树的 dfs 序就会有很多种形式。
今天，我先来给大家介绍一种基于 "先序" 遍历形成的 dfs 序，也称作 dfn 序或者时间戳。
这种 dfs 序是指在深度优先遍历的过程中，按照访问结点的顺序给结点进行编号，如下图所示：
至于先遍历哪一个孩子结点，其实是无所谓的，不影响后面的性质。
二：代码实现
我们要编写代码求出一棵树的 dfn 序：
1. idx 表示新遍历到一个结点，它在 dfn 序中的编号。
2. dfn[x] 表示：x 结点的 dfn 序。（一次 dfs 就可以维护出来）
3. sz[x] 表示：以 x 为根的子树的大小（树形 dp 就可以维护出来）（后面有用）
cpp
vector<int> edges[N];
int dfn[N], sz[N], idx; // dfs 序，子树的大小
void dfs(int x, int fa)
{
dfn[x] = ++idx;
sz[x] = 1;
for(auto y : edges[x])
{
if(y == fa) continue;
dfs(y, x)
sz[x] += sz[y];
}
} 三：性质
性质 1：
在一棵子树中，dfn 序是连续的。（通过 dfs 的过程就可以证明其正确性）
性质 2：
祖先节点的 dfn 序小于子孙节点的 dfn 序。（通过 dfs 的过程就可以证明其正确性）
性质 3：
以 x 为根的子树中，dfn 序为 [dfn[x], dfn[x] + sz[x] - 1]（通过 dfs 的过程就可以证明其正确性）
上面所列的三个性质只需要记住结论就可以了，如果实在不好理解的话，就画图看一看：
四：应用
应用 1：
如何判断结点 y 是否在以结点 x 为根的子树中？？？
在我们没有学习树的 dfn 序之前，我们的做法是：
在 dfs 的过程中，维护出每一个结点的父亲结点信息 fa 数组。然后以 y 结点为起点，一直向上找 x，如果能找到，则说明结点 y 在以结点 x 为根的子树中，否则，结点 y 不在以结点 x 为根的子树中。
这样的话，单次判断的时间复杂度就会达到 O（n）。
如果是q** 次判断，时间复杂度就会达到 O（n * q）。**
我们学习完树的 dfn 序之后，就有更高效的解法了：
我们可以通过一次 dfs 预处理出 dfn 数组。然后每一次判断，就去看一下 dfn[y] 是否在
[dfn[x], dfn[x] + sz[x] - 1] 中就可以了。
这样的话，预处理的时间复杂度为 O（n），q 次询问的时间复杂度为 O（q）。
整体时间复杂度就为 O（n + q）（线性级别）了。
应用 2：
在一些树上问题中，利用树的 dfs 序，可以将 "树上问题" 转变成 "序列问题"。
比如说：
将以 x 为根的子树，所有的结点权值全部加 1，对应的就是将序列**[dfn[x], dfn[x] + sz[x] - 1] 中的元素全部增加 1。**
树上问题转化成为序列问题，我们就可以用之前学过的各种数据结构（线段树、树状数组......）来维护这些信息了。
五：模板题
接下来就是两道关于树的 dfs 序的**模板题目，**大家既然已经看到了这里，还是希望大家自己先尝试一下，看看能不能解决，再去对照我的代码。
题目链接：题目一：DFS 序 1 题目二：DFS 序 2
题目描述 + 算法原理：
代码实现：
题目一：DFS 序 1：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x & -x)
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m, r, a[N];
vector<int> edges[N];
int dfn[N], sz[N], idx;
LL s[N]; // 树状数组
void modify(int x, LL k)
{
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) s[i] += k;
}
LL query(int x)
{
LL sum = 0;
for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += s[i];
return sum;
}
void dfs(int x, int fa)
{
dfn[x] = ++idx;
sz[x] = 1;
modify(dfn[x], a[x]); // 初始的权值
for(auto y : edges[x])
{
if(y == fa) continue;
dfs(y, x);
sz[x] += sz[y];
}
}
int main()
{
cin >> n >> m >> r;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
int x, y; cin >> x >> y;
edges[x].push_back(y);
edges[y].push_back(x);
}
dfs(r, 0);
while(m--)
{
int op, a, x; cin >> op >> a;
if(op == 1)
{
cin >> x;
modify(dfn[a], x);
}
else
{
int l = dfn[a], r = dfn[a] + sz[a] - 1;
cout << query(r) - query(l - 1) << endl;
}
}
return 0;
} 题目二：DFS 序 2：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define lc p << 1
#define rc p << 1 | 1
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m, r, a[N];
vector<int> edges[N];
int dfn[N], sz[N], rnk[N], idx;
struct node
{
int l, r;
LL sum, add;
}tr[N << 2];
void dfs(int x, int fa)
{
dfn[x] = ++idx;
rnk[idx] = x;
sz[x] = 1;
for(auto y : edges[x])
{
if(y == fa) continue;
dfs(y, x);
sz[x] += sz[y];
}
}
void pushup(int p)
{
tr[p].sum = tr[lc].sum + tr[rc].sum;
}
void build(int p, int l, int r)
{
tr[p] = {l, r, a[rnk[l]], 0};
if(l == r) return;
int mid = (l + r) / 2;
build(lc, l, mid); build(rc, mid + 1, r);
pushup(p);
}
void lazy(int p, LL k)
{
tr[p].sum += (tr[p].r - tr[p].l + 1) * k;
tr[p].add += k;
}
void pushdown(int p)
{
if(tr[p].add)
{
lazy(lc, tr[p].add);
lazy(rc, tr[p].add);
tr[p].add = 0;
}
}
void modify(int p, int x, int y, LL k)
{
int l = tr[p].l, r = tr[p].r;
if(x <= l && r <= y)
{
lazy(p, k);
return;
}
pushdown(p);
int mid = (l + r) >> 1;
if(x <= mid) modify(lc, x, y, k);
if(y > mid) modify(rc, x, y, k);
pushup(p);
}
LL query(int p, int x, int y)
{
int l = tr[p].l, r = tr[p].r;
if(x <= l && r <= y) return tr[p].sum;
pushdown(p);
int mid = (l + r) >> 1;
LL s = 0;
if(x <= mid) s += query(lc, x, y);
if(y > mid) s += query(rc, x, y);
return s;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n >> m >> r;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
int a, b; cin >> a >> b;
edges[a].push_back(b);
edges[b].push_back(a);
}
dfs(r, 0);
build(1, 1, n);
while(m--)
{
int op, a, x; cin >> op >> a;
int l = dfn[a], r = dfn[a] + sz[a] - 1;
if(op == 1)
{
cin >> x;
modify(1, l, r, x);
}
else
{
cout << query(1, l, r) << endl;
}
}
return 0;
}好的，今天的分享就到这里了，看到最后的你是不是收获慢慢呢~~~，
如果是的话，别忘了一键三连哦~~~
如果还是有问题的话，可以下来和我交流，或者直接在评论区指明。
谢谢大家的观看，我们下一期再见。